[理學(xué)]第七章 常用統(tǒng)計分布-文庫吧
2025-03-07 02:14 本頁面
【正文】 。 正態(tài)分布的重要特征值為： ⑴期望值： E（ X）＝ μ，且 μ＝ Me＝ Mo； ⑵方差（變異數(shù)）： D（ x）＝ σ2； ⑶偏態(tài)系數(shù)： α＝ 0； ⑷峰態(tài)系數(shù)： β＝ 3。 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)圖形見下： 圖 二維正態(tài)分布密度函數(shù)示意圖 （ 二 ） 正態(tài)分布的重要性質(zhì) （ 1）對稱性。 正態(tài)曲線以 x=μ呈鐘型對稱，故其均值 =中位數(shù) =眾數(shù)，左右二部分面積相等，各為二分之一。 （ 2）在 x=μ處，概率密度 φ(x)最大；當(dāng)區(qū)間離 μ越遠(yuǎn)，x落在這個區(qū)間的概率越小。 （ 3）正態(tài)分布曲線有兩個拐點(diǎn)，分別在 x=μ177。 σ處；左右兩尾與橫軸（ x軸）漸近，但不與橫軸相交，即－∞﹤ x﹤ ＋ ∞。 （ 4）正態(tài)分布曲線的位置是由 μ決定的，外形由 σ值確定。 （ FJ73） （ 5）正態(tài)分布曲線下的面積（區(qū)間概率）是固定的，且正態(tài)分布曲線與 x軸所圍成的面積恒等于 1。 表 7－ 3 正態(tài)分布 x的取值區(qū)間及概率表 x的取值區(qū)間 概率 p(x)(%) 概率密度（ x） μ177。 σ μ177。 μ177。 μ177。 2σ μ177。 μ177。 μ177。 3σ 圖 正態(tài)分布 x的取值區(qū)間及概率圖示 由上可以看出， 服從正態(tài)分布 N(μ, σ2)的隨機(jī)變量 X，落在（ μ－ 3σ， μ＋ 3σ）內(nèi)的概率為 ％，幾乎是必然事件；而落在（ μ－ 3σ， μ＋ 3σ）之外的概率很小，幾乎是不可能事件。服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量 X的這個重要性質(zhì)，稱為 “ 3σ”原則 。 二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 xZ ????Z代表以標(biāo)準(zhǔn)差 σ為單位表示的變量值與均值μ的離差，經(jīng)常被稱為變量 X的 標(biāo)準(zhǔn)分 ，或稱 Z分?jǐn)?shù) ，也被稱為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量 ，即： 用 Z分?jǐn)?shù)表達(dá)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度為： 221()2zZ z e????? （－ ∞﹤ z﹤ ＋ ∞） …… （ ） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 φ(z) 是指參數(shù) μ＝ 0， σ178。＝ 1的正態(tài)分布 ， 簡記作 N（ 0， 1） 。 很明顯，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布只是正態(tài)分布的一個特例。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布重要的特征值如下： （ 2）期望值： E（ Z）＝ 0； （ 3）方差（變異數(shù)）： D（ Z）＝ 1； 1( 0)2z? ???（ 1 ） 曲 線 關(guān) 于 縱 軸 對 稱 ， 最 大 值 為 ： ；（ 5）在（－ ∞， 0）內(nèi)嚴(yán)格上升， 在（ 0，＋ ∞）內(nèi)嚴(yán)格下降； （ 4） φ(z)=φ(z) ； （ 6）當(dāng) z→ 177。 ∞時， φ(z) →0 ?？梢?，曲線與橫軸不相交，其兩尾向兩邊無限延伸。 隨機(jī)變量 X的取值在某區(qū)間上的概率就可用下式求得： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)為： ……… （ ） 2112( ) ( )xxP x X x x d x?? ? ? ?0( ) ( 0 ) ( )zF z P z z z dz?? ?? ? ? ? ?利用 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（也叫 Z分布表）就可以求出任何正態(tài)隨機(jī)變量 X的取值區(qū)間的 概率。即 : 1212( ) ( )xx xP x x x P ?? ?? ? ??? ?? ? ? ? ?2112( ) ( )zzP z z z z d z?? ? ? ? ?21( ) ( )zzz dz z dz??? ? ?????21( ) ( )P z z P z z? ? ? ?……… （ ） ? ?12xx，解 已知 μ＝ 168， σ＝ 12，那么： 例 3， 設(shè)隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布N(168， 12178。)，試求 P(X≤143)。 對于負(fù)的 z值，可由 F(z)=(z)得到。 1 4
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