【正文】 得 b=? ,則 ab=2. ,xayb??? ?? 2x 2a5.(2022陜西 ,13,3分 )若一個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(m,m)和 B(2m,1),則這個(gè)反比例函數(shù)的 表達(dá)式為 . 答案 y=? 4x解析 設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y=? (k≠ 0),∵ 反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(m,m)和 B(2m,1),∴ k=m2=2m,解得 m1=2,m2=0(舍去 ),∴ k=4,∴ 反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y=? . kx4x方法指導(dǎo) 本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn) ,熟知反比例函數(shù)中 k=xy為定值 是解答此題的關(guān)鍵 . 6.(2022黑龍江哈爾濱 ,15,3分 )已知反比例函數(shù) y=? 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1,2),則 k的值為 . 31kx?答案 1 解析 ∵ 圖象過(guò)點(diǎn) (1,2),∴ 3k1=xy=2,∴ k=1. 7.(2022江蘇南京 ,16,2分 )如圖 ,過(guò)原點(diǎn) O的直線與反比例函數(shù) y y2的圖象在第一象限內(nèi)分別交 于點(diǎn) A、 B,且 A為 OB的中點(diǎn) .若函數(shù) y1=? ,則 y2與 x的函數(shù)表達(dá)式是 . ? 1x答案 y2=? 4x解析 設(shè)點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (m,n).因?yàn)辄c(diǎn) A為 OB的中點(diǎn) ,所以點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (2m,2n).又點(diǎn) A(m,n)在函 數(shù) y1=? 的圖象上 ,所以 mn=1,則 4mn=4,所以 y2=? . 1x 4x考點(diǎn)二 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.(2022江西 ,6,3分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,分別過(guò)點(diǎn) A(m,0),B(m+2,0)作 x軸的垂線 l1和 l2,探究直線 l1,直線 l2與雙曲線 y=? 的關(guān)系 ,下列結(jié)論中 ? 的是 ? ( ) m=1時(shí) ,兩直線與雙曲線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等 2m0時(shí) ,兩直線與雙曲線的交點(diǎn)在 y軸兩側(cè) ,這兩交點(diǎn)的最短距離是 2 3x ??錯(cuò) 誤答案 D 由于 m、 m+2不同時(shí)為零 ,所以兩直線中總有一條與雙曲線相交 ,選項(xiàng) A中結(jié)論正確 。 當(dāng) m=1時(shí) ,點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (1,0),點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),當(dāng) x=1時(shí) ,y=? =3,∴ 直線 l1與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo) 為 (1,3)。當(dāng) x=3時(shí) ,y=? =1,∴ 直線 l2與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (3,1). ∵ ?=?, ∴ 當(dāng) m=1時(shí) ,兩直線與雙曲線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等 ,選 項(xiàng) B中結(jié)論正確 。當(dāng) 2m0時(shí) ,0m+22,故兩直線與雙曲線的交點(diǎn)在 y軸兩側(cè) ,選項(xiàng) C中結(jié)論正 確 。當(dāng)兩直線與雙曲線都有交點(diǎn)時(shí) ,不可能出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同 ,而兩直線的距離為 2,故 這兩交點(diǎn)的距離一定大于 2,選項(xiàng) D中結(jié)論錯(cuò)誤 .故選 D. 3x3x22(1 0) (3 0)? ? ? 22(3 0) (1 0)? ? ?解題關(guān)鍵 正確求出點(diǎn)的坐標(biāo)及由點(diǎn)的坐標(biāo)求相關(guān)線段的長(zhǎng)度是分析四個(gè)選項(xiàng)正誤的關(guān)鍵 . 2.(2022呼和浩特 ,10,3分 )若滿足 ? x≤ 1的任意實(shí)數(shù) x,都能使不等式 2x3x2mx2成立 ,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ? ( ) 1 ≥ 5 4 ≤ 4 12答案 D ∵ ? x≤ 1,∴ 不等式 2x3x2mx2可變形為 2x2xm? ,作出函數(shù) y=2x2xm,y=? 的圖 象 ,如圖所示 , ? 易知拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=? ,∵ 當(dāng) ? x≤ 1時(shí) ,不等式 2x3x2mx2恒成立 ,即 2x2xm? 恒成 立 ,∴ 只需拋物線與雙曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) x≤ ? 