【正文】 ehCwqL sfLwi其中： wLwtCS??8?（ ） （ ） 為了包括瞬時濾失 Sp的影響，應該以ww+(8/π)Sp代替 ww 。 PKN 和 KGD 模型的假設 ? 平面裂縫（裂縫沿最小主應力垂直方向擴展） ? 流動沿縫長一維流動 ? 流體為牛頓流體 ? 濾失特性由濾失理論（ ）得到的簡單表達式所控制 ? 地層巖石為連續(xù)、均勻、各向同性的線彈性體 ? 裂縫被認為縫高不變，完全在某一給定的地層中擴展 ? PKN模型假設縫長遠大于縫高，忽略了有關斷裂力學的影響 ? KGD模型假設縫高遠大于縫長，包括了縫端動態(tài)過程控制裂縫延伸的假設 前面簡單模型的局限性： ? 需要給定縫高或假設產生的是徑向縫 原因： ? 不能斷定裂縫是否被限制在某一特定的地層中 ? 由井筒（壓力最高處）至縫端的過程中縫高是變化的 解決辦法： ? 利用平面三維 3D和擬三維（ P3D）模型來彌補 三維和擬三維模型 包括縫高增長的三種主要水力壓裂模型 ? 普通三維模型 ? 沒有對裂縫方位作假設 ? 計算量大，需要專人對結果作解釋 ? 模型適合于研究水力裂縫起裂的細節(jié)以及 近 井筒的復雜情況，而非裂縫整個延伸過程 在此不對該模型作進一步的討論。 ? 平面三維模型 ? 假設裂縫是平面的，并且其方向與最小主應力方向垂直，沒有考慮由于偏離平面引起的復雜狀況 ? 這種模型的模擬軟件也需大量的計算，一般不用于常規(guī)壓力設計 ? 模型用于研究裂縫的主體在裂縫起裂地層以外或者壓裂液垂向流動比水平流動更強烈的情況 這種模型在 ? 擬三維模型 ? 主要類型有塊體和單元體兩種 ? 塊體（橢圓）模型中，假設垂向剖面由中心相連的兩個半橢圓組成，每一時間步長計算出水平裂縫和井筒中裂縫縫端的垂向延伸，假設的裂縫形態(tài)也要擬合到這些位置；采用固有的假設條件，分析得到：流體沿射孔到橢圓邊緣的流線流動，而且流線有專門的形狀。 ? 單元體模型將裂縫視為一系列相連的單元對待，不需要對裂縫形態(tài)進行假設，但一般假設為平面應變，流體垂向流動計算與裂縫幾何形狀之間沒有做完全耦合。 這種模型在 和 節(jié)介紹 平面三維模型 定義 ： 縫內流體的二維流動與巖石三維彈性響應耦 合的模型。 任意水力壓裂模型求解的復雜性在于 不同過程裂縫的幾何形狀和流體流動的密切耦合 。在求解過程中應考慮的問題： ? 已知形態(tài)和壓力的裂縫的寬度剖面 ? 裂縫形態(tài) ? 已知形態(tài)和寬度（已知幾何形狀）的裂縫內的流體流動 Hirth 和 Lother（ 1968） 以及 Bui（ 1977） 裂縫中壓力和縫寬的關系式： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ydxdyxyxpyyxxfyxw ???????????? ?? , ?（ ） 式中： σ—— 應力 f —— 彈性影響函數(shù)，一般情況下只有對于均質線彈性材料，才可以導出該方程的可用的形式（見旁注 6E）。在實際應用中，一般假設巖石為各向同性 。 ? 壓力和縫寬的關系 ? 簡單的裂縫形態(tài)和縫內壓力分布如定壓下的橢圓形裂縫，破裂準則： 方程 （ ） ? 復雜的裂縫形態(tài)和壓力分布，破裂準則用縫端附近的縫寬和臨界應力集中系數(shù)或斷裂韌性KIC表示： ? ? xEKxw IC?? ?24 （ ） 式中： x—— 距離縫端的距離 裂縫的形態(tài)隨時間不斷演化，假設該過程用線彈性斷裂力學描述。 6E 擬三維模型中的水平耦合 ? 質量守恒方程（描述流體流動）： ? ? ? ? ? ? 02 ????????????????Lyx uwtywuxwu ???? （ ） 可以寫為矢量形式： ? ? ? ? 02 ??????? Luwtuw ??? （ ） 上式中的前兩項與質量流量的矢量的變化有關， 后兩項分別表示由寬度增加和濾失引起的流體存儲 。 