高考數(shù)學(xué)二輪專題突破文科專題三第2講-文庫吧
2024-12-24 13:45 本頁面
【正文】 驗證是否可以合并為一個公式． 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點分類突破 ( 2022 安徽 ) 設(shè)數(shù)列 { a n } 滿足 a 1 ＝ 2 ， a 2 ＋ a 4 ＝ 8 ，且對任意 n ∈ N*，函數(shù) f ( x ) ＝ ( a n － a n ＋ 1 ＋ a n ＋ 2 ) x ＋ a n ＋ 1 c os x － a n ＋ 2 si n x滿足 f ′??????π2＝ 0. ( 1) 求數(shù)列 { a n } 的通項公式； ( 2) 若 b n ＝ 2??????a n ＋12 a n，求數(shù)列 { b n } 的前 n 項和 S n . 解 ( 1) 由題設(shè)可得 f ′ ( x ) ＝ ( a n － a n ＋ 1 ＋ a n ＋ 2 ) － a n ＋ 1 sin x － a n ＋ 2 c os x ， 又 f ′??????π2 ＝ 0 ，則 a n ＋ a n ＋ 2 － 2 a n ＋ 1 ＝ 0 ， 即 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 ， 因此數(shù)列 { a n } 為等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列 { a n } 的公差為 d ， 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點分類突破 由已知條件????? a 1 ＝ 22 a 1 ＋ 4 d ＝ 8，解得????? a 1 ＝ 2 ，d ＝ 1 ， a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ＝ n ＋ 1. ( 2) b n ＝ 2????????n ＋ 1 ＋12 n ＋ 1 ＝ 2( n ＋ 1) ＋12 n ， S n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ ? ＋ b n ＝ ( n ＋ 3) n ＋ 1 －12 n ＝ n 2 ＋ 3 n ＋ 1 －12 n . 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點分類突破 考點二 錯位相減求和法 例 2 ( 2022 山東 ) 設(shè)等差數(shù)列 { an} 的前 n 項和為 Sn，且 S4＝ 4 S2，a2 n＝ 2 an＋ 1. (1) 求數(shù)列 { an} 的通項公式； (2) 若數(shù)列 { bn} 滿足b1a1＋b2a2＋ ? ＋bnan＝ 1 －12n ， n ∈ N*，求 { bn}的前 n 項和 Tn. 解 ( 1) 設(shè)等差數(shù)列 { a n } 的首項為 a 1 ，公差為 d ， 由????? S 4 ＝ 4 S 2 ，a 2 n ＝ 2 a n ＋ 1 得 a 1 ＝ 1 ， d ＝ 2 ， 所以 a n ＝ 2 n － 1( n ∈ N * ) ． 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點分類突破 ( 2) 由已知b 1a 1＋b 2a 2＋ ? ＋b na n＝ 1 －12 n， n ∈ N * ， ① 當(dāng) n ≥ 2 時，b 1a 1＋b 2a 2＋ ? ＋b n － 1a n － 1＝ 1 －12 n－ 1 ， ② ① － ② 得：b na n＝12 n， 又當(dāng) n ＝ 1 時，b 1a 1＝12也符合上式， 所以b na n＝12 n( n ∈ N * ) ，所以 b n ＝2 n － 12 n( n ∈ N * ) ． 所以 T n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ b 3 ＋ ? ＋ b n ＝12＋32 2＋52 3＋ ? ＋2 n － 12 n. 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點分類突破 12T n ＝122 ＋323 ＋ ? ＋2 n － 32n ＋2 n － 12n ＋ 1 . 兩式相減得：12T n ＝12＋??????222 ＋23 ＋ ? ＋22n －2 n － 12n ＋ 1 ＝32 －12 n － 1－2 n － 12 n ＋ 1. 所以 T n ＝ 3 －2 n ＋ 32 n . 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點分類突破 錯位相減法求數(shù)列的前 n 項和是一類重要方法．在應(yīng)用這種方法時，一定要抓住數(shù)列的特征，即數(shù)列的項可以看作是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項 相乘所得數(shù)列的求和問題． 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點分類突破 設(shè)數(shù)列 { a n } 滿足 a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 － a n ＝ 3 22 n － 1. ( 1) 求數(shù)列 { a n } 的通項公式； ( 2) 令 b n ＝ na n ，求數(shù)列 { b n } 的前 n 項和 S n . 解 ( 1) 由已知，得當(dāng) n ≥ 1 時， a n ＋ 1 ＝ [( a n ＋ 1 － a n ) ＋ ( a n － a n － 1 ) ＋ … ＋ ( a 2 － a 1 ) ] ＋ a 1 ＝ 3( 2 2 n － 1 ＋ 2 2 n － 3 ＋ ? ＋ 2) ＋ 2 ＝ 2 2( n ＋ 1) － 1 . 而 a 1 ＝ 2 ，符合上式， 所以數(shù)列 { a n } 的通項公式為 a n ＝ 2 2 n － 1 . 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點分類突破 ( 2) 由 b n ＝ na n ＝ n 2 2 n － 1 知 S n ＝ 1 2 ＋ 2 2 3 ＋ 3 2 5 ＋ ? ＋ n 2 2 n － 1 . ① 從而 22 Sn ＝ 1 23 ＋ 2 2 5 ＋ 3 2 7 ＋ ? ＋ n 2 2 n ＋ 1 . ② ① － ② 得 (1 － 2 2 ) S n ＝ 2 ＋ 2 3 ＋ 2 5 ＋ ? ＋ 2
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