【正文】 是多持有債券（或金融資產(chǎn)）一期所能取得的邊際報酬率（marginal rate of returns）。當(dāng)X值小於7%時，?n（1+ X）≈ X，式中 ?n（X）係指 X 的自然對數(shù)值。均衡時，兩種投資選擇的預(yù)期投資收益應(yīng)該相同：（1+ r0n）n =（1+ r0n）（1 +）…（1+ ren1,n）。若 ＜ r01，則r02 ＜r01。上式可進一步導(dǎo)出兩年期純折現(xiàn)率（）與一年期純折現(xiàn)率（）間的關(guān)係： 。此時她有兩種投資機會可供選擇：持有一個兩年期零息債券或持有兩個一年期零息債券。由【圖31】可清楚看出各年度長短期利率關(guān)係差異極大。不同到期期限的零息債券殖利率（即純折現(xiàn)率）：r0r0…、r0T和到期期限間的關(guān)係就構(gòu)成利率期限結(jié)構(gòu) (term structure of interest rates)。 債券價格低於債券面額時，息票率低於到期殖利率。最後，若息票率小於到期殖利率，則加權(quán)平均值小於1，債券價格小於債券面額。若兩年期息票債券殖利率 (k02) 由10% 降為8%，債券價格變?yōu)? =+
，債券係溢價售出 (P0 FV)。首先，以下面的例子說明兩者關(guān)係。假設(shè)到期殖利率（k07）為10%，請問息票債券的價格為多少？ 首先，我們計算到期日前各期的息票給付金額。 息票債券的價格應(yīng)如何計算？先算出到期日前各期應(yīng)給付的息票金額（= FV ），然後運用現(xiàn)值公式算出該債券的本期價格： =???+， 式中稱為到期殖利率（yield to maturity或稱為息票債券殖利率）。假若公司每年皆能如期付出股息，則特別股可視為永續(xù)型息票債券。我們可用永續(xù)年金現(xiàn)值公式計算債券的價值。 永續(xù)型息票債券永續(xù)型息票債券並無到期日，而是每期給付一定金額的票息給債券持有者，此種債券屬於永續(xù)年金的型式亦稱為永久型債券（permanent bond）。只有P0 ≦ PV時，投資者才有持有的意願。舉例說，T期零息債券的現(xiàn)金流量圖為FV息票收入 0 T 債券價格 式中FV為零息債券的面額，T為債券到期日。1981年，美國百事可樂公司曾發(fā)行30年期零息票債券，發(fā)行金額總計8億5000萬美元。 零息債券零息債劵（zerocoupon bond）或稱純折現(xiàn)債券 (pure discount bond) 是型式最簡單的債券，它承諾在未來某一特定時點（即到期日）做單一的給付。168。息票率（FV）。 面額：公債面額為100萬元。 債券簡單的說就是標示資金借入者（債券發(fā)行者）未來各期應(yīng)償付多少金額給債券持有者的憑證。為了方便比較不同複利計息頻率情形下，同一期間的平均投資報酬率，我們以有效年利率（effective annual interest rate，以EAIR簡記）來衡量不同複利計息頻率（m）的年平均投資報酬率： EAIR = 例子：黃朝考慮在本期期初借出100萬元，年利率為24%，利息計算將採複利計息方式，每月計算一次。假設(shè)每季複利計息一次，一年後本金加利息所得的金額為 1000元 元這個金額又比每半年複利計息所得的金額（）為多。半年後，本金加利息的金額為 1000元 , 再過半年（此時存款正好滿一年），本金加利息的金額就變?yōu)? 1050元 。朱胖預(yù)估她的年薪每年調(diào)升3%，朱胖目前25歲，距65歲退休年齡還有40年任職期間。利用年金現(xiàn)值公式可算出每月應(yīng)償還的金額（C）：=21萬5960元目前朱一的房貸未償還餘額等於未來20年每月償還21萬5900元的現(xiàn)值： 未償還餘額 = 21萬5960元? = 2620萬7590元由於朱一每月固定償還的金額（C）包含利息及本金兩部分，朱一還想知道去年一年她支付多少利息。