【正文】 而定，我們把Y看成一個隨機變量，其取值范圍內的概率為： 亭一∈c叫，一{； ：三裹囂 從以上的例子可知，在隨機試驗E下，其基本事件空間n一{∞)，如果每一個試驗可能的結果都可以用一個實值變量亭{∞)與之相對應，而e{叫)取值不能預先斷定，但S{∞)的取值遵從一定的概率規(guī)律，則稱導{叫)為隨機變量，簡寫為亭。而稱F(z)一P{車z)(一。z+。)為隨機變量{的分布函數，即P{搴z)是z的函數。 隨機變量按取值情況分為以下兩大類。 ①離散型隨機變量：隨機變量所有可能的取值是有限個或可列無限多個，即所有可能取值能按一定順序一一列舉出來，如例2—4，例2—5中隨機變量。 ②非離散型隨機變量：如果隨機變量所有可能取的值不能按著一定順序一一列舉出來，則稱為非離散型隨機變量。非離散型隨機變量中最重要的是連續(xù)型隨機變量，如例2—3中的隨機變量，它的可能取值是某個區(qū)間內的一切實數。A的概率：P(A)=k/n= 此題的解法還可為：因為195。 (A的互補事件)包含的基本事件數為C397，所以P(195。)= C397/C1003=o．911 81，故(二 ) 隨機變量及其分布1．隨機變量為了對隨機現象進行全面的研究，需要引入隨機變量的概念，我們從下面實例說明。 [例2—3] 從一批燈泡中，隨機抽取一件產品，測試其壽命Y，則y≥o。但y到底取哪個值，要看具體試驗結果而定，我們把Y看成一個隨機變量，其取值范圍內的概率為： [例2—4] 一批產品批量為N，批中不合格品數為D(DN)。從N中抽取挖個產品(即樣本量為n)，樣本中不合格品數為d，那么d隨樣本結果而定，則d就可看作是一個隨機變量，其取值范圍是o≤d≤D。 [例2—5] 在產品質量檢查時，從一批產品中每次抽取一個產品，檢查它是正品還是次品，每次試驗的結果隨具體的產品而變。為研究問題方便，我們可以規(guī)定用0表示{抽Nil!品}，用1表示{抽到次品}，這實際上相當于引入了一個變量，如果與試驗樣本空間聯(lián)系起來，它可以看成是定義在樣本空間n一{cc，)上的函數，即 2．概率分布 利用隨機變量來研究隨機試驗，必須知道隨機變量所有可能取的值及其所對應的概率，因而研究隨機變量的中．C,N㈣tgIRNN$冤f4性(即它取哪些值，取這些值的概率是多少)，稱為概率分布。 按隨機變量取值分布不同，其概率分布規(guī)律也不同，我們重點研究以下兩種分布。 (1)離散型隨機變量的概率分布 設一離散型隨機變量∈的所有可能取值為z。，z。，…，薯，e取各個五相應的概率為P。，即 P(∈一z，)一P。，(i一1，2，3，…) (2—1)說明。 [例2—3] 從一批燈泡中，隨機抽取一件產品，測試其壽命Y，則y≥o。但y到底取哪個值，要看具體試驗結果而定，我們把Y看成一個隨機變量，其取值范圍內的概率為： [例2—4] 一批產品批量為N，批中不合格品數為D(DN)。從N中抽取挖個產品(即樣本量為n)，樣本中不合格品數為d，那么d隨樣本結果而定，則d就可看作是一個隨機變量，其取值范圍是o≤d≤D。 [例2—5] 在產品質量檢查時，從一批產品中每次抽取一個產品，檢查它是正品還是次品，每次試驗的結果隨具體的產品而變。為研究問題方便，我們可以規(guī)定用0表示{抽Nil!品}，用1表示{抽到次品}，這實際上相當于引入了一個變量，如果與試驗樣本空間聯(lián)系起來，它可以看成是定義在樣本空間n一{cc，)上的函數，即 亭一∈c叫，一{； ：三裹囂 從以上的例子可知，在隨機試驗E下，其基本事件空間n一{∞)，如果每一個試驗可能的結果都可以用一個實值變量亭{∞)與之相對應，而e{叫)取值不能預先斷定，但S{∞)的取值遵從一定的概率規(guī)律，則稱導{叫)為隨機變量，簡寫為亭。而稱F(z)一P{車z)(一。z+。)為隨機變量{的分布函數，即P{搴z)是z的函數。 隨機變量按取值情況分為以下兩大類。 ①離散型隨機變量：隨機變量所有可能的取值是有限個或可列無限多個，即所有可能取值能按一定順序一一列舉出來，如例2—4，例2—5中隨機變量。 ②非離散型隨機變量：如果隨機變量所有可能取的值不能按著一定順序一一列舉出來，則稱為非離散型隨機變量。非離散型隨機變量中最重要的是連續(xù)型隨機變量，如例2—3中的隨機變量，它的可能取值是某個區(qū)間內的一切實數。 2．概率分布 利用隨機變量來研究隨機試驗，必須知道隨機變量所有可能取的值及其所對應的概率，因而研究隨機變量的中．C,N㈣tgIRNN$冤f4性(即它取哪些值，取這些值的概率是多少)，稱為概率分布。 按隨機變量取值分布不同，其概率分布規(guī)律也不同，我們重點研究以下兩種分布。 (1)離散型隨機變量的概率分布 設一離散型隨機變量∈的所有可能取值為z。，z。，…，薯，e取各個五相應的概率為P。，即 P(∈一z，)一P。，(i一1，2，3，…) (2—1)設試驗E只有兩個可能結果：A和A一(互補事件)芭的n次重復獨立試驗，稱為竹重貝努力試驗。 若￡為一隨機變量，其相應的概率分布為 P{￡一z)一C：夕。(1一p)…(x0則稱S服從二項分布，記為拿～B(，2，夕)。二項分布的形狀由參數竹，P來確定，如圖圖2—10．20 l圖2—2 在產品質量檢驗時，當產品批量為N，批不合格品率為戶，從中隨機抽取咒件作放回抽樣，這時樣本咒中取到的次品數z(z—o，1，…，Np)的概率可用(2—5)式來計算。 當N很大，取樣竹相對N而言很小時(N≥lOn)，不放回抽樣可看作放回抽樣。這時，超幾何分布逼近二項分布，可將復雜的超幾何分布計算利用二項分布來計算 這就是二項分布廣泛地用在統(tǒng)計抽樣中的原因。 當竹一1時， P{毒一z)一p。(1一p)1。 (2—7) 稱此分布為(o一1)分布或兩點分布。 [例2—8] 按照規(guī)定，某種型號電子管的使用壽命超過5 000小時的為一級品，已知某一大批產品的一級品率為0．2。現從中隨機地抽查20只，問這20只電子管恰有2只為一級品的概率是多少? 解：這里是不放回抽樣，但由于電子管的總數很大，且抽查電子管的數量相對電子管的總數來說又很小，因而可做放回抽樣來處理，這樣做會有一些誤差，但誤差不會很大。我們將產品是否是一級品看成一次試驗結果，檢查20只電子管相當于做20重貝努力試驗。以e記為20只電子管中的一級品率，那么拿是一個隨機變量，它服從，2—p0．2的二項分布，由(2—5)式知，z只電子管為一級品的概率是 P{S—z)一C知Pz(1一聲)2”。 (z一0，1，2，…，20)則當z一2時，P(5—2)一C毛0．22(10．2)20一2—0．137我們把對于不同z計算的結果列表，如表2—3。 表2—3不同x計算的結果 為了對本題有一直觀了解，作出上表圖形，如圖2 2。 從圖2—2中看到，當z增加時，P{e—z)先隨之增加直至達到極大值，隨后單調減少。一般對于固定的以及P，二項分布都具有這一性質。 ③泊松分布(二項分布的極限分布) 車為一隨機變量，若 、zP{拿一z)_箬e 3(z—o，1，…，Ao)(28) z! ”7圖2—3 則稱導服從泊松分布，記為∈～丌(A)，其分布圖形的形狀由參數A確定，如圖2—3所示。 在產品質量檢查中，泊松分布的典型用途是用作單位產品上所發(fā)生的缺陷數目的數學模型(計點值抽樣)。如產品批的單位產品所含平均不合格數(或缺陷數目)為P，抽查樣本量為7l，則樣本的不合格數z(z一0，1，…)出現的概率為職=z)一等e一砷(A一訓 (2～9)二項分布中當咒很大P很小時，我們就可以用(2～9)式來近似代替二項分布。在實際計算時，當行≥10，N≥lOn和戶≤o．1同時成立時，則有 c∥(1一礦一≈簧e1(A一訓 (2 10) 由此可見，泊松分布適用于研究稀有事件的概率規(guī)律，在社會生活中有廣泛的應用。例如取任一給定時問間隔內事故、錯誤及其他危害性的事件發(fā)生數，織布機上斷頭數，布匹上的疵點數，大量產品中少數不合格品出現的次數等都服從泊松分布。此概率分布如圖2—4所示。 注意，此分布是偏斜的，有一長尾拖向右方。當參數A變大時，泊松分布趨于對稱。 [例2—10] 有10萬個鋼球需要進行外觀檢查，當采用從中抽取lOO個，出現不超過15個次品為接收界限時，問當次品率為戶一10％時，圖2—4這批鋼球被接收可能性的大小L(戶)一?