方程（ ）的左邊為動量改變速率；右邊分別為壓力、粘滯力和重力，它可解釋為小的流體單元在力的作用下而加速。該方程可以擴展并根據(jù)壓裂地層的不同形狀而簡化（見旁注 6F）。 ? 動量守恒方程： ? ? gpDt uD ??? ??????? （ ） 式中： τ—— 剪應力 g —— 重力加速度 應力與流速之間的本構方程： 對于 x分量 方程 （ ） 變?yōu)?： xzxyxxxx gzyxxpDtDu ????? ???????????????????????????? ????? zu xzxxz ??????????? ?????zu yzyyz ???方程（ ）： xxx gzuxpDtDu ??? ????????????????22（ ） （ ） （ ） 假設流動為穩(wěn)定流動，得到： xx gzuxp ?? ??????????????22 （ ） 6F 水力壓裂中的動量守恒 方程 （ ） 實矢量方程，其分量形式可以寫為 ： iziyixiii gzyxxpdtdu ????? ?????????????????????? （ ） 上式的左邊為物質導數(shù)，它可與偏導數(shù)建立關系： zuyuxutdtdzyx ???????????? （ ） 因此方程 （ ） 可擴展為 ： iziyixiiiziyixi gzyxxpzuuyuuxuutup ???? ?????????????????????????????????????????（ ） 對于非滲透介質， z方向分量可以忽略不計；并假設為穩(wěn)態(tài)流， （ ） 簡化為： iziyixiiiyix gzyxxpyuuxuup ???? ???????????????????????????????????（ ） 式中： i = 1或 2 對于滲透介質，也可采用方程 （ ） ，在這種情況下，濾失作為插入項包括在質量平衡中，但假設不影響與壓力、應力和流體流速有關的方程 。 牛頓流體 對于牛頓流體，僅含有粘度 μ參數(shù)，應力分量為： ? ?uxu xxx ?????? ??? 32? ?uyu yyy ?????? ??? 32? ?uzu zzz ?????? ??? 32???????? ????????xuyu yxyxxy ??????????? ????????yuzu zyzyyz ????????? ???????? zuxu xzxzzx ???（ ） ? 對于不可壓縮流體，正應力方程中的第三項為零 ? 在平行板間一維流動，如不考慮濾失，兩個速度分量全部為零 ? 質量守恒意味著第三個方程不能隨位置而改變。所以全部的正應力方程為零。 上面的方程可以簡化為剪切流動方程 原因 應力分量： ?????? ???? zu xzx ??????????????zu yzy ??（ ） 將方程 （ ） 代入 （ ） 得到： ixxyxx zuxpyuuxuup22???????????????????? ?gzuxpyuuxuupiyyyyx ?? ?????????????????????22（ ） 如為沿縫長一維流動，方程 （ ） 可簡化為 ： xpzu x??????122（ ） 如不存在滑移（裂縫面處流體流速為零），方程（ ） 的解為： ? ?? ?22 22 1 wzxpu x ???? ? （ ） 對上式積分，得整個通道上的平均流速： xpwux ?????122 （ ） 單位高度的流速可以通過平均流速乘以縫寬w得到。 在二維流動的情況下，如果慣性可以忽略，方程 （ ） 左邊為零。在這種情況下可按方程（ ） 寫出 y方向的方程只是多了重力項。 6G 非牛頓流體的動量平衡和本構方程 牛頓流體的應力和速度之間的關系，用張量表示： ifif ??? ?? （ ） 式中： ?—— 形變張量的速率，其分量為： iiiiif xuxu??????? （ ）