以下的例子將說明如何計算未償還借款餘額。舉例說，ABC公司決定新增一條生產(chǎn)線，資本支出金額為12億元，ABC公司財務(wù)部門決定向銀行舉借10億。若要比較，我們應(yīng)先將PVB(T) 的轉(zhuǎn)換為以第0期貨幣衡量的價值： = 此時，PVA(0) 和PVB(0) 之差就是年金的現(xiàn)值： PV = (0)(0) =若給付期間愈長（T值愈大），則PV的值愈接近C/r（當(dāng)T值愈大，愈接近0）。首先，我們考慮兩個永續(xù)年金A和永續(xù)年金B(yǎng)，兩者差異在於年金現(xiàn)金流量給付的起始點不同：永續(xù)年金A給付起始點為第1期，永續(xù)年金B(yǎng)給付起始點為第T+1期。 年金 年金係指在固定且有限期間內(nèi)，每期給付固定金額的現(xiàn)金流量。換句話說，未來的現(xiàn)金流量隨著時間愈久遠，對本期價值的影響愈強，此和一般現(xiàn)值概念相違背。 現(xiàn)值公式中分子的C值，係指下一期而非本期的現(xiàn)金流量。許根在房租契約上，明訂房租和物價指數(shù)連動，即房租租金率按物價膨脹率調(diào)整。 此例可知永續(xù)年金的價值（PV）和資本機會成本（r）呈反向變動關(guān)係。將C/r存入銀行，從下一期開始，她每期可支領(lǐng)的票息收入為 票息收入 = = C若將此票息收入用於消費支出，則每期可以消費金額就等於該期票息收入且可永遠運作下去。只要r大於零，上式右邊的總和為有限值，其可化簡為 PV = 。3. 幾個常用的現(xiàn)值公式本節(jié)將介紹幾個常用的現(xiàn)值公式： 永續(xù)年金（perpetuity） 成長型永續(xù)年金（growing perpetuity） 年金（annuity） 成長型年金（growing annuity） 永續(xù)年金 永續(xù)年金是每期給付固定金額的現(xiàn)金流量且無終止給付的日期。假設(shè)長短期年利率 相同：，則現(xiàn)值公式變?yōu)椋鴾Q(jìng)現(xiàn)值公式亦簡化為。此時計算各期現(xiàn)金流量現(xiàn)值的概念不變，先將各期現(xiàn)金流量一一轉(zhuǎn)換以本期貨幣衡量的價值，這些價值的加總就得到現(xiàn)值。也就是說，折現(xiàn)是將複利計息過程時間倒轉(zhuǎn)過來，將未來的貨幣價值轉(zhuǎn)換為以本期貨幣衡量的價值。首先，本期存入100萬元五年後所得到的本金加利息的金額可用以下現(xiàn)金流量圖表示：現(xiàn)金支出 100萬元 0 5現(xiàn)金收入 161萬500元由終值的公式可得：100萬元 =，簡單計算可解出r為10%。我們可利用現(xiàn)值因子將未來的現(xiàn)金流量轉(zhuǎn)換以本期貨幣衡量。？我們可利用複利計息公式來檢證。換一個角度看，若我們希望在兩期後能有1元的收入，市場均衡利率為9%情形下，請問本期應(yīng)投資多少？這個問題可用下列公式呈現(xiàn) PV元, 式中PV即為兩年後1 元的現(xiàn)值。父母都寧願讓其孫徒輩變得比較有錢，而非讓子女輩變得稍微有錢。若在1926年初投資美國股市1美元，：
，經(jīng)過計算，投資美國股市71年的平均報酬率（r）%。20年後，單利計息所算出的期末投資收益為300元，而以複利計息方式所算出期末投資收益高達673元，兩者差距已有一倍以上。複利計息過程中「息生息」的威力到底有多大？[表31]列舉單利計息以及複利計息所得到投資收益的差異。）萬元則是以複利計息方式所算出第一期利息以及第二期利息再透過「息滾息」過程所創(chuàng)造的額外現(xiàn)金收入，（）萬元即為以複利計息方式所得到的利息總收入。兩相比較可知：以複利計息所賺取的投資收益和單利計息所賺取的投資收益兩期後金額相差r178。