②正態(tài)分布如果連續(xù)型隨機變量￡的密度函數為其中戶，盯為常數，則稱導服從正態(tài)分布，記為e～N(肚，仃2)。廠(z)～z的鹽線簡稱正態(tài)曲線，見圖2—6所示。如果∈～N(／1，d2)，則它的分布函數為其圖形見圖2—7。當∥一0，仃一1時，e服從標準正態(tài)分布，即￡～N(o，1)，其概率密度和分布函數分別用≯(z)，西(z)表示，則有(三)隨機變量的數字特征(四)大數定律和中心極限定理二）隨機抽樣的基本方法 由抽樣法的原理我們知道，能否取得有代表性的樣本是決定結論是否正確反映客觀情況的關鍵。因此抽樣必須借助科學的方法，下面是幾種常用的抽樣方法。 a．簡單隨機抽樣(單純隨機抽樣) 簡單隨機抽樣是指對總體，任意抽取子樣，并保證每個子樣都有同等的抽選機會。具體做法有以下幾種。抽取 (1)抽簽、抓鬮法 將總體各單位產品進行編號，作成簽或鬮，按事先確定的抽樣數目從充分混合的簽和鬮中抽取。例如，從50件產品中隨機抽取5件組成樣本，把50件產品從1開始編號一直到50號，然后用抽簽或抓鬮的辦法，任意抽5張，假如抽到2，6，10，28，40，就把這5個編號的產品拿出來組成樣本。 (2)隨機數表法(亂數表法) 隨機數表法用于當總體單位數較多，且數值已確定時來抽取樣本單位。 隨機數表是一種事先按隨機原則將o，1，2，3，…，9十個數字編制的有一系列數字的表，表中每個數字出現的可能性都相同，并且表上數字組成的各種多位數(如二位數、三位數)也都有相同的出現機會，這種隨機數表屬統(tǒng)計數表的一種。根據這種表，在總體單位編好號碼的條件下，就可以隨機的抽取樣本單位。 下面用一例來說明該表的用法。 假定檢查批共有13個產品，抽取3個產品做樣本。先把這13個產品排列次序，編號從01到13號，然后隨機點出數表中的任意一個號碼，再按事先規(guī)定的順序，依次確定中選號碼，對照號碼抽取樣本單位。假定我們從表中點出數碼是第3行第11列，若事先規(guī)定是向右次序，遇有超過總體編號范圍的號碼，就跳過去，則應取07，13，10。 。 (3)隨機數發(fā)生器(隨機數骰子法) 這是一種簡單實用的方法。它是利用隨機數骰子獲得隨機數，并據以進行簡單隨機抽樣的方法。 國家標準GB／T 10111—88推薦的隨機數骰子是一種正20面體骰子，一套6個，具有不同顏色，各面上均刻有o～9的數字各2個。用它可產生一位，二位，……，六位隨機數。使用時，根據需要選取m個骰子，規(guī)定各種顏色骰子所表示的位數，如紅骰子代表十位數，藍骰子代表百位數等。并特別規(guī)定m個骰子出現的數字均為0時表示10“。將m個骰子放在盒內搖動即得到一個m位隨機數，繼續(xù)下去即得到m位隨機數列。利用隨機數列，選取隨機數，選取方法與隨機數表法相同，隨機數骰子法在GB／T 10111—88中規(guī)定了它的組成和使用方法。（4）電子隨機數抽樣器法 利用電子隨機數抽樣器獲得隨機數并據以進行簡單隨機抽樣的方法。 隨機數抽樣器是采用專用的隨機數發(fā)生器模塊等電子器件組成的隨機抽樣器，它的使用在GB／T 15500—95中有詳細介紹。 b．系統(tǒng)抽樣 將總體中要抽取的產品按某種次序排列，在規(guī)定范圍內隨機抽取一個或一組產品，并按一套規(guī)則確定其他樣本單位的抽樣方法，稱為系統(tǒng)隨機抽樣。 (1)系統(tǒng)抽樣的方法 ①按時間順序抽取，每隔一定時間抽取一個單位產品，直到抽足樣本量。如，在生產線上每隔5分鐘抽取1個產品進行質量檢驗。 ②按空間順序抽取，每隔一定空間距離抽取1個樣本單位，直到抽足樣本量。如每隔10個產品抽取1個產品進行質量檢驗，例如檢驗布的疵點時，可每隔20m取Im布進行檢驗等。 ③按產品編號順序抽取。如80件產品抽8件組成樣本。首先將80件產品編號01～80號，然后用抽簽或隨機數表法確定01～10號中的哪件產品入選為樣本單位，以此類推直至從71～80號產品中抽完最后一個樣品，由這些組成樣本。 (2)系統(tǒng)隨機抽樣優(yōu)點 ①組織工作簡單，只要第一個單位產