圓的知識點總結(已修改)
2025-07-04 15:45 本頁面
【正文】 .. .. .. ..圓的知識點總結（一）圓的有關性質［知識歸納］ 1. 圓的有關概念： 圓、圓心、半徑、圓的內部、圓的外部、同心圓、等圓； 弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圓的內接三角形、三角形的外接圓、三角形的外心、圓內接多邊形、多邊形的外接圓；圓心角、圓周角、圓內接四邊形的外角。 2. 圓的對稱性 圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸； 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形； 圓具有旋轉不變性。 3. 圓的確定 不在同一條直線上的三點確定一個圓。 4. 垂直于弦的直徑 垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧； 推論1 （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??； （2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧； （3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。 垂徑定理及推論1 可理解為一個圓和一條直線具備下面五個條件中的任意兩個，就可推出另外三個：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦（不是直徑）；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧。 推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 5. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系 定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等；所對的弦的弦心距相等。 推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。 此定理和推論可以理解成：在同圓或等圓中，滿足下面四個條件中的任何一個就能推出另外三個：①兩個圓心角相等；②兩個圓心角所對的弧相等；③兩個圓心角或兩條弧所對的弦相等；④兩條弦的弦心距相等。 圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。 6. 圓周角 定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半； 推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等； 推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90176。的圓周角所對的弦是直徑； 推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。 圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。 7. 圓內接四邊形的性質 圓內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角。 ※8. 軌跡軌跡 符合某一條件的所有的點組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡。（1）平面內，到一定點的距離等于定長的點的軌跡，是以這個定點為圓心，定長為半徑的圓；（2）平面內，和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線；（3）平面內，到已知角兩邊的距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線。［例題分析］ 例1. 已知：如圖1，在⊙O中，半徑OM⊥弦AB于點N。圖1 ①若AB＝，ON＝1，求MN的長； ②若半徑OM＝R，∠AOB＝120176。，求MN的長。 解：①∵AB＝，半徑OM⊥AB， ∴AN＝BN＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半徑OM⊥AB，且∠AOB＝120176。 ∴∠AOM＝60176。 ∵ON＝OAcos∠AON＝OMcos60176。＝ ∴ 說明：如圖1，一般地，若∠AOB＝2n176。，OM⊥AB于N，AO＝R，ON＝h，則AB＝2Rsin n176。＝2htan n176。＝ 例2. 已知：如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90176。，∠B＝25176。，以點C為圓心、AC為半徑作⊙C，交AB于點D，求的度數(shù)。圖2分析：因為弧與垂徑定理有關；與圓心角、圓周角有關；與弦、弦心距有關；弧與弧之間還存在著和、差、倍、半的關系，因此這道題有很多解法，僅選幾種供參考。解法一：（用垂徑定理求）如圖2－1，過點C作CE⊥AB于點E，交于點F。圖2－1 ∴ 又∵∠ACB＝90176。，∠B＝25176。，∴∠FCA＝25176。 ∴的度數(shù)為25176。，∴的度數(shù)為50176。 解法二：（用圓周角求）如圖2－2，延長AC交⊙C于點E，連結ED圖2－2 ∵AE是直徑，∴∠ADE＝90176。 ∵∠ACB＝90176。，∠B＝25176。，∴∠E＝∠B＝25176。 ∴的度數(shù)為50176。 解法三：（用圓心角求）如圖2－3，連結CD圖2－3 ∵∠ACB＝90176。，∠B＝25176。，∴∠A＝65176。 ∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝65176。 ∴∠ACD＝50176。，∴的度數(shù)為50176。例3. 已知：如圖
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