【正文】 邊的三點(diǎn)表示這個(gè)數(shù)列一直持續(xù)下去，r為資本（機(jī)會(huì)）成本。只要r大於零，上式右邊的總和為有限值，其可化簡(jiǎn)為 PV = 。 永續(xù)年金的價(jià)值就是未來(lái)各期固定金額現(xiàn)金流量（C）的現(xiàn)值，亦是永續(xù)年金持有者對(duì)持有此份永續(xù)年金所願(yuàn)意支付的最高價(jià)格。永續(xù)年金的持有者若打算未來(lái)各期以其所取得票息收入做為該期消費(fèi)支出的財(cái)源，則她可永遠(yuǎn)維持這個(gè)消費(fèi)水準(zhǔn)而不必?fù)?dān)心未來(lái)各期消費(fèi)支出的財(cái)源。C/r就是她為了永遠(yuǎn)維持這種消費(fèi)水準(zhǔn)在本期所必須提存的金額。將C/r存入銀行，從下一期開(kāi)始，她每期可支領(lǐng)的票息收入為 票息收入 = = C若將此票息收入用於消費(fèi)支出，則每期可以消費(fèi)金額就等於該期票息收入且可永遠(yuǎn)運(yùn)作下去。 例子： 某一永續(xù)年金未來(lái)每年將給付給永續(xù)年金持有者1000元。若資本機(jī)會(huì)成本為8%，請(qǐng)問(wèn)此永續(xù)年金的價(jià)值？利用永續(xù)年金的現(xiàn)值公式可算出該永續(xù)年金現(xiàn)值： PV1=
元。 若機(jī)會(huì)成本降為5%，永續(xù)年金的現(xiàn)值變?yōu)? PV2 = 20,000元。 此例可知永續(xù)年金的價(jià)值（PV）和資本機(jī)會(huì)成本（r）呈反向變動(dòng)關(guān)係。 成長(zhǎng)型永續(xù)年金 成長(zhǎng)型永續(xù)年金和永續(xù)年金不同之處在於成長(zhǎng)型永續(xù)年金持有者每期所收到的票息收入是以固定成長(zhǎng)率逐年增加。亦即，成長(zhǎng)型永續(xù)年金的現(xiàn)金流量圖為 現(xiàn)金流量 C C（1+g） ．．． C（1+g）N2 C（1+g）N1 時(shí)點(diǎn) 0 1 2 ．．． N1 N成長(zhǎng)型永續(xù)年金的現(xiàn)值為 PV = ++???++???式中C為第一期的現(xiàn)金流量，C?（1+g）N1為第N期的現(xiàn)金流量，g為息票收入的年成長(zhǎng)率，r為折現(xiàn)率。若r＞g，則成長(zhǎng)型永續(xù)年金的現(xiàn)值可簡(jiǎn)化為 PV = 例子：許根在淡水擁有一棟公寓，計(jì)劃將此公寓分租給當(dāng)?shù)貙W(xué)生，預(yù)計(jì)下年度的房租總收入為10萬(wàn)元。許根在房租契約上，明訂房租和物價(jià)指數(shù)連動(dòng)，即房租租金率按物價(jià)膨脹率調(diào)整。許根預(yù)測(cè)未來(lái)各年度年平均物價(jià)膨脹率為3%。假設(shè)目前市場(chǎng)均衡利率為8%，請(qǐng)問(wèn)許根將此公寓出租後未來(lái)各期可收到房租的現(xiàn)值為多少？未來(lái)各期都有房租收入且房租收入隨物價(jià)膨脹率調(diào)整，故每年房租收入不再是固定值，而是依某固定成長(zhǎng)率（3%）增加，此種現(xiàn)金流量型態(tài)就是成長(zhǎng)型永續(xù)年金。將r = 8% 以及各期房租收入代入成長(zhǎng)型永續(xù)年金現(xiàn)值公式可得 PV = ++ + ??? ++??? = = 200萬(wàn)元應(yīng)用成長(zhǎng)型永續(xù)年金公式時(shí)，必須注意以下幾點(diǎn)：168。 現(xiàn)值公式中分子的C值，係指下一期而非本期的現(xiàn)金流量。168。 成長(zhǎng)型永續(xù)年金現(xiàn)值公式成立的條件是r＞g。若g＞r，由於現(xiàn)金流量成長(zhǎng)速度大於折現(xiàn)速度，此將造成各期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值不再是有限值。換句話說(shuō)，未來(lái)的現(xiàn)金流量隨著時(shí)間愈久遠(yuǎn)，對(duì)本期價(jià)值的影響愈強(qiáng)，此和一般現(xiàn)值概念相違背。