黃朝若將所得的 (1+ r) 萬元再貸出一期，由於已將前期所賺的利息 r萬元做為下一期的本金再生利息，這個過程稱為複利計息（pounding process）。經(jīng)過仔細評估，畫廊廖老闆認為25%才能反映購畫計劃的風(fēng)險，亦即25%才是合理的資本機會成本。 例子： 臺藝畫廊正考慮以40萬元購入一幅王秋香40號油畫，預(yù)計此畫明年售出可得款48萬元，這項投資計劃的現(xiàn)金流量圖為 現(xiàn)金收入 48萬元 0 1 現(xiàn)金支出 40萬元目前銀行存款利率為10%，請問該畫廊是否應(yīng)購入這幅畫？ 一般而言，現(xiàn)金流量圖中48萬元現(xiàn)金收入不應(yīng)視為事先確定的數(shù)字，最多只是預(yù)測值。本章將第二章的現(xiàn)值概念由一期的架構(gòu)延伸為多期的架構(gòu)，接著將利用多期架構(gòu)下的現(xiàn)值公式討論各種債券的價值以及長短期利率間的關(guān)連。貨幣的時間價值就是決定本期貨幣價值和未來期間貨幣價值間的關(guān)係。本章暫不考慮風(fēng)險的存在如何影響淨(jìng)現(xiàn)值的計算，但先以例子說明風(fēng)險因素如何影響投資決策。由於藝品投資的風(fēng)險遠較存款為高，不宜以存款利率做為資本機會成本（或稱折現(xiàn)率），而恰當(dāng)?shù)恼郜F(xiàn)率應(yīng)比10%為高才能合理反映此項投資計劃的風(fēng)險。1. 複利計息的威力 黃朝貸出手中的1萬元現(xiàn)金後，下一期將有本金加利息的現(xiàn)金收入：(1+r)萬元，r為市場均衡利率。2r表示兩年期間單利計息所賺取的利息。+ r179。）萬元。 10% ) 的差異。[表31] 本期投資100元各期期末的投資收益（r = 10%）單利計息複利計息期數(shù)期初本金 +利息＝期末餘額期初本金+利息＝ 期末餘額1100 +10=110100+10=1102110 +10=120110+11=1213120 +10=130 121+=4130+10=140 + =10190+10=200236+24=25920290+10=300 612+61=67350590+10=600 10,672+1,067=11,7391001090+10=11001,252,783,+125,278=1,378,0612002090+10=210017,264,116,020+1,726,411,602=18,990,527,6222102190+10=220044,778,670,810+4,477,867,081=49,256,537,891接下來，再以1926年到1996年這段期間，投資美國股市的年平均報酬率為例說明複利計息的威力。複利計息的威力亦可用於解釋為何上一代遺產(chǎn)大都不贈與給下一代而是贈與給下一代的下一代。若市場均衡年利率為9%，本期貸出1 元。以折現(xiàn)方式計算現(xiàn)值是將未來期間的貨幣轉(zhuǎn)換以本期貨幣來衡量，而複利計息則是將本期的貨幣價值轉(zhuǎn)換為以未來某特定期間的貨幣來衡量（即複利計息等同於計算終值）。9% 稱為折現(xiàn)率（discount rate），而1/()2（）稱為現(xiàn)值因子（present value factor，以PVF簡記）。假設(shè)五年內(nèi)車價不變，若阿輝將這筆獎金存入銀行，請問市場均衡利率水準應(yīng)是多少才讓她五年後有足夠錢支付車款。在實際說明現(xiàn)值概念時，我們經(jīng)常以「本期投資100元，若市場均衡利率為10%時，請問一年後該投資者會有多少投資收益？」替代「假設(shè)均衡利率為10%，請問一年後100元的現(xiàn)值為多少？」第一個問題的答案是 100元 = 110元，而第二個問題的答案則是 = 。投資計畫所創(chuàng)造的現(xiàn)金收入不