偏微分方程partialdiffierentialequation(pde)-文庫吧
2025-07-03 09:16 本頁面
【正文】 ??完全非線性 PDE 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 11 舉例 (多元函數(shù) ) 0222222?????????zuyuxutuzuyuxu???????????22222222222222tuzuyuxu???????????拉普拉斯 (Laplace)方程 熱傳導(dǎo)方程 波動(dòng)方程 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 12 二 . 定解問題的適定性 定解問題 PDE 定解條件 初值條件 邊值條件 初、邊值條件 初值問題、邊值問題、混合問題 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 13 經(jīng)典的定解問題舉例 波動(dòng)方程的初值問題（一維） ???????????????????????)(),()(),(,0 ),(0022222xtxtuxtxuRxttxfxuatutt??浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 14 經(jīng)典的定解問題舉例 熱傳導(dǎo)方程的初值問題（一維） ???????????????)(),(,0 ),(0222xtxuRxttxfxuatut?浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 15 經(jīng)典的定解問題舉例 二維調(diào)和方程的 邊值問題 ??????????????????????)())()((),( ,022222xgnuxuxRyxyuxu??0,1 ?? ??1,0 ?? ??0,0 ?? ??第一邊值問題（ Dirichlet） 第二邊值問題（ Neumann） 第三邊值問題（ Robin） 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 16 經(jīng)典的定解問題舉例 熱傳導(dǎo)方程的初、邊值問題 ??????????????????????)(),(),(),()(),(0,0 ),(00222thtxutgtxuxtxuLxttxfxuatuLxxt?浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 17 何為適定性？ 存在性 唯一性 連續(xù)依賴性（穩(wěn)定性） 適定性 若 PDE在附加條件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函數(shù)類中存在、唯一而且關(guān)于附加條件為穩(wěn)定的，就稱定解問題在相應(yīng)的函數(shù)類中為 適定的 。 穩(wěn)定性： 只要定解條件的偏差足夠小，相應(yīng)的定解問題解的偏差也將非常?。? 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 18 三 . 物理模型與定解問題的導(dǎo)出 弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 19 弦振動(dòng)方程與定解問題 一長為 L的柔軟均勻細(xì)弦，拉緊后，當(dāng)它受到與平衡位置垂直的外力作用時(shí)，開始作微小橫振動(dòng)。 假設(shè)這運(yùn)動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)，求弦上各點(diǎn)位移隨時(shí)間變化規(guī)律。 弦上各點(diǎn)作往返運(yùn)動(dòng)的主要原因在于弦的張力作用，弦在運(yùn)動(dòng)過程中各點(diǎn)的位移、加速度和張力都在不斷變化，但它們遵循物理的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。由此可以建立弦上各點(diǎn)的位移函數(shù)所滿足的微分方程。 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 20 取弦的平衡位置為 OX軸，運(yùn)動(dòng)平面為 XOU O U X P Q L 在時(shí)刻 t ，弦線在 x 點(diǎn)的位移為 u(x, t) O U X P Q xx ??x)(xT)( xxT ??此為上圖中 PQ的放大圖示 1?2?浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 21 假設(shè)弦線是均勻的，弦作微小振動(dòng)，故可認(rèn)為 xS ???即表明弧段 PQ在振動(dòng)過程中長度近似不變。因此根據(jù)Hooke定律，弦上各點(diǎn)的張力 T 的大小與時(shí)間 t 無關(guān)。 再由于弦是柔軟的，弦上各點(diǎn)的張力 T 的方向正是弦的切線方向。 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 22 0c o s)(c o s)( 12 ???? ?? xTxxTxfxTxxTt ux ????????? 01222
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