【正文】 直線 CD 的方程為 x ＋ y － 3 ＝ 0 或 x ＋ 7 y － 9 ＝ 0. 第 14講 │ 要點熱點探究 (3) 設(shè) P (2 m ， m ) ， MP 的中點 Q??????m ，m2＋ 1 ，因為 PA 是圓 M的切線，所以經(jīng)過 A ， P ， M 三點的圓是以 Q 為圓心，以 MQ 為半徑的圓，故其方程為 ( x － m )2＋??????y －m2－ 12＝ m2＋??????m2－ 12， 化簡得 x2＋ y2－ 2 y － m (2 x ＋ y － 2) ＝ 0 ，此式是關(guān)于 m 的恒等式，故????? x2＋ y2－ 2 y ＝ 0 ，2 x ＋ y － 2 ＝ 0 ，解得????? x ＝ 0 ，y ＝ 2 ，或????? x ＝45，y ＝25. 所以經(jīng)過 A ， P ， M 三點的圓必過定點 (0,2) 或??????45，25. 第 14講 │ 要點熱點探究 【點評】 處理直線與圓的位置關(guān)系的問題常常結(jié)合圖形運用幾何法處理，本題中 (1) (2) ，均用了這種方法，畫出圖形，將條件轉(zhuǎn)化為距離問題是關(guān)鍵．本題 (3) 中圓過定點問題與直線過定點問題的處理方法一樣，通過分離參數(shù)解方程組處理．另處，處理復(fù)雜的直線與圓的綜合問題，要注意運用圓的性質(zhì)，請嘗試下面變式題． 第 14講 │ 要點熱點探究 [ 2022 全國卷 Ⅱ ] 已知 AC 、 BD 為圓 O ：x 2 ＋ y 2 ＝ 4 的兩條相互垂直的弦，垂足為 M (1 ， 2 ) ，則四邊形 ABCD 的面積的最大值為 ________ ． 5 【解答】 設(shè)圓心 O 到 AC 、 BD 的距離分別為d 1 、 d 2 ，則 d21 ＋ d21 ＝ OM2＝ 3. 四邊形 AB C D 的面積 S ＝12| AB | | CD | ＝ 2 ? 4 － d21 ?≤ 8 － ( d21 ＋ d21 ) ＝ 5. 教師備用習(xí)題 第 14講 │ 教師備用習(xí)題 1 ． 曲線 C ： y ＝ 1 ＋ 4 － x2與直線 l ： y ＝ k ( x －2) ＋ 4 有兩個交點時，實數(shù) k 的取值范圍是 ( ) A.??????512，34 B.??????512，＋ ∞ C.??????0 ，512 D.??????13，34 【答案】 A 備選理由：這幾題都是直線與圓經(jīng)典考題，第 1 題重點考查數(shù)形結(jié)合法，第 2 題綜合性較強，應(yīng)用到橢圓的相關(guān)性質(zhì)，總之這幾題可作為學(xué)生的訓(xùn)練題的補充． 第 14講 │ 教師備用習(xí)題 2 ． 直線 2 ax ＋ by ＝ 1 與圓 x2＋ y2＝ 1 相交于 A 、 B 兩點 ( 其中 a ， b 是實數(shù) ) ，且 △ AOB 是直角三角形 ( O 是坐標(biāo)原點 ) ，則點 P ( a ， b ) 與點 (0,1) 之間距離的最小值為 ( ) A ． 0 B. 2 C. 2 － 1 D. 2 ＋ 1 C 【解析】 由條件知 △ AOB 是等腰直角三角形，則 O 到直線 2 ax ＋ by ＝ 1 距離為22，所以12 a2＋ b2＝22， ∴ a2＋b22＝ 1 ，則點 P ( a ， b ) 在橢圓 x2＋y22＝ 1 上，而點 (0,1) 恰是其上焦點，故點 P 為上頂點時距離最小，值為 2 － 1. 第 14講 │ 教師備用習(xí)題 3 ．設(shè)直線 l 1 的方程為 x ＋ 2 y － 2 ＝ 0 ，將直線 l 1 繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90176。 得到直線 l 2 ，則 l 2 的方程為 ________ ． 2 x － y ＋ 2 ＝ 0 【解析】 由題設(shè)條件并結(jié)合圖形知，直線 l 1 ⊥ l 2 ，故直線 l 2 的斜率為 2 ，而直線 l 1 與 x軸的交點為 (2,0) ，旋轉(zhuǎn)后得 l 2 與 y 軸的交點為 (0, 2) ，所以直線 l 2 的方程為 y ＝ 2 x ＋ 2 ，即 2 x － y ＋ 2 ＝ 0. 第 14講 │ 教師備用習(xí)題 4 ． 