【正文】 根據(jù) Fung等的方法 頂部和底部縫端的應(yīng)力集中系數(shù) KIu和 KIl可以分別以射孔中心的壓力 pcp和各層中的應(yīng)力 σi表示 ? ? ? ???????????????????? ???????????????????????? ifififfniiiffcpfncpfIlhhhhhhhhhhgphK2c o s22 4121111 ??????? ? ? ???????????????????? ???????????????????????? ifififfniiiffcpfncpfIuhhhhhhhhhhgphK2c o s22 4321111 ??????（ ） （ ） 式中： pf —— 流體密度 hcp —— 射孔中心高度 hi —— 由底部縫端至第 i 層底層頂部的高度，如圖 通過迭代求解該非線性方程，如果 pcp取某一值時(shí)的解（兩個(gè)垂向縫端的位置以及壓力）已知，假設(shè)縫高增量，則兩個(gè)垂向的縫高就可以計(jì)算出來而且滿足方程（ ）和（ ），裂縫端達(dá)到這些位置所需的 pcp可計(jì)算出來。 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ????????????? ????????????????????????????????????fiffiififiiniiifncpcphhhyhyhyhhhhhyyyhEyhyyhpEyw2c os 2c os h 4411111?????（ ） 式中： y —— 距底部縫端的高度 現(xiàn)如考慮如圖 忽略重力分量的影響，問題就簡化為對稱的情況，裂縫向兩個(gè)遮擋層的延伸是相同的。 ? 在某一臨界壓力條件下，裂縫會突破邊界進(jìn)入隔層 fIcc r i tn e t hKp?2,2? （ ） ? 凈壓力不會達(dá)到產(chǎn)層與隔層的凈壓力差值，因?yàn)槟欠N情況會產(chǎn)生無限縫高 流體力學(xué)解 平面 3D與 P3D模型間的主要區(qū)別 ： 流體流動計(jì)算 ； 大多數(shù) P3D模型中的流體流動模型與 Nordgren（ 1972）的相同（即一維形式用于描述平面三維模型中）。 ? 壓裂液的性質(zhì)隨時(shí)間和溫度而改變。 模型的數(shù)值解 描述 縫高增長的力學(xué) （ 壓力 — 縫寬 — 縫高關(guān)系 ） ，質(zhì)量守恒 和 動量守恒 （ 速度 — 壓力相互關(guān)系 ） 的三個(gè)基本解是相互耦合的，需要同時(shí)解。 ? 顯式有限差分方法 任意時(shí)刻的裂縫中流體被分為 n個(gè)單元；每個(gè)單元的橫截面積為 Aj；其在 xi和 xi+1處的兩個(gè)邊界面分別以 ui和 ui+1。 A4 A3 A2 A1 x5 x4 x3 x2 x1 u5 u4 u3 u2 u1 圖 裂縫分成位置和速度由網(wǎng)格點(diǎn)定義的單元 質(zhì)量守恒方程： ? ? xAuhtA uiiLL ??????? ?2 （ ） 將導(dǎo)數(shù)以中心有限差分近似代替得到： ? ? xtuuAVxhAA iitiLtitti ??????? ??? 1（ ） 式中： VL—— 時(shí)間步長為 ?內(nèi)，整個(gè)單元流體的濾失體積 速度為網(wǎng)格點(diǎn)處的計(jì)算得到的，并假設(shè)每個(gè)單元的面積是恒定的，這樣橫截面面積可以由速度和上一時(shí)間步長的面積更新。 ? 井筒必須有新的單元不斷加入，這就使得控制任意時(shí)刻運(yùn)用多少單元或單元的大小很困難。 ? 引入移動網(wǎng)格，網(wǎng)格點(diǎn)以一定的速度移動，如裂縫始終被分成一定數(shù)量大小的單元 （ 即采用拉伸坐標(biāo)，見旁注 6H）。網(wǎng)格劃分簡化了，但差分方程卻更復(fù)雜了。 隱式有限差分方法沒有時(shí)間步長的限制 顯式差分和隱式差分的區(qū)別： ? 顯式差分法僅在上一時(shí)間步的基礎(chǔ)上，求當(dāng)前步長的解 ? 隱式差分法只用當(dāng)前值。 ? 隱式差分法 對于線性問題，可用高斯消去法得到解；對于一維流動問題，從隱式有限差分法得到三角方程組。 積分或分析元法： 既沒有時(shí)間步長的限制，又能避免形成一組方程。 