【正文】 Khristianovich 和 Zheltov（ 1995） 導(dǎo)出了 縫高遠大于縫長，即離開井筒任意距離時縫寬與垂向位置無關(guān)這種水力裂縫延伸的解?？捎媒馕龇ń庠搯栴}。如果縫端無流體穿透區(qū)很?。s為總縫長的百分之幾），他們發(fā)現(xiàn)裂縫主體中沿整個縫的壓力幾乎等于井中的壓力，只是在靠近縫端劇減。 ? 對于矩形橫截面，流動的基本方程為： 312whqdxdpf?? 可以積分形式寫為： ??Lfin e t wdxhqp036 ?（ ） （ ） 應(yīng)用 Barenblatt縫端條件，意味著應(yīng)力集中系數(shù)為零。 4132, 6421???????? ?? ELhqpfiwn e t ?? （ ） 41284?????????? fiw hELqw ?? 井壁裂縫寬度 ： （ ） 在沒有濾失的情況下，解得縫長和縫寬 : ? ? 326133 thqEtLfi???????? ???（ ） 316133 thEqwfiw ?????????? ? （ ） 假設(shè)流體濾失對裂縫形態(tài)或壓力分布沒有影響，將模型推廣到包括流體濾失的情況下： 一個兩翼 KGD裂縫的體積為： wff LwhV 2??運用體積平衡和與 Carter相似的解法，得到： ? ? ?????? ??? 12642?Se r f cehCwqL sfLwi其中： wLwtCS??8?（ ） （ ） 為了包括瞬時濾失 Sp的影響，應(yīng)該以ww+(8/π)Sp代替 ww 。 ? 平面三維模型 ? 假設(shè)裂縫是平面的，并且其方向與最小主應(yīng)力方向垂直，沒有考慮由于偏離平面引起的復(fù)雜狀況 ? 這種模型的模擬軟件也需大量的計算，一般不用于常規(guī)壓力設(shè)計 ? 模型用于研究裂縫的主體在裂縫起裂地層以外或者壓裂液垂向流動比水平流動更強烈的情況 這種模型在 ? 擬三維模型 ? 主要類型有塊體和單元體兩種 ? 塊體（橢圓）模型中，假設(shè)垂向剖面由中心相連的兩個半橢圓組成，每一時間步長計算出水平裂縫和井筒中裂縫縫端的垂向延伸，假設(shè)的裂縫形態(tài)也要擬合到這些位置；采用固有的假設(shè)條件，分析得到：流體沿射孔到橢圓邊緣的流線流動，而且流線有專門的形狀。 這種模型在 和 節(jié)介紹 平面三維模型 定義 ： 縫內(nèi)流體的二維流動與巖石三維彈性響應(yīng)耦 合的模型。在求解過程中應(yīng)考慮的問題： ? 已知形態(tài)和壓力的裂縫的寬度剖面 ? 裂縫形態(tài) ? 已知形態(tài)和寬度（已知幾何形狀）的裂縫內(nèi)的流體流動 Hirth 和 Lother（ 1968） 以及 Bui（ 1977） 裂縫中壓力和縫寬的關(guān)系式： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ydxdyxyxpyyxxfyxw ???????????? ?? , ?（ ） 式中： σ—— 應(yīng)力 f —— 彈性影響函數(shù)，一般情況下只有對于均質(zhì)線彈性材料，才可以導(dǎo)出該方程的可用的形式（見旁注 6E）。 ? 壓力和縫寬的關(guān)系 ? 簡單的裂縫形態(tài)和縫內(nèi)壓力分布如定壓下的橢圓形裂縫，破裂準則： 方程 （ ） ? 復(fù)雜的裂縫形態(tài)和壓力分布，破裂準則用縫端附近的縫寬和臨界應(yīng)力集中系數(shù)或斷裂韌性KIC表示： ? ? xEKxw IC?? ?24 （ ） 式中： x—— 距離縫端的距離 裂縫的形態(tài)隨時間不斷演化，假設(shè)該過程用線彈性斷裂力學描述。 方程（ ）的左邊為動量改變速率；右邊分別為壓力、粘滯力和重力，它可解釋為小的流體單元在力的作用下而加速。 ? 動量守恒方程： ? ? gpDt uD ??? ??????? （ ） 式中： τ—— 剪應(yīng)力 g —— 重力加速度 應(yīng)力與流速之間的本構(gòu)方程： 對于 x分量 方程 （ ） 變?yōu)?： xzxyxxxx gzyxxpDtDu ????? ???????????????????????????? ????? zu xzxxz ??????????? ?????zu yzyyz ???