【正文】 列。表示“有女孩”， 表示“有男孩”，則 設(shè)件產(chǎn)品中有件是不合格品，從中任取兩件，(1)在所取產(chǎn)品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。(2) 在所取產(chǎn)品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）設(shè)表示“所取產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”， 表示“所取產(chǎn)品都是不合格品”，則 (2)設(shè)表示“所取產(chǎn)品中至少有一件合格品”， 表示“所取產(chǎn)品中有一件合格品，一件不合格品”。則 個(gè)人用摸彩的方式?jīng)Q定誰得一張電影票，他們依次摸彩，求：(1)已知前個(gè)人都沒摸到，求第個(gè)人摸到的概率；(2)第個(gè)人摸到的概率。解 設(shè)表示“第個(gè)人摸到”， 。(1) (2) 已知一個(gè)母雞生個(gè)蛋的概率為，而每一個(gè)蛋能孵化成小雞的概率為，證明：一個(gè)母雞恰有個(gè)下一代（即小雞）的概率為。解 用表示“母雞生個(gè)蛋”， 表示“母雞恰有個(gè)下一代”，則 某射擊小組共有20名射手，其中一級(jí)射手4人，二級(jí)射手8人，三級(jí)射手7人，四級(jí)射手一人，一、二、三、求在一組內(nèi)任選一名射手，該射手能通過選拔進(jìn)入決賽的概率。解 用表示“任選一名射手為級(jí)”， ，表示“任選一名射手能進(jìn)入決賽”，則 在某工廠里有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)螺絲釘，它們的產(chǎn)量各占25%，35%，40%，并在各自的產(chǎn)品里，不合格品各占有5%，4%，2%?，F(xiàn)在從產(chǎn)品中任取一只恰是不合格品，問此不合格品是機(jī)器甲、乙、丙生產(chǎn)的概率分別等于多少？解 用表示“任取一只產(chǎn)品是甲臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)”表示“任取一只產(chǎn)品是乙臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)” 表示“任取一只產(chǎn)品是丙臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)” 表示“任取一只產(chǎn)品恰是不合格品”。則由貝葉斯公式： 某工廠的車床、鉆床、磨床、刨床的臺(tái)數(shù)之比為9:3:2:1，它們?cè)谝欢〞r(shí)間內(nèi)需要修理的概率之比為1:2:3:1。當(dāng)有一臺(tái)機(jī)床需要修理時(shí)，問這臺(tái)機(jī)床是車床的概率是多少？解 則 ， ，，，由貝時(shí)葉斯公式得 有朋友自遠(yuǎn)方來訪，他乘火車、輪船、汽車、。如果他乘火車、輪船、汽車來的話，遲到的概率分別是、而乘飛機(jī)不會(huì)遲到。結(jié)果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多少？解 用表示“朋友乘火車來”，表示“朋友乘輪船來”，表示“朋友乘汽車來”，表示“朋友乘飛機(jī)來”，表示“朋友遲到了”。則 證明：若三個(gè)事件、獨(dú)立，則、及都與獨(dú)立。證明 （1）= （2） （3）= 試舉例說明由不能推出一定成立。解 設(shè)，， ，， 則 ， 但是 設(shè)為個(gè)相互獨(dú)立的事件，且，求下列事件的概率：(1) 個(gè)事件全不發(fā)生；(2) 個(gè)事件中至少發(fā)生一件；(3) 個(gè)事件中恰好發(fā)生一件。解 (1) (2) (3) . 已知事件相互獨(dú)立且互不相容，求（注：表示中小的一個(gè)數(shù)）。解 一方面，另一方面，即中至少有一個(gè)等于0，所以 、現(xiàn)在任意挑選五個(gè)人，求下列事件的概率(1)兩個(gè)人為型，其它三個(gè)人分別為其它三種血型；(2)三個(gè)人為型，兩個(gè)人為型；(3)沒有一人為。解 (1)從5個(gè)人任選2人為型，共有種可能，在其余3人中任選一人為型，共有三種可能，在余下的2人中任選一人為型，共有2種可能，另一人為型，順此所求概率為： (2) (3) 設(shè)有兩門高射炮，求同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機(jī)的概率是多少？又若有一架敵機(jī)入侵領(lǐng)空，欲以99%以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮。解 用表示“第門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機(jī)”， ，表示“擊中飛機(jī)”。則。(1) (2) , 取。至少需要6門高射炮，同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈，可保證99%的概率擊中飛機(jī)。 做一系列獨(dú)立的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中成功的概率為，求在成功次之前已失敗了次的概率。解 用表示“在成功次之前已失敗了次”， 表示“在前次試驗(yàn)中失敗了次”， 表示“第次試驗(yàn)成功”則 某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根。求他用完一盒時(shí)另一盒中還有根火柴（）的概率。解 用表示“甲盒中尚余根火柴”， 用表示“乙盒中尚余根火柴”， 分別表示“第次在甲盒取”，“第次在乙盒取”， 表示取了次火柴，且第次是從甲盒中取的，即在前在甲盒中取了，其余在乙盒中取。所以 由對(duì)稱性知，所求概率為：第二章 離散型隨機(jī)變量 下列給出的是不是某個(gè)隨機(jī)變量的分布列？