【正文】 形的頂點上 ,tan∠ EAB=? .連接 CD, 請直接寫出線段 CD的長 . ? 32解析 (1)正確畫圖 . (2)正確畫圖 . CD=? . ? 2615.(2022福建 ,22,10分 )小明在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果 : sin27176。+sin283176?！?+= 5, sin222176。+sin268176?！?+= 8, sin229176。+sin261176?！?+= 3, sin237176。+sin253176?！?+= 0, sin245176。+sin245176。=? +? =1. 據(jù)此 ,小明猜想 :對于任意銳角 α,均有 sin2α+sin2(90176。α)=1. (1)當 α=30176。時 ,驗證 sin2α+sin2(90176。α)=1是否成立 。 (2)小明的猜想是否成立 ?若成立 ,請給予證明 。若不成立 ,請舉出一個反例 . 222??????222??????解析 (1)當 α=30176。時 ,sin2α+sin2(90176。α)=sin230176。+sin260176。=? +? =? +? =1. 所以 ,當 α=30176。時 ,sin2α+sin2(90176。α)=1成立 . (2)小明的猜想成立 .證明如下 : 如圖 ,△ ABC中 ,∠ C=90176。, 設(shè) ∠ A=α,則 ∠ B=90176。α. sin2α+sin2(90176。α)=? +? =? =? =1. ? 212??????232??????14 342BCAB??????2ACAB??????222BC ACAB? 22ABAB16.(2022重慶 ,20,7分 )如圖 ,△ ABC中 ,AD⊥ BC,垂足是 D,若 BC=14,AD=12,tan∠ BAD=? ,求 sin C 的值 . ? 34解析 ∵ AD⊥ BC,∴ tan∠ BAD=? ,? (1分 ) ∵ tan∠ BAD=? ,AD=12, ∴ ? =? ,? (2分 ) ∴ BD=9.? (3分 ) ∴ CD=BCBD=149=5,? (4分 ) ∴ 在 Rt△ ADC中 ,AC=? =? =13,? (6分 ) ∴ sin C=? =? .? (7分 ) BDAD3434 12BD22AD CD? 2212 5?ADAC 1213考點二 解直角三角形 1.(2022重慶 ,11,4分 )某數(shù)學興趣小組同學進行測量大樹 CD高度的綜合實踐活動 .如圖 ,在點 A 處測得直立于地面的大樹頂端 C的仰角為 36176。.然后沿在同一剖面的斜坡 AB行走 13米至坡頂 B 處 ,然后再沿水平方向行走 6米至大樹底端 D處 ,斜面 AB的坡度 (或坡比 )i=1∶ ,那么大樹 CD 的高度約為 (參考數(shù)據(jù) :sin 36176。≈ ,cos 36176。≈ ,tan 36176?！?)? ( ) ? 答案 A 作 BF⊥ AE于 F,如圖所示 , ? 易知四邊形 BDEF為矩形 ,則 FE=BD=6米 ,DE=BF, ∵ 斜面 AB的坡度 i=1∶ ,∴ AF=, 設(shè) BF=x米 ,則 AF= , 在 Rt△ ABF中 ,x2+()2=132,解得 x=5, ∴ DE=BF=5米 ,AF=12米 , ∴ AE=AF+FE=18米 , 在 Rt△ ACE中 ,CE=AEtan 36176?！?18= , ∴ CD=CEDE=≈ ,故選 A. 2.(2022江蘇蘇州 ,10,3分 )如圖 ,在一筆直的海岸線 l上有 A、 B兩個觀測站 ,AB=2 km,從 A測得船 C 在北偏東 45176。的方向 ,從 B測得船 C在北偏東 176。的方向 ,則船 C離海岸線 l的距離 (即 CD的長 )為 ? ( ) ? km B.(2+? )km ? km D.(4? )km 2 2 2答案 B 如圖 ,在 Rt△ ABE中 ,∠ AEB=45176。, ∴ AB=EB=2 km,∴ AE=2? km, ∵∠ EBC=176。,∴∠ ECB=∠ AEB∠ EBC=176。, ∴∠ EBC=∠ ECB,∴ EB=EC=2 km, ∴ AC=AE+EC=(2? +2)km. 在 Rt△ ADC中 ,∠ CAD=45176。,∴ AD=DC=(2+? )km. 即點 C到 l的距離為 (2+? )km,故選 B. ? 22223.(2022四川綿陽 ,10,3分 )如圖 ,要在寬為 22米的九洲大道 AB兩邊安裝路燈 ,路燈的燈臂 CD長 2 米 ,且與燈柱 BC成 120176。