高一數(shù)學(xué)解三角形(文件)
【正文】 ABC ， 角 A ， B ， C 所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a ， b ， c ，已知坐標(biāo)原點(diǎn)和頂點(diǎn) B 重合 ， 且滿足bs i n B ＝2 c c o s As i n C . ( 1 ) 求角 A 的大小 ； ( 2 ) 若 a ＝ 2 3 ， 頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 A ( 2 ， 2 ) ， 求 △ A B C 的面積 ． 解： ( 1 ) 根據(jù)正弦定理bsi n B＝csi n C及已知可得 c os A ＝12， ∴ A ＝π3. ( 2 ) 由題意知 c ＝ |AB |＝ ? 2 － 0 ?2＋ ? 2 － 0 ?2＝ 2. 由csi n C＝asi n A得 ， si n C ＝12， 又 C ∈ ( 0 ，23π ) ， ∴ C ＝π6. ∴△ AB C 是角 B 為直角頂點(diǎn)的直角三角形 ， ∴ S △ ABC ＝12ac ＝ 2 3 . 返回目錄 備考指南 考點(diǎn)演練 典例研習(xí) 基礎(chǔ)梳理 。 AC ― → ＝ 12 ， a ＝ 2 7 ， 求 b ， c ( 其中 b c ) ． 解： ( 1 ) 因?yàn)?s i n2A ＝ (32cos B ＋12s i n B )(32co s B －12s i n B ) ＋ s i n2B ＝34cos2B －14s i n2B ＋ s i n2B ＝34， 所以 s i n A ＝ 177。 ， 俯角為 30176。 ， ∴ S △ ABC ＝12ab ＝32. 故選 C. 5 ． ( 2020 年高考上海卷 ) 某人要制作一個(gè)三角形 ， 要求它的三條高的長度分別為113，111，15， 則此人 ( D ) ( A ) 不能作出這樣的三角形 ( B ) 能作出一個(gè)銳角三角形 ( C ) 能作出一個(gè)直角三角形 ( D ) 能作出一個(gè)鈍角三角形 解析： 設(shè)三邊為 a ， b ， c ， 則由面積公式得 a ， ∴ MN ＝68 32＝ 34 6 ， ∴ v ＝MN4＝1726 ( 海里 / 小時(shí) ) ． 故選 A. 4 ． ( 201 0 年廈門市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè) ) 在 △ ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a 、b 、 c ， 若角 A 、 B 、 C 依次成等差數(shù)列 ， 且 a ＝ 1 ， b ＝ 3 ， 則 S △ ABC 等于 ( C ) ( A ) 2 ( B ) 3 ( C )32 ( D ) 2 解析： ∵ A 、 B 、 C 成等差數(shù)列， ∴ B ＝ 60176。15＝33， ∵ a b ，且 A ＝ 60176。 BC ＋ ( 90176。 cos 60176。si n 105176。 ) ＝ 105176。 ＝ 45176。 － 60176。 AC ― → ＝ 3 ， 所以 bc cos A ＝ 3 ， ∴ bc ＝ 5. ∴ S △ ABC ＝12bc s i n A ＝12 5 45＝ 2. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 ， bc ＝ 5 ， 又 b ＋ c ＝ 6 ， 根據(jù)余弦定理得 a2＝ b2＋ c2－ 2 bc c os A ＝ ( b ＋ c )2－ 2 bc － 2 bc cos A ＝ 36 － 10 － 10 35＝ 20 ， ∴ a ＝ 2 5 . (1)像這樣披著向量 “ 外衣 ” 的三角題 ， 看上去呈現(xiàn)形式頗為新穎 ， 其實(shí)難度并不大 ， 只要通過向量的運(yùn)算 “ 脫去外衣 ” ， 即可轉(zhuǎn)化為純?nèi)穷}型了 ． (2)正弦定理 、 余弦定理往往在一道題目中交叉使用 ， 以達(dá)到 “ 知三求三 ” 的目的 ， 應(yīng)予以重視 ． 利用正 、 余弦定理解決實(shí)際測(cè)量問題 【 例 4】 (2020年高考海南 、 寧夏卷 )為了測(cè)量兩山頂 M， N間的距離 ， 飛機(jī)沿水平方向在 A， B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量 ， A， B， M， N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi) (如示意圖 )． 飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和 A， B間的距離 ， 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案 ， 包括： ① 指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù) (用字母表示 ， 并在圖中標(biāo)出 )； ② 用文字和公式寫出計(jì)算 M， N間的距離的步驟 ． 思路點(diǎn)撥： 要根據(jù)實(shí)際 ， 弄清楚哪些量是可以測(cè)量的 ， 哪些量是不可測(cè)量的 ， 再進(jìn)行方案的設(shè)計(jì) ． 解：法一： ① 需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有 ： A 點(diǎn)到 M ， N 點(diǎn)的俯角 α 1 ， β 1 ； B 點(diǎn)到 M ， N 點(diǎn)的俯角 α 2 ， β 2 ； A ， B 間的距離 d ( 如圖所示 ) ． ② 第一步 ： 計(jì)算 AM .由正弦定理得 AM ＝d si n α 2si n ? α 1 ＋ α 2 ?； 第二步 ： 計(jì)算 AN .由正弦定理得 AN ＝d si n β 2si n ? β 2 － β 1 ?； 第三步 ： 計(jì)算 MN . 由余弦定理得 MN ＝ AM2＋ AN2－ 2 AM AN c os ? α 1 － β 1 ? . 法二： ① 需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有 ： A 點(diǎn)到 M ， N 點(diǎn)的俯角 α 1 ， β 1 ； B 點(diǎn)到 M ， N 點(diǎn)的俯角 α 2 ， β 2 ； A ， B 間的距離 d ( 如圖所示 ) ． ② 第一步 ： 計(jì)算 BM .由正弦定理得 BM ＝d s i n α 1s i n ? α 1 ＋
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