圓的知識點總結(jié)-文庫吧
2025-06-07 15:45 本頁面
【正文】 3，△ABC內(nèi)接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半徑等于6cm，O點到BC的距離OD等于2cm，求AB的長。析：因為不知道∠A是銳角還是鈍角，因此圓心有可能在三角形內(nèi)部，還可能在三角形外部，所以需分兩種情況進行討論。略解：（1）假若∠A是銳角，△ABC是銳角三角形。如圖3，由AB＝AC，可知點A是優(yōu)弧的中點，因為OD⊥BC且AB＝AC，根據(jù)垂徑定理推論可知，DO的延長線必過點A，連結(jié)BO ∵BO＝6，OD＝2 ∴ 在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8 ∴ 圖3 圖3－1（2）若∠A是鈍角，則△ABC是鈍角三角形，如圖3－1添加輔助線及求出，在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4∴AB綜上所述AB＝小結(jié)：凡是與三角形外接圓有關(guān)的問題，一定要首先判斷三角形的形狀，確定圓心與三角形的位置關(guān)系，防止丟解或多解。 例4. 已知：如圖4，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，F(xiàn)是CD延長線上一點，AF交⊙O于E。求證：AEEF＝ECED圖4分析：求證的等積式AEEF＝ECED中，有兩條線段EF、ED在△EDF中，另兩條線段AE、EC沒有在同一三角形中，欲將其置于三角形中，只要添加輔助線AC，設(shè)法證明△FED∽△CEA即可。證明：連結(jié)AC ∵四邊形DEAC內(nèi)接于圓 ∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA ∵直徑AB⊥CD，∴ ∴∠DCA＝∠CEA，∴∠FED＝∠CEA ∴△FED∽△CEA ∴，∴AEEF＝ECED小結(jié)：四邊形內(nèi)接于圓這一條件，常常不是在已知條件中明確給出的，而是隱含在圖形之中，在分析已知條件時，千萬不要忽略這一重要條件。例5. 已知：如圖5，AM是⊙O的直徑，過⊙O上一點B作BN⊥AM，垂足為N，其延長線交⊙O于點C，弦CD交AM于點E。圖5（1）如果CD⊥AB，求證：EN＝NM；（2）如果弦CD交AB于點F，且CD＝AB，求證CE2＝EFED；（3）如果弦CD繞點C旋轉(zhuǎn)，并且與AB的延長線交于點F，且CD＝AB，那么（2）的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。證明：（1）連結(jié)BM（如圖5－1）圖5－1 ∵AM是直徑，∴∠ABM＝90176。 ∵CD⊥AB，∴BM∥CD ∴∠ECN＝∠MBN，又AM⊥BC，∴CN＝BN ∴Rt△CEN≌Rt△BMN，∴EN＝NM （2）連結(jié)BD，BE，AC（如圖5－2）圖5－2 ∵點E是BC垂直平分線AM上一點，∴BE＝EC ∵CD＝AB，∴ ∴∠ACD＝∠BDC，又AB＝AC，AE＝AE ∴△ABE≌△ACE，∴∠ABE＝∠ACD＝∠BDC ∵∠BED是公共角，∴△BED∽△FEB ∴BE2＝EFED，∴CE2＝EFED （3）結(jié)論成立。如圖5－3圖5－3 證明：仿（2）可證△ABE≌△ACE ∴BE＝CE，且∠ABE＝∠ACE 又∵AB＝CD，∴ ∴∠ACB＝∠DBC，∴BD∥AC ∴∠BDE＋∠ACE＝180176。 而∠FBE＋∠ABE＝180176。 ∴∠BDE＝∠FBE，而∠BED是公共角 ∴△BED∽△FEB ∴BE2＝EFED，∴CE2＝EFED（二）直線與圓的關(guān)系 1. 直線與圓的位置關(guān)系直線和圓的位置相離相切相交公共點的個數(shù)012公共點名稱無切點交點直線名稱無切線割線圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系 2. 切線的判定 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 3. 切線的性質(zhì) （1）圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑； （2）推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點； （3）推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。 此定理及推論可理解為以下三個條件中任知其中兩個就可推出第三個：①垂直于切線；②經(jīng)過切點；③經(jīng)過圓心。 4. 切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。 5. 弦切角定理（1）弦切角等于它所夾的弧對的圓周角；（2）推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等；（3）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。 6. 和圓有關(guān)的比例線段（1）相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等；（2）推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項；（3）切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項；（4）推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。 7. 三角形的內(nèi)切圓（1）有關(guān)概念：三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形；（2）作圖：作一個圓，使它和已知三角形的各
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