(1) (2) (3) (4)解 （1）是（2），所以它不是隨機(jī)變量的分布列。（3）,所以它不是隨機(jī)變量的分布列。（4）為自然數(shù)，且，所以它是隨機(jī)變量的分布列。 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為：，求(1)。(2) ； (3) 。解 (1) 。(2) 。(3) . 解 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為。求的值。解 ，所以。 隨機(jī)變量只取正整數(shù)，且與成反比，求的分布列。解 根據(jù)題意知，其中常數(shù)待定。由于，所以，即的分布列為，取正整數(shù)。 一個(gè)口袋中裝有個(gè)白球、個(gè)黑球，不返回地連續(xù)從袋中取球，直到取出黑球時(shí)停止。設(shè)此時(shí)取出了個(gè)白球，求的分布列。解 設(shè)“”表示前次取出白球，第次取出黑球，則的分布列為： 設(shè)某批電子管的合格品率為，不合格品率為，現(xiàn)在對(duì)該批電子管進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第次為首次測(cè)到合格品，求的分布列。解 一個(gè)口袋中有5個(gè)同樣大小的球，編號(hào)為5，從中同時(shí)取出3只球，以表示取出球的取大號(hào)碼，求的分布列。解 拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為，設(shè)為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時(shí)所需要的次數(shù)，求的分布列。解，其中。 兩名籃球隊(duì)員輪流投籃，直到某人投中時(shí)為止，,，求每名隊(duì)員投籃次數(shù)的分布列。解 設(shè)，表示第二名隊(duì)員的投籃次數(shù)，則+；。 設(shè)隨機(jī)變量服從普哇松分布，且，求。解。由于得（不合要求）。所以。 設(shè)某商店中每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7的普哇松分布，問在月初進(jìn)貨時(shí)應(yīng)進(jìn)多少件此種商品。解 設(shè)為該種商品當(dāng)月銷售數(shù)，為該種商品每月進(jìn)貨數(shù)，則。查普哇松分布的數(shù)值表，得。 如果在時(shí)間（分鐘）內(nèi)，通過某交叉路口的汽車數(shù)量服從參數(shù)與成正比的普哇松分布。，求在2分鐘內(nèi)有多于一輛汽車通過的概率。解 設(shè)為時(shí)間內(nèi)通過交叉路口的汽車數(shù)，則 時(shí)，所以；時(shí)，因而。 一本500頁的書共有500個(gè)錯(cuò)誤，每個(gè)錯(cuò)誤等可能地出現(xiàn)在每一頁上（每一頁的印刷符號(hào)超過500個(gè)）。試求指定的一頁上至少有三個(gè)錯(cuò)誤的概率。解 在指定的一頁上出現(xiàn)某一個(gè)錯(cuò)誤的概率，因而，至少出現(xiàn)三個(gè)錯(cuò)誤的概率為 利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于2．14 ，現(xiàn)在要把產(chǎn)品裝箱，那么每箱至少應(yīng)裝多少個(gè)產(chǎn)品？解 設(shè)每箱至少裝個(gè)產(chǎn)品，其中有個(gè)次品，則要求,使 ，利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相當(dāng)于，查普哇松分布數(shù)值表，得。 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為： 求邊際分布列。解 。 在一批產(chǎn)品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。從中任取4件，設(shè)一、二、三等品的件數(shù)分別為、求的聯(lián)合分布列與各自的邊際分布列。解 ， ，； ，； 。 拋擲三次均勻的硬幣，以表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求的聯(lián)合分布列及邊際分布列。 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且，又，定義，問取什么值時(shí)與獨(dú)立？解=而，由得 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且，定義，證明兩兩獨(dú)立，但不相互獨(dú)立。 證明因?yàn)樗韵嗷オ?dú)立。同理與相互獨(dú)立。但是，因而不相互獨(dú)立。，且只取值6，證明不服從均勻分（即不可能有。）證明 設(shè)。若，則 將（2）式減去（1）式，得：，于是。同理。因此，與（3）式矛盾。 已知隨機(jī)變量的分布列為，求與的分布列。解 分布列為，；的分布列為。 已知離散型隨機(jī)變量的分布列為，求的分布列。解 , , , 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為： ， ：，且相互獨(dú)立，求的分布列。解 設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量分別服從二項(xiàng)分布：與，求的分布列。解 設(shè)為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗(yàn)中），為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗(yàn)中），而相互獨(dú)立，所以為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，因而。 設(shè)為獨(dú)立同分布的離散型隨機(jī)變量，其分布列為 求的分布列。解 設(shè)隨機(jī)變量