第二章圓錐曲線與方程教案-文庫吧
2025-04-02 08:07 本頁面
【正文】 坐標，焦距..（一）通過提出問題、分析問題、解決問題激發(fā)學生的學習興趣,在掌握新知識的同時培養(yǎng)能力. [在解析幾何里，是利用曲線的方程來研究曲線的幾何性質的，我們現(xiàn)在利用焦點在x軸上的橢圓的標準方程來研究其幾何性質.][來源:Z,xx,]已知橢圓的標準方程為：[我們要研究橢圓在直角坐標系中的范圍，就是研究橢圓在哪個區(qū)域里，只要討論方程中x，y的范圍就知道了.]問題1 方程中x、y的取值范圍是什么? 由橢圓的標準方程可知，橢圓上點的坐標(x,y)都適合不等式≤1, ≤1即 x2≤a2, y2≤b2所以 |x|≤a， |y|≤b即 －a≤x≤a, －b≤y≤b這說明橢圓位于直線x＝177。a, y＝177。b所圍成的矩形里。 復習關于x軸，y軸，原點對稱的點的坐標之間的關系： 點（x,y）關于x軸對稱的點的坐標為(x,－y)； 點（x,y）關于y軸對稱的點的坐標為(－x, y)；點（x,y）關于原點對稱的點的坐標為(－x,－y)；問題2 在橢圓的標準方程中①以－y代y②以－x代x③同時以－x代x、以－y代y,你有什么發(fā)現(xiàn)?（1） 在曲線的方程里，如果以－y代y方程不變，那么當點P(x,y)在曲線上時，它關于x的軸對稱點P’(x,－y)也在曲線上，所以曲線關于x軸對稱。（2） 如果以－x代x方程方程不變，那么說明曲線的對稱性怎樣呢？[曲線關于y軸對稱。]（3） 如果同時以－x代x、以－y代y，方程不變，這時曲線又關于什么對稱呢？[曲線關于原點對稱。]歸納提問：從上面三種情況看出，橢圓具有怎樣的對稱性？橢圓關于x軸，y軸和原點都是對稱的。這時，橢圓的對稱軸是什么？[坐標軸]橢圓的對稱中心是什么？[原點]橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。 [研究曲線的上的某些特殊點的位置，可以確定曲線的位置。要確定曲線在坐標系中的位置，常常需要求出曲線與x軸，y軸的交點坐標.]問題3 怎樣求曲線與x軸、y軸的交點?在橢圓的標準方程里，令x=0,得y=177。b。這說明了B1(0,－b),B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點。令y=0,得x=177。a。這說明了A1(－a,0),A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點。因為x軸，y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫做橢圓的頂點。線段A1A2,B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。它們的長|A1A2|=2a,|B1B2|=2b (a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長)觀察圖形，由橢圓的對稱性可知，橢圓短軸的端點到兩個焦點的距離相等，且等于長半軸長，即 |B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a在Rt△OB2F2中，由勾股定理有[來源:] |OF2|2=|B2F2|2－|OB2|2 ，即c2＝a2－b2這就是在前面一節(jié)里，我們令a2－c2＝b2的幾何意義。定義：橢圓的焦距與長軸長的比e＝，叫做橢圓的離心率。 因為ac0,所以0e1.[來源:]問題4 觀察圖形,說明當離心率e變化時,橢圓形狀是怎樣隨之變化的? [調用幾何畫板，演示離心率變化(分越接近1和越接近0兩種情況討論)對橢圓形狀的影響]得出結論：(1)e越接近1時，則c越接近a，從而b越小，因此橢圓越扁；(2)e越接近0時，則c越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a＝b時，c＝0，這時兩個焦點重合于橢圓的中心，圖形變成圓。當e＝1時，圖形變成了一條線段。[為什么？留給學生課后思考] 例1求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標,并用描點法畫出它的圖形.[根據(jù)剛剛學過的橢圓的幾何性質知，橢圓長軸長2a，短軸長2b，該方程中的a＝？b＝？c＝？因為題目給出的橢圓方程不是標準方程，所以必須先把它轉化為標準方程，再討論它的幾何性質]解：把已知方程化為標準方程, 這里a＝5，b＝4，所以c＝＝3因此，橢圓的長軸和短軸長分別是2a＝10，2b＝8離心率e＝＝兩個焦點分別是F1(－3,0),F2(3,0)，四個頂點分別是A1(－5,0) A1(5,0) A1(0,－4) F1(0,4).[提問：怎樣用描點法畫出橢圓的圖形呢？我們可以根據(jù)橢圓的對稱性，先畫出第一象限內的圖形。] 將已知方程變形為 ，根據(jù)在0≤x≤5的范圍內算出幾個點的坐標(x,y)x012345y40先描點畫出橢圓的一部分，再利用橢圓的對稱性畫出整個橢圓（如圖）說明：本題在畫圖時，利用了橢圓的對稱性。利用圖形的幾何性質，可以簡化畫圖過程，保證圖形的準確性。根據(jù)橢圓的幾何性質，用下面的方法可以快捷地畫出反映橢圓基本形狀和大小的草圖：(1) 以橢圓的長軸、短軸為鄰邊畫矩形；(2) 由矩形四邊的中點確定橢圓的
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