【正文】 而定，我們把Y看成一個(gè)隨機(jī)變量，其取值范圍內(nèi)的概率為： 亭一∈c叫，一{； ：三裹囂 從以上的例子可知，在隨機(jī)試驗(yàn)E下，其基本事件空間n一{∞)，如果每一個(gè)試驗(yàn)可能的結(jié)果都可以用一個(gè)實(shí)值變量亭{∞)與之相對(duì)應(yīng)，而e{叫)取值不能預(yù)先斷定，但S{∞)的取值遵從一定的概率規(guī)律，則稱導(dǎo){叫)為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)寫為亭。而稱F(z)一P{車z)(一。z+。)為隨機(jī)變量{的分布函數(shù)，即P{搴z)是z的函數(shù)。 隨機(jī)變量按取值情況分為以下兩大類。 ①離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量所有可能的取值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，即所有可能取值能按一定順序一一列舉出來(lái)，如例2—4，例2—5中隨機(jī)變量。 ②非離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量所有可能取的值不能按著一定順序一一列舉出來(lái)，則稱為非離散型隨機(jī)變量。非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量，如例2—3中的隨機(jī)變量，它的可能取值是某個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)數(shù)。A的概率：P(A)=k/n= 此題的解法還可為：因?yàn)?95。 (A的互補(bǔ)事件)包含的基本事件數(shù)為C397，所以P(195。)= C397/C1003=o．911 81，故(二 ) 隨機(jī)變量及其分布1．隨機(jī)變量為了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行全面的研究，需要引入隨機(jī)變量的概念，我們從下面實(shí)例說(shuō)明。 [例2—3] 從一批燈泡中，隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，測(cè)試其壽命Y，則y≥o。但y到底取哪個(gè)值，要看具體試驗(yàn)結(jié)果而定，我們把Y看成一個(gè)隨機(jī)變量，其取值范圍內(nèi)的概率為： [例2—4] 一批產(chǎn)品批量為N，批中不合格品數(shù)為D(DN)。從N中抽取挖個(gè)產(chǎn)品(即樣本量為n)，樣本中不合格品數(shù)為d，那么d隨樣本結(jié)果而定，則d就可看作是一個(gè)隨機(jī)變量，其取值范圍是o≤d≤D。 [例2—5] 在產(chǎn)品質(zhì)量檢查時(shí)，從一批產(chǎn)品中每次抽取一個(gè)產(chǎn)品，檢查它是正品還是次品，每次試驗(yàn)的結(jié)果隨具體的產(chǎn)品而變。為研究問(wèn)題方便，我們可以規(guī)定用0表示{抽Nil!品}，用1表示{抽到次品}，這實(shí)際上相當(dāng)于引入了一個(gè)變量，如果與試驗(yàn)樣本空間聯(lián)系起來(lái)，它可以看成是定義在樣本空間n一{cc，)上的函數(shù)，即 2．概率分布 利用隨機(jī)變量來(lái)研究隨機(jī)試驗(yàn)，必須知道隨機(jī)變量所有可能取的值及其所對(duì)應(yīng)的概率，因而研究隨機(jī)變量的中．C,N㈣tgIRNN$冤f4性(即它取哪些值，取這些值的概率是多少)，稱為概率分布。 按隨機(jī)變量取值分布不同，其概率分布規(guī)律也不同，我們重點(diǎn)研究以下兩種分布。 (1)離散型隨機(jī)變量的概率分布 設(shè)一離散型隨機(jī)變量∈的所有可能取值為z。，z。，…，薯，e取各個(gè)五相應(yīng)的概率為P。，即 P(∈一z，)一P。，(i一1，2，3，…) (2—1)說(shuō)明。 [例2—3] 從一批燈泡中，隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，測(cè)試其壽命Y，則y≥o。但y到底取哪個(gè)值，要看具體試驗(yàn)結(jié)果而定，我們把Y看成一個(gè)隨機(jī)變量，其取值范圍內(nèi)的概率為： [例2—4] 一批產(chǎn)品批量為N，批中不合格品數(shù)為D(DN)。從N中抽取挖個(gè)產(chǎn)品(即樣本量為n)，樣本中不合格品數(shù)為d，那么d隨樣本結(jié)果而定，則d就可看作是一個(gè)隨機(jī)變量，其取值范圍是o≤d≤D。 [例2—5] 在產(chǎn)品質(zhì)量檢查時(shí)，從一批產(chǎn)品中每次抽取一個(gè)產(chǎn)品，檢查它是正品還是次品，每次試驗(yàn)的結(jié)果隨具體的產(chǎn)品而變。為研究問(wèn)題方便，我們可以規(guī)定用0表示{抽Nil!