一般現(xiàn)值概念應(yīng)是未來(lái)現(xiàn)金流量的重要性會(huì)隨著時(shí)間愈久遠(yuǎn)而變小。168。 成長(zhǎng)型永續(xù)年金的現(xiàn)值公式中，假設(shè)每期取得現(xiàn)金收入一次。 年金 年金係指在固定且有限期間內(nèi)，每期給付固定金額的現(xiàn)金流量。大部分財(cái)務(wù)工具現(xiàn)金流量型態(tài)屬於年金型式，退休年金或房貸都是年金標(biāo)準(zhǔn)例子。年金可用以下的現(xiàn)金流量圖表示 現(xiàn)金流量 C C ．．． C 時(shí)點(diǎn) 0 1 2 ．．． T年金的現(xiàn)值可直接以下列公式算出： PV = ++???+ 式中現(xiàn)金流量是由第1期持續(xù)到到第T期，每期現(xiàn)金流量為固定值C。以下將利用永續(xù)年金的現(xiàn)值公式說(shuō)明如何計(jì)算年金的現(xiàn)值。首先，我們考慮兩個(gè)永續(xù)年金A和永續(xù)年金B(yǎng)，兩者差異在於年金現(xiàn)金流量給付的起始點(diǎn)不同：永續(xù)年金A給付起始點(diǎn)為第1期，永續(xù)年金B(yǎng)給付起始點(diǎn)為第T+1期。 永續(xù)年金A： C C ．．． C C ．．．0 1 2 ．．． T T+1 ．．． 永續(xù)年金B(yǎng)： C C ．．． T+1 T+2 ．．． 永續(xù)年金A以第0期貨幣所算出的現(xiàn)值為： PV A(0) = ， 而永續(xù)年金B(yǎng)以第T期貨幣所算出的現(xiàn)值亦為： PVB(T) = 。由於PVA(0) 和PVB(T) 並非以相同時(shí)點(diǎn)的貨幣衡量所得的價(jià)值。兩者衡量基準(zhǔn)不同。若要比較，我們應(yīng)先將PVB(T) 的轉(zhuǎn)換為以第0期貨幣衡量的價(jià)值： = 此時(shí)，PVA(0) 和PVB(0) 之差就是年金的現(xiàn)值： PV = (0)(0) =若給付期間愈長(zhǎng)（T值愈大），則PV的值愈接近C/r（當(dāng)T值愈大，愈接近0）。 一般應(yīng)用現(xiàn)值公式時(shí)，多是知道投資計(jì)畫(huà)執(zhí)行期間或金融資產(chǎn)持有期間各期現(xiàn)金流量以及折現(xiàn)率，然後利用現(xiàn)值公式（式（1））或淨(jìng)現(xiàn)值公式（式（2））算出投資計(jì)畫(huà)淨(jìng)現(xiàn)值或金融資產(chǎn)現(xiàn)值。然而，式（1）亦可在現(xiàn)值（PV）及折現(xiàn)率（r）已知情況下，求算各期現(xiàn)金流量。計(jì)算貸款每期應(yīng)償還金額就是最佳例子。舉例說(shuō)，ABC公司決定新增一條生產(chǎn)線，資本支出金額為12億元，ABC公司財(cái)務(wù)部門決定向銀行舉借10億。銀行核準(zhǔn)的條件為分十年平均攤還，每年年度結(jié)束時(shí)還款，下年度開(kāi)始償還，年利率為8%。若ABC公司同意此項(xiàng)條件，請(qǐng)問(wèn)ABC公司每年度應(yīng)償還的金額？依銀行貸款條件，此項(xiàng)十年期貸款的現(xiàn)金流量圖為 C C C C 0 1 2 10億元銀行本年度貸給ABC公司10億元現(xiàn)金，未來(lái)十年每年ABC公司應(yīng)償還C的金額。銀行之所以願(yuàn)意貸款給ABC公司，必然是因?yàn)殂y行預(yù)期未來(lái)十年每年度所收到C以年利率8%計(jì)算的現(xiàn)值不低於10億： 10億元= = C ?= C ?由上式就可算出ABC公司每年應(yīng)償還的金額C =未償還借款餘額等於至到期期限前借款人應(yīng)償還金額的現(xiàn)值。以下的例子將說(shuō)明如何計(jì)算未償還借款餘額。例子： 朱一十年前向銀行借款3000萬(wàn)元用於購(gòu)買新店豪宅，%，期限為30年。%，朱一打算舉新還舊以減輕利息負(fù)擔(dān)。朱一須先算出還有多少本金尚未償還（或未償還借款餘額）？每年償還12期，30年就有360期，此項(xiàng)三十年期借款的現(xiàn)金流量圖為 C C C C C 0 1 2 3 359 360 3000萬(wàn)元%，%（=%∕12）。