與直線 x ＋ y － 2 ＝ 0 和曲線 x 2 ＋ y 2 － 12 x － 12 y ＋ 54＝ 0 都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ____ ____ ． ( x － 2)2＋ ( y － 2)2＝ 2 【解析】 由 x2＋ y2－ 12 x － 12 y＋ 54 ＝ 0 可化為 ( x － 6)2＋ ( y － 6)2＝ 18 ，圓心為 C (6,6) ，半徑 r ＝ 3 2 ，過圓心 C 與 x ＋ y － 2 ＝ 0 垂直的直線為 y ＝ x ，由????? x ＋ y － 2 ＝ 0 ，y ＝ x ，可得交點 P (1,1) ． 由????? ? x － 6 ?2＋ ? y － 6 ?2＝ 18 ，y ＝ x ，得交點 Q (3,3) ， R (9,9) ，則半徑最小的圓是以 PQ 為直徑的圓，即可求得 ( x － 2)2＋( y － 2)2＝ 2. 規(guī)律技巧提煉 第 14講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ．判定直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法，如下表： 位 方 置 法 關(guān) 系 幾何法：若圓的半徑為 r ，圓心到直線的距離為 d 代數(shù)法：直線方程與圓的方程聯(lián)立得一元二次方程，其判別式為 Δ . 相交 d r Δ 0 相切 d ＝ r Δ ＝ 0 相離 d r Δ 0 通常應(yīng)用幾何法來處理較為方便．類似地判斷圓與圓的位置關(guān)系也常用幾何法． 第 14講 │ 規(guī)律技巧提煉 2 ．求圓的方程，通常用待定系數(shù)法，要根據(jù)所給的條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，還要充分結(jié)合圖形，運用圓的性質(zhì)． 3 ．求解直線與圓的綜合問題，不僅要利用圓的平面幾何知識，還應(yīng)注意綜合運用方程、函數(shù)、不等式等方面的知識來解決． 第 15講 │ 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì) 第 15講 圓錐曲線的定義、 方程與性質(zhì) 主干知識整合 第 15講 │ 主干知識整合 一、圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，要特別注意定義中的幾何條件及適用范圍 1 ．橢圓： | MF1| ＋ | MF2| ＝ 2 a (2 a | F1F2|) ，當(dāng)常數(shù) 2 a＝ | F1F2| 時軌跡為線段 F1F2，當(dāng) 2 a | F1F2| 時，軌跡不存在． 2 ．雙曲線： || MF1| － | MF2|| ＝ 2 a (2 a | F1F2|) ，當(dāng) 2 a＝ | F1F2| 時，軌跡為兩條射線；當(dāng) 2 a | F1F2| 時，軌跡不存在． 3 ．拋物線： | MF | ＝ d . 第 15講 │ 主干知識整合 二、標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 1 ．橢圓： 第 15講 │ 主干知識整合 第 15講 │ 主干知識整合 第 15講 │ 主干知識整合 三、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判定 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種，即是相交、相切、相離．其判定方法是判別式法． 四、直線與圓錐曲線相交所得的弦長 若直線具有斜率 k ，與圓錐曲線的兩個交點坐標(biāo)分別為A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，則相交弦的弦長 | AB | ＝ 1 ＋ k2| x1－ x2| ＝ ? 1 ＋ k2? [ ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2] ＝ 1 ＋1k2 | y 1 － y 2 |. 要點熱點探究 第 15講 │ 要點熱點探究 ? 探究點一 圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 例 1 [ 2022 湖南卷 ] 為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距 8 km 的 A ， B 兩點各建一個考察基地．