用 Newton— Raphson方法對估算的縫端速度進(jìn)行修正直到達(dá)到體積平衡，該過程要 2~4步 ? 在單元內(nèi)邊確定速度，這樣時(shí)間步長中的流體濾失和體積變化達(dá)到質(zhì)量平衡。 ? 根據(jù)單元外邊界速度和估算的單元內(nèi)部的速度計(jì)算平均流速（第一次迭代中，假設(shè)內(nèi)、外流體流速相同） 非平衡高度解 如果 裂縫延伸至高滲層 或 隔層應(yīng)力不足以遮擋裂縫，裂縫垂向延伸很快 的情況下，由于流體垂向流動形成的壓力梯度會變得較大，平衡高度假設(shè) 不再成立 。 根據(jù)縫端分析解 （ Lenoach 1994） ，得到凈壓力： ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?nnnnnfn e tnnnnhEKnnEp????????????????? ????????? ???????????????2112112s i n1c o s 2222?????（ ） 式中： utip—— 端部速度 β = 2 /（ 2+n） 常壓下的裂縫，應(yīng)力集中系數(shù)與凈壓力的關(guān)系： 2fIcn e t hKp??（ ） 將上兩式合并， Lenoach 法 可求解由于端部速度非零時(shí)的表觀斷裂韌性，這種影響可以納入實(shí)際的巖石斷裂韌性中，將兩者的和代替實(shí)際巖石斷裂韌性用于方程（ ）和（ ）來確定縫高增長。 實(shí)際上， 任一點(diǎn)的壓力不僅與局部縫寬有關(guān)，而且它與縫寬在整個(gè)裂縫的分布有關(guān)。 在泵注過程中橫向耦合的影響就是 增加井筒與近井筒壓力而減小縫端壓力 。 圖 有、無水平方向耦合情況下的壓力 由圖看出 ： ? 橫向耦合模型預(yù)測的壓力總比其他兩個(gè)模型預(yù)測的壓力高 ? 橫向耦合模型預(yù)測的寬度比其他兩個(gè)模型小 ? 橫向耦合模型的最低壓力點(diǎn)（ KGD和 PKN模型此時(shí)壓力相等）對應(yīng)于正方形，即縫長等與縫高的一半；此時(shí)由橫向耦合模型計(jì)算得到的壓力比其他兩個(gè)模型計(jì)算得到的壓力高約 40%。 利用： 空間平均法 將上述方程化為： 與時(shí)間有關(guān)的普通微分方程 塊體方程用于 KGD模型 質(zhì)量平衡方程： ? ? ? ? dtLwdLqwq L ??? 3??（ ） 式中： ? ?LEpw n e t1??? ? 2225 Lwwq nmmm ?? ?而： ? ???? 1425 Errm ?（ ） （ ） （ ） 這些方程非常簡單，但 γ系數(shù)值不一定確定，而且還不一定是 常數(shù)。 裂縫彎曲以及其他近井筒效應(yīng) 在壓裂施工中存在近井筒高摩阻損失，原因： ? 井筒連通（射孔） ? 彎曲（裂縫轉(zhuǎn)向和扭轉(zhuǎn)） ? 射孔相位設(shè)置不適當(dāng)，以及由此引起的巖石緊實(shí)和多裂縫 凈壓力升高；近井筒縫寬受限制增加了意外脫砂的可能性，對壓裂施工不利。 ~ 20176。如不是這種情況，假設(shè) 施工過程中射孔孔眼摩阻保持不變 當(dāng)泵入沙漿并以高壓差，通過射孔孔眼時(shí)，由于沖蝕造成壓降變化。 圖 表示釋放系數(shù)隨孔眼形狀的變化 圖 PKN模型中考慮和忽略射孔孔眼摩阻和沖蝕情況的壓力曲線對比。當(dāng)注入2022lbm砂后，曲線斜率又變?yōu)橹本€，并且?guī)缀跖c加砂前曲線斜率一樣，這表明排量系數(shù)恒定，射孔孔眼直徑緩慢增加。 研究證明： 當(dāng)井筒的方位在應(yīng)力場中設(shè)計(jì)不當(dāng)時(shí)，裂縫彎曲是影響水力壓裂的主要現(xiàn)象。 如果阻止裂縫張開的應(yīng)力與最小就地應(yīng)力之比高于 ，那么裂縫縫口如一個(gè)噴嘴，流體雖然可以流入，但由于井筒裂縫縫寬變窄，使得壓降變大。 射孔相位不當(dāng) 不是所有的射孔都與優(yōu)選裂縫面一致。 Nolte（ 1988）：如果裂縫不是由射孔孔眼起裂，則流體必定沿套管邊的窄通道與裂縫溝通，由于窄通道的限制，這必會造成施工壓力高（圖 ）。 井筒與裂縫間巖石的負(fù)位移表示的是由于裂縫凈壓力使井筒受擠壓變形（泊松效應(yīng)），流體要通過上述變形的尖點(diǎn)流入裂縫，小環(huán)空中的壓力必須高于縫中壓力。隨著造縫壓力的升高，這種影響