利用年金現(xiàn)值公式可算出每月應(yīng)償還的金額（C）：=21萬(wàn)5960元目前朱一的房貸未償還餘額等於未來(lái)20年每月償還21萬(wàn)5900元的現(xiàn)值： 未償還餘額 = 21萬(wàn)5960元? = 2620萬(wàn)7590元由於朱一每月固定償還的金額（C）包含利息及本金兩部分，朱一還想知道去年一年她支付多少利息。每月要償還21萬(wàn)5960元，一年總共償還259萬(wàn)1520元，要算出支付多少利息須先算出去年一年朱一償還多少本金。一年前，朱一房貸的未償還餘額為21萬(wàn)5960元? =2673萬(wàn)2480元與本年度未償還餘額相比較可知朱一去年償還本金的金額為2673萬(wàn)2480元－2620萬(wàn)7590元＝52萬(wàn)4890元，故去年一年朱一繳納的利息為259萬(wàn)1520元－52萬(wàn)4890元＝206萬(wàn)6630元 成長(zhǎng)型年金 成長(zhǎng)型年金和年金不同處在於給付期間內(nèi)，每期現(xiàn)金流量是以固定成長(zhǎng)率增加： 現(xiàn)金流量 C C(1+g) ．．． C(1+g)T2 C(1+g)T1 時(shí)點(diǎn) 0 1 2 ．．． T1 T，成長(zhǎng)型年金的現(xiàn)值為： PV = 式中C為第一期支付金額，g為支付金額的成長(zhǎng)率，r為利率，T為成長(zhǎng)型年金持續(xù)期間。 例子： 朱胖將自某國(guó)立大學(xué)經(jīng)濟(jì)系研究所博士班畢業(yè)，某科技大學(xué)提供朱胖助理教授一職，年薪60萬(wàn)元。朱胖預(yù)估她的年薪每年調(diào)升3%，朱胖目前25歲，距65歲退休年齡還有40年任職期間。目前，市場(chǎng)均衡利率為14%，請(qǐng)問(wèn)朱胖往後40年任教期間的年薪現(xiàn)值為多少？ 為簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)年薪60萬(wàn)元是在第一年年終一次給付，而以後各年年薪給付亦依此方式，依成長(zhǎng)型年金公式可得 = 4. 複利計(jì)息頻率與有效年利率 前幾節(jié)有關(guān)投資收益或現(xiàn)值的討論都假設(shè)一年計(jì)息一次。一年內(nèi)複利計(jì)息次數(shù)若超過(guò)一次，複利計(jì)息（或折現(xiàn)）次數(shù)對(duì)終值或現(xiàn)值將有何影響？舉例來(lái)說(shuō)，銀行存款年利率為10%，每半年複利計(jì)息一次。許根於本期期初存入1000元。半年後，本金加利息的金額為 1000元 , 再過(guò)半年（此時(shí)存款正好滿一年），本金加利息的金額就變?yōu)? 1050元 。 若每年複利計(jì)息一次，一年後本金加利息的金額為 1000元 = 1100元。兩相比較。由於複利計(jì)息和單利計(jì)息最大不同就是複利計(jì)息所創(chuàng)造的利息可做為未來(lái)的本金再生利息，所以，同一期間內(nèi)複利計(jì)息次數(shù)愈多，就會(huì)有愈多的利息可更早轉(zhuǎn)為本金再生利息。假設(shè)每季複利計(jì)息一次，一年後本金加利息所得的金額為 1000元 元這個(gè)金額又比每半年複利計(jì)息所得的金額（）為多。假設(shè)每年複利計(jì)息m次，本期期初存入C0元。一年後，本金加利息的金額為 上面的公式適用於一期本金與利息的計(jì)算。在多期的情形下，每期複利計(jì)息m次，下期後C0的終值變?yōu)椋? 式中T為計(jì)息終止期間。為了方便比較不同複利計(jì)息頻率情形下，同一期間的平均投資報(bào)酬率，我們以有效年利率（effective annual interest rate，以EAIR簡(jiǎn)記）來(lái)衡量不同複利計(jì)息頻率（m）的年平均投資報(bào)酬率： EAIR = 例子：黃朝考慮在本期期初借出100萬(wàn)元，年利率為24%，利息計(jì)算將採(cǎi)複利計(jì)息方式，每月計(jì)算一次。請(qǐng)問(wèn)一年後，投資收益有多少？ 100萬(wàn)元 萬(wàn)元。 此時(shí)，有效年利率（EAIR）為 % = %