【正文】 ehCwqL sfLwi其中： wLwtCS??8?（ ） （ ） 為了包括瞬時(shí)濾失 Sp的影響，應(yīng)該以ww+(8/π)Sp代替 ww 。 PKN 和 KGD 模型的假設(shè) ? 平面裂縫（裂縫沿最小主應(yīng)力垂直方向擴(kuò)展） ? 流動(dòng)沿縫長(zhǎng)一維流動(dòng) ? 流體為牛頓流體 ? 濾失特性由濾失理論（ ）得到的簡(jiǎn)單表達(dá)式所控制 ? 地層巖石為連續(xù)、均勻、各向同性的線彈性體 ? 裂縫被認(rèn)為縫高不變，完全在某一給定的地層中擴(kuò)展 ? PKN模型假設(shè)縫長(zhǎng)遠(yuǎn)大于縫高，忽略了有關(guān)斷裂力學(xué)的影響 ? KGD模型假設(shè)縫高遠(yuǎn)大于縫長(zhǎng)，包括了縫端動(dòng)態(tài)過程控制裂縫延伸的假設(shè) 前面簡(jiǎn)單模型的局限性： ? 需要給定縫高或假設(shè)產(chǎn)生的是徑向縫 原因： ? 不能斷定裂縫是否被限制在某一特定的地層中 ? 由井筒（壓力最高處）至縫端的過程中縫高是變化的 解決辦法： ? 利用平面三維 3D和擬三維（ P3D）模型來彌補(bǔ) 三維和擬三維模型 包括縫高增長(zhǎng)的三種主要水力壓裂模型 ? 普通三維模型 ? 沒有對(duì)裂縫方位作假設(shè) ? 計(jì)算量大，需要專人對(duì)結(jié)果作解釋 ? 模型適合于研究水力裂縫起裂的細(xì)節(jié)以及 近 井筒的復(fù)雜情況，而非裂縫整個(gè)延伸過程 在此不對(duì)該模型作進(jìn)一步的討論。 ? 平面三維模型 ? 假設(shè)裂縫是平面的，并且其方向與最小主應(yīng)力方向垂直，沒有考慮由于偏離平面引起的復(fù)雜狀況 ? 這種模型的模擬軟件也需大量的計(jì)算，一般不用于常規(guī)壓力設(shè)計(jì) ? 模型用于研究裂縫的主體在裂縫起裂地層以外或者壓裂液垂向流動(dòng)比水平流動(dòng)更強(qiáng)烈的情況 這種模型在 ? 擬三維模型 ? 主要類型有塊體和單元體兩種 ? 塊體（橢圓）模型中，假設(shè)垂向剖面由中心相連的兩個(gè)半橢圓組成，每一時(shí)間步長(zhǎng)計(jì)算出水平裂縫和井筒中裂縫縫端的垂向延伸，假設(shè)的裂縫形態(tài)也要擬合到這些位置；采用固有的假設(shè)條件，分析得到：流體沿射孔到橢圓邊緣的流線流動(dòng)，而且流線有專門的形狀。 ? 單元體模型將裂縫視為一系列相連的單元對(duì)待，不需要對(duì)裂縫形態(tài)進(jìn)行假設(shè)，但一般假設(shè)為平面應(yīng)變，流體垂向流動(dòng)計(jì)算與裂縫幾何形狀之間沒有做完全耦合。 這種模型在 和 節(jié)介紹 平面三維模型 定義 ： 縫內(nèi)流體的二維流動(dòng)與巖石三維彈性響應(yīng)耦 合的模型。 任意水力壓裂模型求解的復(fù)雜性在于 不同過程裂縫的幾何形狀和流體流動(dòng)的密切耦合 。在求解過程中應(yīng)考慮的問題： ? 已知形態(tài)和壓力的裂縫的寬度剖面 ? 裂縫形態(tài) ? 已知形態(tài)和寬度（已知幾何形狀）的裂縫內(nèi)的流體流動(dòng) Hirth 和 Lother（ 1968） 以及 Bui（ 1977） 裂縫中壓力和縫寬的關(guān)系式： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ydxdyxyxpyyxxfyxw ???????????? ?? , ?（ ） 式中： σ—— 應(yīng)力 f —— 彈性影響函數(shù)，一般情況下只有對(duì)于均質(zhì)線彈性材料，才可以導(dǎo)出該方程的可用的形式（見旁注 6E）。在實(shí)際應(yīng)用中，一般假設(shè)巖石為各向同性 。 ? 壓力和縫寬的關(guān)系 ? 簡(jiǎn)單的裂縫形態(tài)和縫內(nèi)壓力分布如定壓下的橢圓形裂縫，破裂準(zhǔn)則： 方程 （ ） ? 復(fù)雜的裂縫形態(tài)和壓力分布，破裂準(zhǔn)則用縫端附近的縫寬和臨界應(yīng)力集中系數(shù)或斷裂韌性KIC表示： ? ? xEKxw IC?? ?24 （ ） 式中： x—— 距離縫端的距離 裂縫的形態(tài)隨時(shí)間不斷演化，假設(shè)該過程用線彈性斷裂力學(xué)描述。 6E 擬三維模型中的水平耦合 ? 質(zhì)量守恒方程（描述流體流動(dòng)）： ? ? ? ? ? ? 02 ????????????????Lyx uwtywuxwu ???? （ ） 可以寫為矢量形式： ? ? ? ? 