視冰川面為平面形，以過 A ， B 兩點的直線為 x 軸，線段 AB 的垂直平分線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系 ( 如圖 5 － 15 － 1 所示 ) ，在直線 x ＝ 2 的右側(cè)，考察范圍為到點 B 的距離不超過6 55 k m區(qū)域；在直線 x ＝ 2 的左側(cè)，考察范圍為到 A ， B 兩點的距離之和不超過 4 5 k m 區(qū)域． 第 15講 │ 要點熱點探究 (1) 求考察區(qū)域邊界曲線的方程； (2) 如圖 5 － 15 － 1 所示，設(shè)線段 P 1 P 2 ， P 2 P 3 是冰川的部分邊界線 ( 不考慮其他邊界線 ) ，當(dāng)冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動 k m ，以后每年移動的距離為前一年的 2 倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間． 圖 5－ 15－ 1 第 15講 │ 要點熱點探究 【解答】 (1) 設(shè)邊界曲線上點 P 的坐標(biāo)為 ( x ， y ) ．當(dāng) x ≥ 2時，由題意知 ( x － 4)2＋ y2＝365，當(dāng) x 2 時，由 | PA | ＋ | PB | ＝ 4 5知，點 P 在以 A ， B 為焦點，長軸長為 2 a ＝ 4 5 的橢圓上．此時短半軸長 b ＝ ? 2 5 ?2－ 42＝ 2 ，因而其方程為x220＋y24＝ 1. 故考察區(qū)域邊界曲線 ( 如圖 ) 的方程為 C1： ( x － 4)2＋ y2＝365( x ≥ 2) 和 C2：( x － 4)2＋ y2＝365( x 2) ． 第 15講 │ 要點熱點探究 (2) 設(shè)過點 P1， P2的直線為 l1，過點 P2， P3的直線為 l2，則直線 l1， l2的方程分別為 y ＝ 3 x ＋ 14 ， y ＝ 6. 設(shè)直線 l 平行于直線 l1，其方程為 y ＝ 3 x ＋ m ，代入橢圓方程x220＋y24＝ 1 ，消去 y ，得 16 x2＋ 10 3 mx ＋ 5( m2－ 4) ＝ 0 ， 由 Δ ＝ 100 3 m2－ 4 16 5( m2－ 4) ＝ 0 ，解得 m ＝ 8 ，或 m ＝－ 8. 從圖中可以看出，當(dāng) m ＝ 8 時，直線 l 與 C2的公共點到直線 l1的距離最近，此時直線 l 的方程為 y ＝ 3 x ＋ 8 ， l 與 l1之間的距離為 d ＝| 14 － 8|1 ＋ 3＝ 3. 第 15講 │ 要點熱點探究 又因為直線 l 2 到 C 1 和 C 2 的最短距離 d ＝ 6 －6 55，而 d 3 ，所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界的最短距離為 3. 設(shè)冰川邊界移動到考察區(qū)域所需時間為 n 年，則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式，得 ? 2n－ 1 ?2 － 1≥ 3 ，所以 n ≥ 4. 冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間為 4 年． 要點熱點探究 第 15講 │ 要點熱點探究 ? 探究點二 圓錐曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用 例 2 (1) [ 2022 遼寧卷 ] 設(shè)雙曲線的一個焦點為 F ，虛軸的一個端點為 B ，如果直線 FB 與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為 ( ) A. 2 B. 3 C.3 ＋ 12 D.5 ＋ 12 第 15講 │ 要點熱點探究 (2) 如圖 5 － 15 － 2 所示，有公共左頂點和公共左焦點 F 的橢圓 Ⅰ 與 Ⅱ 的長半軸的長分別為 a 1 和 a 2 ，半焦距分別為 c 1 和 c 2 . 則下列結(jié)論不正確的是 ( ) A ． a 1 － c 1 ＝ a 2 － c 2 B ． a 1 ＋ c 1 a 2 ＋ c 2 C ． a 1 c 2 a 2 c 1 D ． a 1 c 2 a 2 c 1 圖 5－ 15－ 2 第