品}，用1表示{抽到次品}，這實(shí)際上相當(dāng)于引入了一個(gè)變量，如果與試驗(yàn)樣本空間聯(lián)系起來(lái)，它可以看成是定義在樣本空間n一{cc，)上的函數(shù)，即 亭一∈c叫，一{； ：三裹囂 從以上的例子可知，在隨機(jī)試驗(yàn)E下，其基本事件空間n一{∞)，如果每一個(gè)試驗(yàn)可能的結(jié)果都可以用一個(gè)實(shí)值變量亭{∞)與之相對(duì)應(yīng)，而e{叫)取值不能預(yù)先斷定，但S{∞)的取值遵從一定的概率規(guī)律，則稱導(dǎo){叫)為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)寫為亭。而稱F(z)一P{車z)(一。z+。)為隨機(jī)變量{的分布函數(shù)，即P{搴z)是z的函數(shù)。 隨機(jī)變量按取值情況分為以下兩大類。 ①離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量所有可能的取值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，即所有可能取值能按一定順序一一列舉出來(lái)，如例2—4，例2—5中隨機(jī)變量。 ②非離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量所有可能取的值不能按著一定順序一一列舉出來(lái)，則稱為非離散型隨機(jī)變量。非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量，如例2—3中的隨機(jī)變量，它的可能取值是某個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)數(shù)。 2．概率分布 利用隨機(jī)變量來(lái)研究隨機(jī)試驗(yàn)，必須知道隨機(jī)變量所有可能取的值及其所對(duì)應(yīng)的概率，因而研究隨機(jī)變量的中．C,N㈣tgIRNN$冤f4性(即它取哪些值，取這些值的概率是多少)，稱為概率分布。 按隨機(jī)變量取值分布不同，其概率分布規(guī)律也不同，我們重點(diǎn)研究以下兩種分布。 (1)離散型隨機(jī)變量的概率分布 設(shè)一離散型隨機(jī)變量∈的所有可能取值為z。，z。，…，薯，e取各個(gè)五相應(yīng)的概率為P。，即 P(∈一z，)一P。，(i一1，2，3，…) (2—1)設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A和A一(互補(bǔ)事件)芭的n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，稱為竹重貝努力試驗(yàn)。 若￡為一隨機(jī)變量，其相應(yīng)的概率分布為 P{￡一z)一C：夕。(1一p)…(x0則稱S服從二項(xiàng)分布，記為拿～B(，2，夕)。二項(xiàng)分布的形狀由參數(shù)竹，P來(lái)確定，如圖圖2—10．20 l圖2—2 在產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)時(shí)，當(dāng)產(chǎn)品批量為N，批不合格品率為戶，從中隨機(jī)抽取咒件作放回抽樣，這時(shí)樣本咒中取到的次品數(shù)z(z—o，1，…，Np)的概率可用(2—5)式來(lái)計(jì)算。 當(dāng)N很大，取樣竹相對(duì)N而言很小時(shí)(N≥lOn)，不放回抽樣可看作放回抽樣。這時(shí)，超幾何分布逼近二項(xiàng)分布，可將復(fù)雜的超幾何分布計(jì)算利用二項(xiàng)分布來(lái)計(jì)算 這就是二項(xiàng)分布廣泛地用在統(tǒng)計(jì)抽樣中的原因。 當(dāng)竹一1時(shí)， P{毒一z)一p。(1一p)1。 (2—7) 稱此分布為(o一1)分布或兩點(diǎn)分布。 [例2—8] 按照規(guī)定，某種型號(hào)電子管的使用壽命超過(guò)5 000小時(shí)的為一級(jí)品，已知某一大批產(chǎn)品的一級(jí)品率為0．2?，F(xiàn)從中隨機(jī)地抽查20只，問(wèn)這20只電子管恰有2只為一級(jí)品的概率是多少? 解：這里是不放回抽樣，但由于電子管的總數(shù)很大，且抽查電子管的數(shù)量相對(duì)電子管的總數(shù)來(lái)說(shuō)又很小，因而可做放回抽樣來(lái)處理，這樣做會(huì)有一些誤差，但誤差不會(huì)很大。我們將產(chǎn)品是否是一級(jí)品看成一次試驗(yàn)結(jié)果，檢查20只電子管相當(dāng)于做20重貝努力試驗(yàn)。以e記為20只電子管中的一級(jí)品率，那么拿是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從，2—p0．