02 ??????? Luwtuw ??? （ ） 上式中的前兩項(xiàng)與質(zhì)量流量的矢量的變化有關(guān)， 后兩項(xiàng)分別表示由寬度增加和濾失引起的流體存儲(chǔ) 。 方程（ ）的左邊為動(dòng)量改變速率；右邊分別為壓力、粘滯力和重力，它可解釋為小的流體單元在力的作用下而加速。該方程可以擴(kuò)展并根據(jù)壓裂地層的不同形狀而簡(jiǎn)化（見旁注 6F）。 ? 動(dòng)量守恒方程： ? ? gpDt uD ??? ??????? （ ） 式中： τ—— 剪應(yīng)力 g —— 重力加速度 應(yīng)力與流速之間的本構(gòu)方程： 對(duì)于 x分量 方程 （ ） 變?yōu)?： xzxyxxxx gzyxxpDtDu ????? ???????????????????????????? ????? zu xzxxz ??????????? ?????zu yzyyz ???方程（ ）： xxx gzuxpDtDu ??? ????????????????22（ ） （ ） （ ） 假設(shè)流動(dòng)為穩(wěn)定流動(dòng)，得到： xx gzuxp ?? ??????????????22 （ ） 6F 水力壓裂中的動(dòng)量守恒 方程 （ ） 實(shí)矢量方程，其分量形式可以寫為 ： iziyixiii gzyxxpdtdu ????? ?????????????????????? （ ） 上式的左邊為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，它可與偏導(dǎo)數(shù)建立關(guān)系： zuyuxutdtdzyx ???????????? （ ） 因此方程 （ ） 可擴(kuò)展為 ： iziyixiiiziyixi gzyxxpzuuyuuxuutup ???? ?????????????????????????????????????????（ ） 對(duì)于非滲透介質(zhì)， z方向分量可以忽略不計(jì)；并假設(shè)為穩(wěn)態(tài)流， （ ） 簡(jiǎn)化為： iziyixiiiyix gzyxxpyuuxuup ???? ???????????????????????????????????（ ） 式中： i = 1或 2 對(duì)于滲透介質(zhì)，也可采用方程 （ ） ，在這種情況下，濾失作為插入項(xiàng)包括在質(zhì)量平衡中，但假設(shè)不影響與壓力、應(yīng)力和流體流速有關(guān)的方程 。 牛頓流體 對(duì)于牛頓流體，僅含有粘度 μ參數(shù)，應(yīng)力分量為： ? ?uxu xxx ?????? ??? 32? ?uyu yyy ?????? ??? 32? ?uzu zzz ?????? ??? 32???????? ????????xuyu yxyxxy ??????????? ????????yuzu zyzyyz ????????? ???????? zuxu xzxzzx ???（ ） ? 對(duì)于不可壓縮流體，正應(yīng)力方程中的第三項(xiàng)為零 ? 在平行板間一維流動(dòng)，如不考慮濾失，兩個(gè)速度分量全部為零 ? 質(zhì)量守恒意味著第三個(gè)方程不能隨位置而改變。所以全部的正應(yīng)力方程為零。 上面的方程可以簡(jiǎn)化為剪切流動(dòng)方程 原因 應(yīng)力分量： ?????? ???? zu xzx ??????????????zu yzy ??（ ） 將方程 （ ） 代入 （ ） 得到： ixxyxx zuxpyuuxuup22???????????????????? ?gzuxpyuuxuupiyyyyx ?? ?????????????????????22（ ） 如為沿縫長(zhǎng)一維流動(dòng)，方程 （ ） 可簡(jiǎn)化為 ： xpzu x??????122（ ） 如不存在滑移（裂縫面處流體流速為零），方程（ ） 的解為： ? ?? ?22 22 1 wzxpu x ???? ? （ ） 對(duì)上式積分，得整個(gè)通道上的平均流速： xpwux ?????122 （ ） 單位高度的流速可以通過平均流速乘以縫寬w得到。 在二維流動(dòng)的情況下，如果慣性可以忽略，方程 （ ） 左邊為零。在這種情況下可按方程（ ） 寫出 y方向的方程只是多了重力項(xiàng)。 6G 非牛頓流體的動(dòng)量平衡和本構(gòu)方程 牛頓流體的應(yīng)力和速度之間的關(guān)系，用張量表示： ifif ??? ?? （ ） 式中： ?—— 形變張量的速率，其分量為： iiiiif xuxu??????? （ ）