20xx年高考試題匯編理科數(shù)學(xué)--圓錐曲線-文庫吧
2025-07-08 00:13 本頁面
【正文】 一點(diǎn)且在第一象限，故等腰三角形中，,，.（2019全國3），,切點(diǎn)分別是,（1）證明：直線過定點(diǎn)。（2）若以為圓心的圓與直線相切,且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn),求四邊形的面積.答案：見解析；解答：（1）當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，設(shè)過的直線方程為，與曲線聯(lián)立化簡得，由于直線與曲線相切，則有，解得，并求得坐標(biāo)分別為，所以直線的方程為；當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)不為時(shí)，設(shè)直線的方程為（），由已知可得直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)即，聯(lián)立直線方程與曲線的方程可得，消并化簡得，∵有兩個(gè)交點(diǎn)∴，設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理有，，由已知可得曲線為拋物線等價(jià)于函數(shù)的圖像，則有，則拋物線在上的切線方程為①，同理，拋物線在上的切線方程為②，聯(lián)立①，②并消去可得，由已知可得兩條切線的交點(diǎn)在直線上，則有，化簡得，∵，∴，即，即為，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件，所以直線的方程為過定點(diǎn)，綜上所述，直線過定點(diǎn)得證.（2）由（1）得直線的方程為，當(dāng)時(shí)，即直線方程為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為圓心的圓與直線相切于恰為中點(diǎn)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，直線方程與曲線方程聯(lián)立化簡得，，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知可得，即，解得，由對稱性不妨取，則直線方程為，求得的坐標(biāo)為，到直線距離，到直線距離，則，綜上所述，四邊形的面積為或.（2019北京）（a＞b＞0）的離心率為，則A. a2=2b2 B. 3a2=4b2 C. a=2b D. 3a=4b【答案】B【解析】【分析】由題意利用離心率的定義和的關(guān)系可得滿足題意的等式.【詳解】橢圓的離心率,化簡得,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識?基本運(yùn)算能力的考查.（2019北京）：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)見解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線方程，進(jìn)一步可得準(zhǔn)線方程；(Ⅱ)聯(lián)立準(zhǔn)線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得圓心坐標(biāo)和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令x=0即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)將點(diǎn)代入拋物線方程：可得：，故拋物線方程：，其準(zhǔn)線方程為：.(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：.故：.設(shè)，則，直線的
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