很好的拉普拉斯變換講解-文庫吧
2025-06-01 12:29 本頁面
【正文】 性質，利用這些性質，可以求一些較為復雜的函數(shù)的拉氏變換．性質1 (線性性質) 若 ，是常數(shù)，且，則． （72）證明 ．例75 求下列函數(shù)的拉氏變換：（1）； （2）．解（1）．（2）．性質2（平移性質） 若，則（為常數(shù)）． （73）證明 ．位移性質表明：象原函數(shù)乘以等于其象函數(shù)左右平移個單位．例76 求 ，和 ．解 因為，，由位移性質即得性質3（滯后性質） 若，則 ． （74）證明 =，在拉氏變換的定義說明中已指出，當時，．因此，對于函數(shù)，當（即）時，所以上式右端的第一個積分為，對于第二個積分，令，則滯后性質指出：象函數(shù)乘以等于其象原函數(shù)的圖形沿軸向右平移個單位（如圖73所示）．由于函數(shù)是當時才有非零數(shù)值．故與相比，在時間上滯后了一個值，正是這個道理，我們才稱它為滯后性質．在實際應用中，為了突出“滯后”這一特點，常在這個函數(shù)上再乘，所以滯后性質也表示為．例77 求．解 因為，由滯后性質得．例78 求．解 因為，所以．例79 求下列函數(shù)的拉氏變換：（1） （2）解 （1）由圖74容易看出，當時，的值是在的基礎上加上了（），即．故可把寫成，于是．（2）仿（1），把寫成，于是．我們可以用拉氏變換定義來驗算例79所得的結果．由例79看出，用單位階梯函數(shù)可將分段函數(shù)的表達式合寫成一個式子．例710 已知，求．解：如圖75所示，可用單位階梯函數(shù)表示為，于是，由拉氏變換定義來驗證：．性質4（微分性質） 若，并設在[0，+上連續(xù)，為分段連續(xù)，則． (75)證明 由拉氏變換定義及分部積分法，得，可以證明，在存在的條件下，必有 ．因此，．微分性質表明：一個函數(shù)求導后取拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù)，再減去函數(shù)的初始值．應用上述結果，對二階導數(shù)可以推得．同理，可得．以此類推，可得． （76）由此可見，各階導數(shù)的拉氏變換可以由的乘方與象函數(shù)的代數(shù)式表示出來．特別是當初值時，有更簡單的結果． （77）利用這個性質，可將的微分方程轉化為的代數(shù)方程．例711 利用微分性質求和．解 令，則，由76式，得，即，移項化簡得．利用上述結果，及（75）式，可得．性質5（積分性質） 若，且設連續(xù)，則． （78）證明 令，顯見，且因，由微分性質，得，而，所以有，即．積分性質表明：一個函數(shù)積分后再取拉氏變換，等于這個函數(shù)的象函數(shù)除以參數(shù)．例712 求（是正整數(shù)）．解 因為，…， ，所以由（78）式即得……………………一般地，有．性質6 若，
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