即可 ,將 x=? 代入 y=? ,得 y=4,將 ? 代入 y=2x 2xm,解得 m=4.∵ 拋物線越往上平移越符合題意 ,∴ m≤ 4. 12 2x 2x14 12 2x12 12 2x 1 ,42??????解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要將不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的問(wèn)題來(lái)解決 ,同時(shí)要注意 本題中二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為 m,所以最后在判斷 m的取值范圍時(shí)不要寫反 . 3.(2022重慶 ,11,4分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,菱形 ABCD的頂點(diǎn) A,B在反比例函數(shù) y=? (k 0,x0)的圖象上 ,橫坐標(biāo)分別為 1,4,對(duì)角線 BD∥ x軸 .若菱形 ABCD的面積為 ? ,則 k的值為 ? ( ) ? A.? B.? kx45254 154答案 D 連接 AC,設(shè) AC與 BD、 x軸分別交于點(diǎn) E、 F. ? 已知 A、 B的橫坐標(biāo)分別為 1,4,∴ BE=3,∴ BD=6. ∵ 四邊形 ABCD為菱形 ,∴ S菱形 ABCD=? ACBD=? , ∴ AC=? ,∴ AE=? . 設(shè)點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (4,m),則 A點(diǎn)坐標(biāo)為 ? . ∵ 點(diǎn) A、 B都在函數(shù) y=? 的圖象上 , ∴ 4m=1? ,∴ m=? . ∴ B點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ,∴ k=5,故選 D. 12 452152 154151, 4m???????kx154m???????5454,4??????思路分析 根據(jù) A、 B的橫坐標(biāo)求出 BD的長(zhǎng) ,利用菱形的面積公式求出 AC的長(zhǎng) ,設(shè)點(diǎn) B的坐標(biāo) 為 (4,m),用 m表示出點(diǎn) A的坐標(biāo) ? .利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)乘積為 k構(gòu)造方 程求出 m,進(jìn)而求出 k. 151, 4m???????4.(2022云南昆明 ,14,4分 )如圖 ,點(diǎn) A在雙曲線 y=? (x0)上 ,過(guò)點(diǎn) A作 AB⊥ x軸 ,垂足為點(diǎn) B,分別以 點(diǎn) O和點(diǎn) A為圓心 ,大于 ? OA的長(zhǎng)為半徑作弧 ,兩弧相交于 D,E兩點(diǎn) ,作直線 DE交 x軸于點(diǎn) C,交 y 軸于點(diǎn) F(0,2),連接 AC,若 AC=1,則 k的值為 ? ( ) ? B.? C.? D.? kx123225 435 2 5 25 ?思路分析 根據(jù)作圖方法可以判定 DE垂直平分線段 OA,則 OC=AC=1,在 Rt△ FOC中求得 CF的 長(zhǎng) ,從而求出 OG的長(zhǎng) ,進(jìn)而求出 AO的長(zhǎng) ,再判定△ FOC∽ △ OBA,通過(guò)相似三角形面積比等于相 似比的平方求出 S△ OBA,即可得到 k的值 . 解后反思 本題考查了基本作圖 ,勾股定理 ,相似三角形的性質(zhì)和判定以及反比例函數(shù) y=? 中 k 的幾何意義 .根據(jù)題意求得△ OBA的面積即可求得 k的值 . kx5.(2022天津 ,10,3分 )若點(diǎn) A(1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,則 y1,y2,y3的大小關(guān) 系是 ? ( ) y2y3 y3y1 y2y1 y1y3 3x答案 B ∵ 30,∴ 在第四象限內(nèi) ,y隨 x的增大而增大 ,∵ 13,∴ y2y3 y10,∴ y2y3y1, 故選 B. 解題關(guān)鍵 掌握反比例函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵 . 6.(2022天津 ,11,3分 )若點(diǎn) A(5,y1),B(3,y2),C(2,y3)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,則 y1,y2,y3的大小關(guān) 系是 ? ( ) y3y2 y2y3 y2y1 y1y3 3x答案 D y=? 的圖象過(guò)第一、三象限 ,且在每一個(gè)象限內(nèi) ,y隨 x的增大而減小 , ∵ A、 B在第三象限 ,且 53,∴ y2y10. ∵ C在第一象限 ,∴ y30, ∴ y2y1 D. 3x7.(2022寧夏 ,8,3分 )如圖 ,正比例函數(shù) y1=k1x的圖象與反比例函數(shù) y2=? 的圖象相交于 A,B兩點(diǎn) ,其 中點(diǎn) B的橫坐標(biāo)為 2,當(dāng) y1y2時(shí) ,x的取值范圍是 ? ( ) ? 2或 x2 2或 0x2 x0或 0x2 x0或 x2 2kx答案 B 因?yàn)辄c(diǎn) A,B是 y1=k1x的圖象與 y2=? 的圖象的交點(diǎn) ,所以兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 .因?yàn)辄c(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 2,所以點(diǎn) A的橫坐標(biāo)為 ,當(dāng) y1y2時(shí) ,x2或 0x B. 2kx評(píng)析 本題考查利用函數(shù)圖象比較函數(shù)值的大小 .屬中檔題 . 