【正文】 ? 得 =SSyb(SP) =SSyb2(SSx) =∑y2a∑yb∑xy ? ?222??????nyynQsxy?xy SSSPSSyyQ 22 )()?( ?????(95) (96A) (96B) (96C) (96D) ? (五 )直線回歸的數(shù)學模型和基本假定 ? 直線回歸模型中， Y 總體的每一個值由以下三部分組成： ①回歸截距 ， ②回歸系數(shù) ， ③ Y變數(shù)的隨機誤差 。 ? 總體直線回歸的數(shù)學模型： ? ～ N (0， )。相應的樣本線性組成為： ? ??jjj XY ??? ???(97) j?2??jjj ebxay ???(98) ? 回歸分析時的假定 ： ? (1) Y 變數(shù)是隨機變數(shù)，而 X 變數(shù)則是沒有誤差的固定變數(shù)，至少和 Y 變數(shù)比較起來 X 的誤差小到可以忽略。 ? (2) 在任一 X 上都存在著一個 Y 總體 (可稱為條件總體 )，它是作正態(tài)分布的，其平均數(shù) 是 X 的線性函數(shù)： XY /? / XXY ??? ?? (99) 的樣本估計值，與 X 的關系就是 線性回歸方程 (91)。 ? (3) 所有的 Y 總體都具有共同的方差 ，而直線回歸總體具有 。試驗所得的一組觀察值(xi， yi )只是 中的一個隨機樣本。 ? (4)隨機誤差 相互獨立，并作正態(tài)分布，具有 。 XY /?),( 2???? XN ?2??),( 2???? XN ??)(0, 2?? N? 二、直線回歸的假設測驗和區(qū)間估計 ? (一 )直線回歸的假設測驗 1．回歸關系的假設測驗 （ 1） t 測驗 H0： =0 對 HA ： ? 0??xxyxybSSsxxss/2/????2)((910) ? 遵循 的 t分布，故由 t 值即可知道樣本回歸系數(shù) b來自 =0總體的概率大小 ? （ 2） F 測驗當僅以表示 y資料時（不考慮 x 的影響），y變數(shù)具有平方和 SSy 和自由度 當以表示y資料時 (考慮 x的影響 )，則 SSy將分解成兩個部分，即： bsbt ???22 )??()( yyyyyy ???????)?)(?()?()?( yyyyyyyy ?????????? 222(911) 2?? n??2)( yy ??? 1?? n? ? 將 記作 U ? 回歸和離回歸的方差比遵循 的 F分布 0???? )?)(?( yyyy222 ?? )()()( yyyyyy ????????2)( yy ?? ?xy SSSPQSSyyU 22 )()( ?????? ?)/(/)(22??nQSSSPF x1?1? 2?? n2?因為 得 2．兩個回歸系數(shù)比較時的假設測驗 H0： 對 HA： (914) (915) 021 ?? ?? 021 ?? ??212121//22xxyxxybbbb SSsSSssss22?????)()(/ 22 21212?????nnsxy? [例 ] 測定兩玉米品種葉片長寬乘積 (x)和實際葉面積 (y)的關系，得表 ，試測驗兩回歸系數(shù)間是否有顯著差異。 表 玉米葉片長寬乘積和葉面積關系的計算結果 由表 : 品 種 n SSx SSy SP b Q 七葉白 22 1351824 658513 942483 1420 石榴子 18 1070822 516863 743652 420 )(182)(22 42022202 ???? ??xys / ? 這一結果是完全不顯著的，所以應接受 H0： 即認為葉片長寬乘積每增大 1cm2，葉面積平均要增大的單位數(shù)在七葉白和石榴子兩品種上是一致的，其共同值為 : 921070 822 11351 824 121???? bbs 944 971 8 ???t21 ?? ?2121xx SSSSSPSPb??? 0 . 6 9 5 9 8????10708221351824743652942483 22( c m /c m )? （二）直線回歸的區(qū)間估計 1．直線回歸的抽樣誤差 ? 在直線回歸總體 中抽取若干個樣本時，由于 ，各樣本的 a、 b 值都有誤差。