2的二項(xiàng)分布，由(2—5)式知，z只電子管為一級(jí)品的概率是 P{S—z)一C知Pz(1一聲)2”。 (z一0，1，2，…，20)則當(dāng)z一2時(shí)，P(5—2)一C毛0．22(10．2)20一2—0．137我們把對(duì)于不同z計(jì)算的結(jié)果列表，如表2—3。 表2—3不同x計(jì)算的結(jié)果 為了對(duì)本題有一直觀了解，作出上表圖形，如圖2 2。 從圖2—2中看到，當(dāng)z增加時(shí)，P{e—z)先隨之增加直至達(dá)到極大值，隨后單調(diào)減少。一般對(duì)于固定的以及P，二項(xiàng)分布都具有這一性質(zhì)。 ③泊松分布(二項(xiàng)分布的極限分布) 車為一隨機(jī)變量，若 、zP{拿一z)_箬e 3(z—o，1，…，Ao)(28) z! ”7圖2—3 則稱導(dǎo)服從泊松分布，記為∈～丌(A)，其分布圖形的形狀由參數(shù)A確定，如圖2—3所示。 在產(chǎn)品質(zhì)量檢查中，泊松分布的典型用途是用作單位產(chǎn)品上所發(fā)生的缺陷數(shù)目的數(shù)學(xué)模型(計(jì)點(diǎn)值抽樣)。如產(chǎn)品批的單位產(chǎn)品所含平均不合格數(shù)(或缺陷數(shù)目)為P，抽查樣本量為7l，則樣本的不合格數(shù)z(z一0，1，…)出現(xiàn)的概率為職=z)一等e一砷(A一訓(xùn) (2～9)二項(xiàng)分布中當(dāng)咒很大P很小時(shí)，我們就可以用(2～9)式來(lái)近似代替二項(xiàng)分布。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，當(dāng)行≥10，N≥lOn和戶≤o．1同時(shí)成立時(shí)，則有 c∥(1一礦一≈簧e1(A一訓(xùn) (2 10) 由此可見(jiàn)，泊松分布適用于研究稀有事件的概率規(guī)律，在社會(huì)生活中有廣泛的應(yīng)用。例如取任一給定時(shí)問(wèn)間隔內(nèi)事故、錯(cuò)誤及其他危害性的事件發(fā)生數(shù)，織布機(jī)上斷頭數(shù)，布匹上的疵點(diǎn)數(shù)，大量產(chǎn)品中少數(shù)不合格品出現(xiàn)的次數(shù)等都服從泊松分布。此概率分布如圖2—4所示。 注意，此分布是偏斜的，有一長(zhǎng)尾拖向右方。當(dāng)參數(shù)A變大時(shí)，泊松分布趨于對(duì)稱。 [例2—10] 有10萬(wàn)個(gè)鋼球需要進(jìn)行外觀檢查，當(dāng)采用從中抽取lOO個(gè)，出現(xiàn)不超過(guò)15個(gè)次品為接收界限時(shí)，問(wèn)當(dāng)次品率為戶一10％時(shí)，圖2—4這批鋼球被接收可能性的大小L(戶)一?②正態(tài)分布如果連續(xù)型隨機(jī)變量￡的密度函數(shù)為其中戶，盯為常數(shù)，則稱導(dǎo)服從正態(tài)分布，記為e～N(肚，仃2)。廠(z)～z的鹽線簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線，見(jiàn)圖2—6所示。如果∈～N(／1，d2)，則它的分布函數(shù)為其圖形見(jiàn)圖2—7。當(dāng)∥一0，仃一1時(shí)，e服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即￡～N(o，1)，其概率密度和分布函數(shù)分別用≯(z)，西(z)表示，則有(三)隨機(jī)變量的數(shù)字特征(四)大數(shù)定律和中心極限定理二）隨機(jī)抽樣的基本方法 由抽樣法的原理我們知道，能否取得有代表性的樣本是決定結(jié)論是否正確反映客觀情況的關(guān)鍵。因此抽樣必須借助科學(xué)的方法，下面是幾種常用的抽樣方法。 a．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(單純隨機(jī)抽樣) 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是指對(duì)總體，任意抽取子樣，并保證每個(gè)子樣都有同等的抽選機(jī)會(huì)。具體做法有以下幾種。抽取 (1)抽簽、抓鬮法 將總體各單位產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)，作成簽或鬮，按事先確定的抽樣數(shù)目從充分混合的簽和鬮中抽取。例如，從50件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5件組成樣本，把50件產(chǎn)品從1開始編號(hào)一直到50號(hào)，然后用抽簽或抓鬮的辦法，任意抽5張，假如抽到2，6，10，28，40，就把這5個(gè)編號(hào)的產(chǎn)品拿出來(lái)組成樣本。 (2)隨機(jī)數(shù)表法(亂數(shù)表法) 隨機(jī)數(shù)表法用于當(dāng)總體單位數(shù)較多，且數(shù)值已確定時(shí)來(lái)抽取樣本單位。 