8.(2022重慶 ,12,4分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,菱形 ABCD在第一象限內(nèi) ,邊 BC與 x軸平行 ,A,B 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為 3,1,反比例函數(shù) y=? 的圖象經(jīng)過(guò) A,B兩點(diǎn) ,則菱形 ABCD的面積為 ? ( ) ? ? ? 3x2 2答案 D 由題意可得 A(1,3),B(3,1),BC=AB=?=2 ? ,菱形 BC邊上的高為 31=2, 所以菱形 ABCD的面積是 4? ,故選 D. 22(3 1) (1 3)? ? ? 22評(píng)析 本題重點(diǎn)考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) ,平面直角坐標(biāo)系內(nèi)線段長(zhǎng)度的計(jì)算方法 ,試題 新穎 ,屬于中等難度題 . 9.(2022黑龍江齊齊哈爾 ,11,3分 )已知反比例函數(shù) y=? 的圖象在第一、三象限內(nèi) ,則 k的值可 以是 .(寫出滿足條件的一個(gè) k的值即可 ) 2 kx?答案 1(答案不唯一 ,k2即可 ) 解析 因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象位于第一、三象限 ,所以 2k0,所以 k2,所以寫一個(gè)小于 2的實(shí) 數(shù)即可 ,答案不唯一 . 10.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,19,3分 )以矩形 ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn) ,以平行于兩邊的直 線為坐標(biāo)軸 ,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 ,BE⊥ AC,垂足為 y=? (x0)經(jīng)過(guò)點(diǎn) D, 則 OBBE的值為 . ? 32 x答案 3 解析 根據(jù)題意得 ,矩形 ABCD的頂點(diǎn) B在雙曲線 y=? 上 ,頂點(diǎn) A,C在雙曲線 y=? 上 .設(shè) AB與 x 軸交于點(diǎn) M,BC與 y軸交于點(diǎn) N,則 S△ AMO=S△ CNO=? ,S矩形 BMON=? ,∴ S△ ABC=3.∵ OB=? BD=? AC,BE⊥ AC,∴ S△ ABC=? BEAC=? BE2 OB=3,即 OBBE=3. 32 x 32 x34 32 12 1212 12思路分析 根據(jù)圖形的對(duì)稱性可得點(diǎn) A、 C在雙曲線 y=? 上 ,點(diǎn) B在雙曲線 y=? 上 ,由反比例 函數(shù) y=? 中 k的幾何意義得 S△ ABC=2|k|=3,即 S△ ABC=? BEAC=? BE2 OB=BEOB=3. 32 x 32 xkx 12 12解后反思 本題主要考查矩形的性質(zhì) ,反比例函數(shù)中比例系數(shù) k的幾何意義 .要根據(jù) k的幾何意 義求得 S△ ABC,S△ ABC可以表示為 ? BEAC,又因?yàn)?OB=? AC,進(jìn)而求得 OBBE的值 . 12 1211.(2022四川成都 ,25,4分 )設(shè)雙曲線 y=? (k0)與直線 y=x交于 A,B兩點(diǎn) (點(diǎn) A在第三象限 ),將雙曲 線在第一象限的一支沿射線 BA的方向平移 ,使其經(jīng)過(guò)點(diǎn) A,將雙曲線在第三象限的一支沿射線 AB的方向平移 ,使其經(jīng)過(guò)點(diǎn) B,平移后的兩條曲線相交于 P,Q兩點(diǎn) ,此時(shí)我們稱平移后的兩條曲 線所圍部分 (如圖中陰影部分 )為雙曲線的“眸” ,PQ為雙曲線的“眸徑” ,當(dāng)雙曲線 y=? (k0) 的眸徑為 6時(shí) ,k的值為 . ? kxkx答案 ? 32解析 如圖所示 ,以 PQ為邊 ,作矩形 P39。P39。交雙曲線在第一象限的一支于點(diǎn) P39。,點(diǎn) Q39。,聯(lián)立得 ? 得 x2=k, ∴ x=177。? ,∴ B點(diǎn)坐標(biāo)為 (? ,? ),A點(diǎn)坐標(biāo)為 (? ,? ). ∵ PQ=6,∴ OP=3, 由雙曲線的對(duì)稱性 ,得 P的坐標(biāo)為 ? . ∵ A點(diǎn)平移到 B點(diǎn)與 P點(diǎn)平移到 P39。的距離相同 ,A點(diǎn)向右平移 2? 個(gè)單位 ,向上平移 2? 個(gè)單位得 到 B,∴ P39。的坐標(biāo)為 ? , ? ,kyxyx? ??????k k k k k3 2 3 2,22???????k k3 2 3 22 , 222kk??? ? ?????∵ 點(diǎn) P39。在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,∴ xy=k,代入得 ?? =k,解得 k=? . kx32 22 k????????32 22 k???????32思路分析 以 PQ為邊 ,作矩形 P39。P39。交雙曲線在第一象限的一支于點(diǎn) P39。,點(diǎn) Q39。,聯(lián)立直線 AB及 雙曲線解析式得方程組 ,即可求出點(diǎn) A,點(diǎn) B的坐標(biāo) ,由 PQ的長(zhǎng)度以及對(duì)稱性可得點(diǎn) P的坐標(biāo) ,根 據(jù)平移的性質(zhì)得 AB=PP39。,求出點(diǎn) P39。的坐標(biāo) ,代入 y=? ,得出關(guān)于 k的方程 ,解之得 k值 . kx疑難突破 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐 標(biāo)特征、矩形的性質(zhì) ,難點(diǎn)是 P39。點(diǎn)的坐標(biāo)的確