函數(shù)的值域與最值-文庫吧
2025-05-01 02:04 本頁面
【正文】 解：根據(jù)雙曲線的離心率公式易得：，我們知道所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）而故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）。說明：利用均值不等式解題時(shí)一定要注意“一正，二定，三等”三個(gè)條件缺一不可。反例：看起來可用均值不等式，其實(shí)不能（1）求函數(shù) 的值域（2）求函數(shù)的最小值。原函數(shù)可化簡為 令，則這是一“對勾”函數(shù)，其在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上，函數(shù)的最小值是當(dāng)時(shí)， ）（10）單調(diào)性法：首先確定函數(shù)的定義域，再確定函數(shù)的定義域（或某個(gè)定義域的子集）上的單調(diào)性，最后求出函數(shù)的值域；①常用到函數(shù)的單調(diào)性：增區(qū)間為，減區(qū)間為。②或利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷：如： 函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增。如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)在x=b處有最小值f(b)；例：函數(shù)的值域。解：易知定義域?yàn)椋谏暇鶠樵龊瘮?shù)，當(dāng)然也可用換元法變式：求，（答：）的值域?yàn)開_____（答： ）；函數(shù)f(x)=的值域（）函數(shù)的值域【】（11）數(shù)形結(jié)合：分析函數(shù)解析式表示的幾何意義，根據(jù)函數(shù)圖象或函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域 例：求函數(shù)的值域.解:看到該函數(shù)的形式,我們可聯(lián)想到直線中已知兩點(diǎn)求直線的斜率的公式,將原函數(shù)視為定點(diǎn)(2,3)到動(dòng)點(diǎn)的斜率,又知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足單位圓的方程,從而問題就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)（2，3）到單位圓連線的斜率問題,作出圖形觀察易得的最值在直線和圓上點(diǎn)的連線和圓相切時(shí)取得,從而解得: y變式1：已知點(diǎn)在圓上，求及的取值范圍（答：、）；變式2：求函數(shù)y =+ 的值域. 提示：此題可以看做到和兩點(diǎn)的距離和。（答：變式3：求函數(shù)的最小值為_____；變式4：求下列函數(shù)的值域：（1） ； （2）； （3）（4） x答案：；（12）導(dǎo)數(shù)法利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的步驟是：①求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0；②確定極值點(diǎn)，求極值；③比較端點(diǎn)的函數(shù)值與極值，確定最大值與最小值或值域.求函數(shù)，的最小值。（答：－48）例題選講例求下列函數(shù)的值域① y=3x+2(1x1) 解：①∵1x1，∴33x3，∴13x+25，即1y5，∴值域是[1，5]② 解： ∵ ∴ 即函數(shù)的值域是 { y| y2} ③ 解： ∵ ∴ 即函數(shù)的值域是 { y| y206。R且y185。1}（此法亦稱分離常數(shù)法）④解：當(dāng)x0，∴=，當(dāng)x0時(shí)，=－∴值域是[2，+)（此法也稱為配方法）函數(shù)的圖像為：∴值域是[2，+)例2．求下列函數(shù)的值域：（1）；解：（配方法），∴的值域?yàn)?。改題：求函數(shù)，的值域。解：（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增，∴當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最小值為；當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最大值為?！嗪瘮?shù)，的值域?yàn)?。?）；解：求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)（），則原函數(shù)可化為。又∵，∴，故，∴的值域?yàn)?。?）；解：（法一）反解法：由得，由此得∴原函數(shù)的值域?yàn)?。（法二）分離變量法：，∵，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)?。?）；解：（代數(shù)換元法）：設(shè)，則，代入得 ∵t0 ∴，∴原函數(shù)值域?yàn)椤Ｗⅲ嚎偨Y(jié)型值域，變形：或（5）；解：三角換元法：∵，∴設(shè)，則∵，∴，∴，∴，∴原函數(shù)的值域?yàn)?。?）；解：數(shù)形結(jié)合法：，∴，∴函數(shù)值域?yàn)?。?）；解：判別式法：∵恒成立，∴函數(shù)的定義域?yàn)?。由得? ①①當(dāng)即時(shí)，①即，∴②當(dāng)即時(shí)，∵時(shí)方程恒有實(shí)根，∴，∴且，∴原函數(shù)的值域?yàn)椤＃?）；解：，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立?！啵嘣瘮?shù)的值域?yàn)?。?）。解：原函數(shù)可化為：，∴（其中），∴，∴，∴，∴，∴原函數(shù)的值域?yàn)?。?0）； 解：方法1：，∵，∴，所以 函數(shù)的值域?yàn)?。方?（或換元）：，或，即函數(shù)的值域?yàn)榉椒?：（數(shù)形結(jié)合）——斜率。遇到求分式的取值范圍，我們還可以考慮斜率。解：（1），∴y表示經(jīng)過兩點(diǎn)P（，）、Q（1，0）的直線l的斜率。設(shè)X =,Y =,則Y=X，（X0），在XOY平面內(nèi)，點(diǎn)P（X，Y）在射線Y=X ,X0上移動(dòng)，結(jié)合圖象可知，y的取值范圍，即所求函數(shù)的值域是（0，1）。（11）；解：方法1：（換元）設(shè)t=,則所以所求函數(shù)的值域?yàn)榉椒?：（單調(diào)性），函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)在單調(diào)遞增，因此函數(shù)的值域?yàn)?。變?：實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2－2x＋4y＝0，則x－2y的最大值是___________；方法1：設(shè)t=x2y，則x=t+2y代入x2＋y2－2x＋4y＝0得到，5y2+4ty+t22t=0，由=16t220t2+40t≥0，即t210t≤0，解得0≤t≤10。所以x2y的最大值為10。方法2：由x2＋y2－2x＋4y＝0得到（x1）2+(y+2)2=5表示以（1，2）為圓心，為半徑的圓，由直線和圓有公共點(diǎn)，即，即，解得，所以x2y的最大值為10。方法3：設(shè)，即，設(shè)，則x2y=,所以x2y的最大值為10。變式2．求下列函數(shù)的值域：①（2種方法）；②（2種方法）；③（2種方法）；例3求函數(shù)的值域方法一：（判別式法）去分母得 (y1)+(y+5)x6y6=0 ①當(dāng) y185。1時(shí) ∵x206。R ∴△=(y+5)+4(y1)6(y+1)0由此得 (5y+1)0檢驗(yàn) 時(shí) （代入①求根）∵2 207。 定義域 { x| x185。2且 x185。3} ∴再檢驗(yàn) y=1 代入①求得 x=2
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1