隨機(jī)數(shù)表是一種事先按隨機(jī)原則將o，1，2，3，…，9十個(gè)數(shù)字編制的有一系列數(shù)字的表，表中每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的可能性都相同，并且表上數(shù)字組成的各種多位數(shù)(如二位數(shù)、三位數(shù))也都有相同的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，這種隨機(jī)數(shù)表屬統(tǒng)計(jì)數(shù)表的一種。根據(jù)這種表，在總體單位編好號(hào)碼的條件下，就可以隨機(jī)的抽取樣本單位。 下面用一例來(lái)說(shuō)明該表的用法。 假定檢查批共有13個(gè)產(chǎn)品，抽取3個(gè)產(chǎn)品做樣本。先把這13個(gè)產(chǎn)品排列次序，編號(hào)從01到13號(hào)，然后隨機(jī)點(diǎn)出數(shù)表中的任意一個(gè)號(hào)碼，再按事先規(guī)定的順序，依次確定中選號(hào)碼，對(duì)照號(hào)碼抽取樣本單位。假定我們從表中點(diǎn)出數(shù)碼是第3行第11列，若事先規(guī)定是向右次序，遇有超過(guò)總體編號(hào)范圍的號(hào)碼，就跳過(guò)去，則應(yīng)取07，13，10。 。 (3)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器(隨機(jī)數(shù)骰子法) 這是一種簡(jiǎn)單實(shí)用的方法。它是利用隨機(jī)數(shù)骰子獲得隨機(jī)數(shù)，并據(jù)以進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法。 國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB／T 10111—88推薦的隨機(jī)數(shù)骰子是一種正20面體骰子，一套6個(gè)，具有不同顏色，各面上均刻有o～9的數(shù)字各2個(gè)。用它可產(chǎn)生一位，二位，……，六位隨機(jī)數(shù)。使用時(shí)，根據(jù)需要選取m個(gè)骰子，規(guī)定各種顏色骰子所表示的位數(shù)，如紅骰子代表十位數(shù)，藍(lán)骰子代表百位數(shù)等。并特別規(guī)定m個(gè)骰子出現(xiàn)的數(shù)字均為0時(shí)表示10“。將m個(gè)骰子放在盒內(nèi)搖動(dòng)即得到一個(gè)m位隨機(jī)數(shù)，繼續(xù)下去即得到m位隨機(jī)數(shù)列。利用隨機(jī)數(shù)列，選取隨機(jī)數(shù)，選取方法與隨機(jī)數(shù)表法相同，隨機(jī)數(shù)骰子法在GB／T 10111—88中規(guī)定了它的組成和使用方法。（4）電子隨機(jī)數(shù)抽樣器法 利用電子隨機(jī)數(shù)抽樣器獲得隨機(jī)數(shù)并據(jù)以進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法。 隨機(jī)數(shù)抽樣器是采用專用的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器模塊等電子器件組成的隨機(jī)抽樣器，它的使用在GB／T 15500—95中有詳細(xì)介紹。 b．系統(tǒng)抽樣 將總體中要抽取的產(chǎn)品按某種次序排列，在規(guī)定范圍內(nèi)隨機(jī)抽取一個(gè)或一組產(chǎn)品，并按一套規(guī)則確定其他樣本單位的抽樣方法，稱為系統(tǒng)隨機(jī)抽樣。 (1)系統(tǒng)抽樣的方法 ①按時(shí)間順序抽取，每隔一定時(shí)間抽取一個(gè)單位產(chǎn)品，直到抽足樣本量。如，在生產(chǎn)線上每隔5分鐘抽取1個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)。 ②按空間順序抽取，每隔一定空間距離抽取1個(gè)樣本單位，直到抽足樣本量。如每隔10個(gè)產(chǎn)品抽取1個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，例如檢驗(yàn)布的疵點(diǎn)時(shí)，可每隔20m取Im布進(jìn)行檢驗(yàn)等。 ③按產(chǎn)品編號(hào)順序抽取。如80件產(chǎn)品抽8件組成樣本。首先將80件產(chǎn)品編號(hào)01～80號(hào)，然后用抽簽或隨機(jī)數(shù)表法確定01～10號(hào)中的哪件產(chǎn)品入選為樣本單位，以此類推直至從71～80號(hào)產(chǎn)品中抽完最后一個(gè)樣品，由這些組成樣本。 (2)系統(tǒng)隨機(jī)抽樣優(yōu)點(diǎn) ①組織工作簡(jiǎn)單，只要第一個(gè)單位產(chǎn)