角 ,路燈采用圓錐形燈罩 ,燈罩的軸線 DO與燈臂 CD垂直 .當燈罩的軸線 DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳 .此時 ,路燈的燈柱 BC高度應(yīng)該設(shè)計為 ? ( ) ? A.(112? )米 B.(11? 2? )米 C.(112? )米 D.(11? 4)米 2 3 23 3答案 D 延長 BC、 OD交于點 E, ∵ CD⊥ OD,∠ DCB=120176。,∴∠ E=30176。, ∵∠ B=90176。,OB=22? =11米 , ∴ EB=11? 米 , 在 Rt△ DCE中 ,CE=2DC=4米 . ∴ BC=EBCE=(11? 4)米 ,故選 D. 12334.(2022江西南昌 ,12,3分 )圖 1是小志同學書桌上的一個電子相框 ,將其側(cè)面抽象為如圖 2所示的 幾何圖形 ,已知 AB=AC=15 cm,∠ BAC=40176。,則點 A到 BC的距離為 cm(參考數(shù)據(jù) :sin 20176。 ≈ ,cos 20176?！?,sin 40176。≈ ,cos 40176?！? cm,可用科學計算器 ). ? 答案 解析 過點 A作 AD⊥ BC于點 D,因為 AB=AC,∠ BAC=40176。,所以 ∠ DAC=? ∠ BAC=20176。. 在 Rt△ ADC中 ,AD=ACcos 20176?！?15= cm. 125.(2022浙江寧波 ,17,4分 )為解決停車難的問題 ,在如圖一段長 56米的路段開辟停車位 ,每個車 位是長 5米、寬 ,矩形的邊與路的邊緣成 45176。角 ,那么這個路段最多可以劃出 個這樣的停車位 .(? ≈ ) ? 2解析 如圖 ,易知 BC=cos 45176。=? ≈ , ? CE=5sin 45176。=5? ≈ , 則 BE=BC+CE= , EF=247。sin 45176。=247。? ≈ , ()247。+1=247。+1≈ 16+1=17(個 ). 故這個路段最多可以劃出 17個這樣的停車位 . 222222答案 17 6.(2022天津 ,22,10分 )如圖 ,甲、乙兩座建筑物的水平距離 BC為 78 m,從甲的頂部 A處測得乙的 頂部 D處的俯角為 48176。,測得底部 C處的俯角為 58176。,求甲、乙建筑物的高度 AB和 DC(結(jié)果取整 數(shù) ). 參考數(shù)據(jù) :tan 48176?！?,tan 58176。≈ . ? 解析 如圖 ,過點 D作 DE⊥ AB,垂足為 E. ? 則 ∠ AED=∠ BED=90176。. 由題意可知 ,BC=78,∠ ADE=48176。,∠ ACB=58176。,∠ ABC=90176。,∠ DCB=90176。. 可得四邊形 BCDE為矩形 . ∴ ED=BC=78,DC=EB. 在 Rt△ ABC中 ,tan∠ ACB=? , ∴ AB=BCtan 58176。≈ 78≈ 125. 在 Rt△ AED中 ,tan∠ ADE=? , ∴ AE=EDtan 48176。. ∴ DC=EB=ABAE=BCtan 58176。EDtan 48176。≈ 78≈ 38. ABBCAEED答 :甲建筑物的高度 AB約為 125 m,乙建筑物的高度 DC約為 38 m. 思路分析 過點 D作 DE⊥ AB,構(gòu)造直角△ ADE和矩形 BCDE,通過解直角△ ABC和直角△ ADE 可求出答案 . 7.(2022貴州貴陽 ,20,10分 )如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,AE是 BC邊上的高 ,點 F是 DE的中點 ,AB 與 AG關(guān)于 AE對稱 ,AE與 AF關(guān)于 AG對稱 . (1)求證 :△ AEF是等邊三角形 。 (2)若 AB=2,求△ AFD的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ AE是 BC邊上的高 , ∴∠ AEB=90176。. ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC, ∴∠ EAD=∠ AEB=90176。, ∴ △ AED是直角三角形 . ∵ F是 ED的中點 , ∴ AF=EF=FD. ∵ AE與 AF關(guān)于 AG對稱 , ∴ AE=AF, ∴ AE=AF=EF, ∴ △ AEF是等邊三角形 . (2)由 (1)知△ AEF是等邊三角形 , ∴∠ EFA=∠ EAF=∠ AEF=60176。. 