因此，由 =a+bx給出的點估計的精確性，決定于 和 a、 b的誤差大小。比較科學的方法應是考慮到誤差的大小和坐標點的離散程度，給出一個區(qū)間估計，即給出對其總體的 、 、 等的置信區(qū)間。 )( 2, ???? XN ?2??y? 2 xys /? ? XY /? 2．回歸截距的置信區(qū)間 ? 由 (92)，樣本回歸截距 a ， 而 和 b的誤差方差分別為： 。故根據(jù)誤差合成原理， a的標準誤為： ? 由 是遵循 的 t 分布的?？? 體 回歸截距有 95％可靠度的置信區(qū)間為： [L1=at ， L2=a+ ] /22/2/222xxyxxyxybya SSxnsSSxsnsxsss21??????xby ?? yxxybxyy SSssnss 2 /22 /2 ?? ，(917) asa /)( ??2?? n??as as(918) 3．回歸系數(shù)的置信區(qū)間 由 (911)可推得總體回歸系數(shù) 的 95%可靠度的置信區(qū)間為：[L1=bt ， L2=b+t ] 4．條件總體平均數(shù) 的置信區(qū)間 ? 由 ，故 的標準誤為 ： 條件總體平均數(shù) 的 95%置信區(qū)間為 ： [L1= t ， L2= + ] (921) XY /?)(? xxbyy ??? y?xxyxxyxybyy SSxxnsxxSSsnsxxsss2/22/2/222?)(1)()( ?????????XY /?y? y?ys? ys?(920) ?bs bs(919) ? 5．條件總體觀察值 Y 的預測區(qū)間 將 (94)代入 (98) yi= +ei， )( xxby ??2/22/2/2/222xyxxyxyxybyy sxxSSsnssxxsss ???????? )()(xxy SSxxns2/)(11 ????(922) ? 保證概率為 Y 或 y 的預測區(qū)間為 ： [L1= ， L2= + ] (923) 6．置信區(qū)間和預測區(qū)間的圖示 ? 首先取若干個等距的 x 值 (x 取值愈密，作圖愈準確），算得與其相應的 、 、 和 、 的值；然后再由 和 算得各 x上的 L1和 L2，并標于圖上；最后將各個 L1和 L2分別連成曲線即可。 y? y?ys ysy? ys? ys yst ? yst ysty ? ? ? ysty ? ? [例 ] 試制作例 y估計值包括和 y在內有 95%可靠度的置信區(qū)間圖。 表 例 y的預測區(qū)間的計算 y?XY /?ys? yst ? ys yst 1L? 2L?(2) (3) (4) (6) (7) (8) [ ， (1) x 的 95％置信區(qū)間計算 y的 95％預測區(qū)間計算 (5) [L1， L2] ] 30 32 34 36 37 38 40 42 44 46 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 一代三化螟盛發(fā)期估計及其 95%置信限 ? 畫出 的圖像，依次標出 ? (x， L1)和 (x， L2)坐標點， ? 再 連接各 (x， L1)得 線， ? 連接各 (x， L2)得 線。連 ? 接各 (x， L2)得 線。 和 ? 所夾的區(qū)間即包括 ? 在內有 95％可靠度的置信區(qū)間。 ? 稱 (x， )的連線 ， (x， ) ? 的連線 。其所夾的區(qū)間即 ? 為 y的 95％ 的預測區(qū)間或預測帶。 3月下至 4月中旬平均溫度累積值 例 y 估計值及其 95%置信帶 y?CDABABCD XY /?1L?GH2L?EFAB15105051015202528 30 32 34 36 38 40 42 44 46? 三、直線回歸的矩陣求解 ? 回歸分析的 計算程序 可概括為： ? ① 算得 6個一級數(shù)據(jù)，即 n、 、 、 和 ? ② 由一級數(shù)據(jù)算得 5個二級數(shù)據(jù)，即 SSx、 SSy、 SP、 和 ； ? ③ 由二級數(shù)據(jù)計算 U 和 Q 并進行 F 測驗