有關(guān)用導(dǎo)數(shù)處理的數(shù)列型不等式集錦-文庫吧
2025-06-10 03:10 本頁面
【正文】 ∴函數(shù)）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴的最小值為，即總有 而 即 令則 12． 已知函數(shù)是在上處處可導(dǎo)的函數(shù),若在上恒成立. (I)求證：函數(shù)上是增函數(shù)； (II)當(dāng)； (III)已知不等式時(shí)恒成立，求證：解析:(I),所以函數(shù)上是增函數(shù) (II)因?yàn)樯鲜窃龊瘮?shù),所以 兩式相加后可以得到 (3) …… 相加后可以得到: 所以令,有 所以(方法二) 所以 又,所以13．定義 如果內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)則(1) 若對(duì)則函數(shù)在內(nèi)為凸函數(shù). (2) 若對(duì)則函數(shù)在內(nèi)為凹函數(shù).若函數(shù)內(nèi)是凸(或凹)函數(shù)時(shí),對(duì)及,有Jensen(琴森)不等式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立. 證明下列不等式.分析 上式只要能證明,如果此題用前面所述的幾種方法來證明顯然不合適,同理可得.證明 令因?yàn)? ,所以是凹函數(shù)則對(duì)有即 又因?yàn)?所以 令 , 則同理可得所以14.（浙江省五校2009屆高三第一次聯(lián)考理科第21題）已知函數(shù)，數(shù)列滿足：．（1）求證：；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求證不等式：．分析：（1）構(gòu)造函數(shù)、利用函數(shù)的單調(diào)性證明；（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系把數(shù)列的遞推關(guān)系找出來，利用變換的方法將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的關(guān)系解決；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果分析探究．解析：（1）， ，當(dāng)時(shí)，即是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，即是單調(diào)遞減函數(shù)． 所以，即是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn) ，當(dāng)時(shí)取到等號(hào)． （2）由得， ，即數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，∴．（3） 又∵時(shí)，有，令，則∴ ∴ ．15． (1)證明: (2)數(shù)列中. ,且。 ①證明: ②解析:(1)設(shè),則. 所以在內(nèi)是減函數(shù), . 又在處連續(xù),所以. 即(2) ①, 。 , 。當(dāng)時(shí), ,對(duì)一切,有.②由①及已知得
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