又 ∵ AB與 AG關(guān)于 AE對稱 ,AE與 AF關(guān)于 AG對稱 , ∴∠ BAE=∠ GAE=∠ GAF=30176。,AG⊥ EF,設(shè)垂足為點 N, ∴∠ B=90176。∠ BAE=60176。. ∵ 在 Rt△ ABE中 ,AE=ABsin B=? ,∴ FD=AE=? . ∵ 在 Rt△ AEN中 ,AN=AEsin∠ AEN=? , ∴ S△ AFD=? FDAN=? ? ? =? . 3 33212 12332 3348.(2022貴州貴陽 ,18,8分 )如圖① ,在 Rt△ ABC中 ,以下是小亮探索 ? 與 ? 之間關(guān)系的方法 : ∵ sin A=? ,sin B=? , ∴ c=? ,c=? , ∴ ? =? . 根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識 ,在圖②的銳角△ ABC中 ,探索 ? ,? ,? 之間的關(guān)系 ,并寫出 探索過程 . ? sina A sinb Bac bcsina A sinb Bsina A sinb Bsina A sinb B sinc C解析 如圖 1,過點 A作 BC邊上的高 AD, ? 圖 1 ∵ 在 Rt△ ABD中 ,sin B=? ,在 Rt△ ACD中 ,sin C=? , ∴ AD=csin B,AD=bsin C, ∴ csin B=bsin C,∴ ? =? . 同理 ,如圖 2,過點 B作 AC邊上的高 BE, ? 圖 2 ADc ADbsinb B sinc C∵ 在 Rt△ ABE中 ,sin A=? ,在 Rt△ BCE中 ,sin C=? , ∴ BE=csin A,BE=asin C, ∴ csin A=asin C, ∴ ? =? . 綜上 ,? =? =? . BEc BEasina A sinc Csina A sinb B sinc C9.(2022安徽 ,19,10分 )為了測量豎直旗桿 AB的高度 ,某綜合實踐小組在地面 D處豎直放置標桿 CD,并在地面上水平放置一個平面鏡 E,使得 B,E,D在同一水平線上 ,如圖所示 .該小組在標桿的 F處通過平面鏡 E恰好觀測到旗桿頂 A(此時 ∠ AEB=∠ FED).在 F處測得旗桿頂 A的仰角為 176。, 平面鏡 E的俯角為 45176。,FD= ,問旗桿 AB的高度約為多少米 ?(結(jié)果保留整數(shù) ) (參考數(shù)據(jù) :tan 176。≈ ,tan 176?！?) ? 解析 解法一 :由題意知 ,∠ AEB=∠ FED=45176。, ∴∠ AEF=90176。. 在 Rt△ AEF中 ,? =tan∠ AFE=tan 176。, 在△ ABE和△ FDE中 ,∠ ABE=∠ FDE=90176。,∠ AEB=∠ FED, ∴ △ ABE∽ △ FDE, ∴ ? =? =tan 176。, ∴ AB=FDtan 176?！?=≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18米 .? (10分 ) 解法二 :作 FG⊥ AB于點 G, ? AEFEABFD AEFE由題意知 ,△ ABE和△ FDE均為等腰直角三角形 , ∴ AB=BE,DE=FD=, ∴ FG=DB=DE+BE=AB+,AG=ABGB=ABFD=. 在 Rt△ AFG中 ,? =tan∠ AFG=tan 176。, 即 ? =tan 176。, 解得 AB=≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18米 .? (10分 ) AGFG??思路分析 思路一 :由題意可確定 ∠ AEF=90176。,從而可推出△ ABE∽ △ FDE,最后由相似三角形 中對應(yīng)邊的比相等求解 。思路二 :作 FG⊥ AB于點 G,由題意可推出△ ABE和△ FDE均為等腰直 角三角形 ,在直角三角形 AFG中由銳角三角函數(shù)求出 AB. 10.(2022湖北武漢 ,23,10分 )在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。. (1)如圖 1,分別過 A、 C兩點作經(jīng)過點 B的直線的垂線 ,垂足分別為 M、 N,求證 :△ ABM∽ △ BCN。 (2)如圖 2,P是邊 BC上一點 ,∠ BAP=∠ C,tan∠ PAC=? ,求 tan C的值 。 (3)如圖 3,D是邊 CA延長線上一點 ,AE=AB,∠ DEB=90176。,sin∠ BAC=? ,? =? ,直接寫出