方程（ ）： xxx gzuxpDtDu ??? ????????????????22（ ） （ ） （ ） 假設(shè)流動為穩(wěn)定流動，得到： xx gzuxp ?? ??????????????22 （ ） 6F 水力壓裂中的動量守恒 方程 （ ） 實矢量方程，其分量形式可以寫為 ： iziyixiii gzyxxpdtdu ????? ?????????????????????? （ ） 上式的左邊為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，它可與偏導(dǎo)數(shù)建立關(guān)系： zuyuxutdtdzyx ???????????? （ ） 因此方程 （ ） 可擴展為 ： iziyixiiiziyixi gzyxxpzuuyuuxuutup ???? ?????????????????????????????????????????（ ） 對于非滲透介質(zhì)， z方向分量可以忽略不計；并假設(shè)為穩(wěn)態(tài)流， （ ） 簡化為： iziyixiiiyix gzyxxpyuuxuup ???? ???????????????????????????????????（ ） 式中： i = 1或 2 對于滲透介質(zhì)，也可采用方程 （ ） ，在這種情況下，濾失作為插入項包括在質(zhì)量平衡中，但假設(shè)不影響與壓力、應(yīng)力和流體流速有關(guān)的方程 。所以全部的正應(yīng)力方程為零。 在二維流動的情況下，如果慣性可以忽略，方程 （ ） 左邊為零。 6G 非牛頓流體的動量平衡和本構(gòu)方程 牛頓流體的應(yīng)力和速度之間的關(guān)系，用張量表示： ifif ??? ?? （ ） 式中： ?—— 形變張量的速率，其分量為： iiiiif xuxu??????? （ ） 對于非牛頓流體寫出與 （ ） 相似的方程： ijafi ??? ?? （ ） 式中： μa—— ?的函數(shù) μa可能僅是 ?的函數(shù)，而且兩者之間存在某種函數(shù)關(guān)系： ? ?2laa ?? ? （ ） 式中： l2—— 二級張量變量： iji jijl ??? ? ?2（ ） 如：冪律流體的函數(shù) μa為： 122??nalK? （ ） 賓漢塑性的函數(shù) μa為： 2200 la??? ?? （ ） 稠度指數(shù) K’取決于流形，并與流體基本性質(zhì) —— 綜合稠度系數(shù) K有關(guān)。 方程 （ ） 到 （ ） 總結(jié)了牛頓流體的平面模型，非牛頓流體也可得到相似的結(jié)果（見旁注6G）。隨著邊界延伸，單元要變形以符合新的幾何形狀。 ? Barree給出的另外一種數(shù)值模擬方法 這種方法通過將分層油藏劃分為具有相同大小的矩形單元網(wǎng)格的方法避免了網(wǎng)格扭曲的問題，這些單元網(wǎng)格的邊界在裂縫可能產(chǎn)生的區(qū)域內(nèi)。 這種方法的局限性： ? 隨著數(shù)值模擬的進行，單元數(shù)在逐漸增加，所以最初的單元數(shù)少，導(dǎo)致誤差大。 專門的計算過程的假設(shè)條件： ? 用一個簡化的方法代表模量差異。 靠近縫端裂縫誘導(dǎo)的應(yīng)力隨與距縫端距離的平方根而變化，因此，破裂準則取決于網(wǎng)格劃分的精度。 以單元為基礎(chǔ)的擬三維模型 在以單元劃分的模型中，縫長被分為數(shù)個離散的單元。 假設(shè)： ? 流體流動是沿縫長的方向 ? 固體力學簡化為任意截面內(nèi)的平面應(yīng)變 這個假設(shè)對于縫高得到控制的裂縫是合理的，與縫高相比這種裂縫是長裂縫。 ? 一維流動的假設(shè)暗指橫截面內(nèi)的壓力始終為： gypp cp ??? （ ） 式中： pcp—— 沿射孔中心水平線上的壓力 y —— 到射孔中心的垂直距離 上面的方程僅對裂縫延伸相當緩慢，由垂向流動引起的壓力梯度可以忽略不計時才是有效的。 固體力學解 Simonson等（ 1978）導(dǎo)出了對稱的具有三個地層的解 Fung等（ 1978）導(dǎo)出了更具有普遍性非對稱多重底層的解。