【正文】 ： 上 ， ： 中 } 策 略 ， 這 就 是 該 對(duì) 局的 均 衡 策 略 。nNash 在 個(gè) 局 中 人 的 對(duì) 局 中 ， 如 果 根 據(jù) 嚴(yán) 格下 策 刪 去 法 ， 刪 去 相 應(yīng) 的 其 他 策 略 ， 而 各 人 只 剩 下一 個(gè) 策 略 時(shí) ， 這 個(gè) 策 略 組 必 為 唯 定 理 一 的 均 衡 策 略 。n Nas h 在 個(gè) 局 中 人 的 對(duì) 局 中 ， 若 存 在均 衡 策 略 ， 則 利 用 嚴(yán) 格 下 策 刪 去 法 是 不 定 理會(huì) 將 它刪去 的 。 N a sh 均 衡 策 略 看 起 來(lái) 很 不 錯(cuò) , 但 同 時(shí) 也 可 以 看 出 ，雖 然 每 人 都 以 自 身 的 利 益 打 算 ， 即 使 大 家 都 遵 守 遊戲 規(guī) 則 ， 然 而 個(gè) 體 的 追 求 利 益 的 行 為 不 一 定 符 合 集體 或 社 會(huì) 的 利 益 ， 甚 至 也 不 一 定 是 真 的 能 實(shí) 現(xiàn) 個(gè) 體的 最 佳 利 益 的 ！ 例 OPEC 石 油 輸 出 國(guó) 組 織 困 境 。 ( 石 油 生 產(chǎn) 配 額 問(wèn) 題 ) （ 1 ） 若 各 國(guó) 各 自 為 政 ， 自 定 產(chǎn) 量 ， 為 了 獲 利 ， 盡量 多 產(chǎn) 油 ， 結(jié) 果 石 油 市 場(chǎng) 價(jià) 格 下 跌 ， 利 潤(rùn) 受 損 。 （ 2 ） 共 同 磋 商 ( 搞 國(guó) 際 串 謀 ) 限 定 總 產(chǎn) 量 ， 維 持 價(jià)格 或 提 高 價(jià) 格 ， 同 時(shí) 給 各 成 員 一 定 的 “ 配 額 ” ， 從該 組 織 總 體 而 言 是 有 利 的 。 （ 3 ） 但 是 各 成 員 國(guó) 發(fā) 現(xiàn) ， 若 其 他 國(guó) 家 都 遵 守 配 額（ 維 持 較 高 價(jià) 格 ） , 只 要 自 己 偷 偷 的 多 產(chǎn) 一 些 , 既 不 會(huì)影 響 價(jià) 格 又 能 多 獲 利 （ 利 益 驅(qū) 動(dòng) ） 。 （ 4 ） 如 果 各 國(guó) 都 受 (3) 所 述 的 利 益 驅(qū) 動(dòng) 的 影 響 而突 破 限 額 , 超 產(chǎn) 石 油 的 話(huà) , 實(shí) 際 上 只 會(huì) 引 起 石 油 價(jià) 格的 猛 跌 , 結(jié) 果 大 家 都 受 損 , 也 得 不 到 原 來(lái) 預(yù) 期 的 獲 利 。這 實(shí) 際 上 正 是 他 們 面 臨 的 困 境 。Cou r n ot B e r tr an d Cou r n otB e r tr an d 以 上 大 都 舉 的 是 策 略 集 為 有 限 的 離 散 的 模 型 , 而對(duì) 策 略 集 為 無(wú) 限 的 連 續(xù) 的 最 好 的 例 子 , 是 雙 頭 壟 斷中 的 和 。模 型 模 型 模在中 的 策 略 的 變型模 型量 為 連 續(xù) 的 產(chǎn) 出 量 ， 而 雙 頭 壟 斷 的的 策 略 是 以 價(jià) 格 為 連 續(xù) 變 量 的 。 混和對(duì)策 S el to n 諾 貝 爾 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 獎(jiǎng) 獲 得 者 教 授 96 年 在 上 海講 學(xué) 時(shí) , 講 了 一 個(gè) 典 型 的 例 子 : 小 偷 與 看 守 的 對(duì) 策 。V ( V 0), D ( D 0) 。 P (P 0)S (S 0) 小 偷 欲 偷 倉(cāng) 庫(kù) 物 品 。 若 守 衛(wèi) 偷 懶 睡 覺(jué) , 小 偷 得 逞 可 得 益 : 守 衛(wèi)要 受 罰 : －若 守 衛(wèi) 沒(méi) 睡 覺(jué) , 守 衛(wèi) 能 抓 住 小 偷 ， 小 偷 就 得 坐 牢 , 得負(fù) 效 應(yīng) ： － ) ； 若 守 衛(wèi) 偷 懶 睡 覺(jué) ， 而 小 偷 沒(méi) 有 來(lái) 偷 ， 則 守 衛(wèi) 獲 休 閑正 效 應(yīng) ： ；若 守 衛(wèi) 沒(méi) 睡 覺(jué) , 小 偷 也 沒(méi) 有 來(lái) 偷 ， 雙 方 相 安 無(wú) 事 。N a s h 因 而 這 個(gè) 對(duì) 策 的 局 勢(shì) 為 下 圖 所 示 用 劃 線(xiàn) 法 , 這 個(gè) 對(duì) 策不 存 在 純 均 衡 解 。 （ 1 ） 一 定 不 能 讓 對(duì) 方 猜 到 可 能 出 的 策 略 ， 否 則 對(duì) 方 將有 對(duì) 策 來(lái) 使 你 受 損 ， 因 此 , 對(duì) 自 己 的 策 略 都 必 須 采 取 隨 機(jī)出 現(xiàn) 。 （ 2 ） 在 隨 機(jī) 出 現(xiàn) 所 選 擇 的 概 率 時(shí) ， 也 不 能 讓 對(duì) 方 有 機(jī) 可乘 ， 即 讓 對(duì) 方 無(wú) 法 通 過(guò) 有 針 對(duì) 性 的 選 擇 他 的 概 率 來(lái) 對(duì) 付 你 。舉例說(shuō)明： 然 而 如 果 這 個(gè) 對(duì) 局 重 復(fù) 進(jìn) 行很 多 次 ， 雙 方 都 要 防 范 對(duì) 方 ，所 遵 循 下 列 原 則 ：守 衛(wèi)小 偷P , 0?V , D?0 , S? 0 , 0不 偷睡 覺(jué)去 偷不 睡一 個(gè) 對(duì) 局 如例 右 圖 所 示 ，I: A, B局中人 設(shè)法選擇 策略的A B A Bp , p p , p 0?概 率 為 , 其 中 , ，ABp p 1 II :＋ ＝ 。 使 局 中 人ABC p p 1 ,??若 選 擇 策 略 ， 則 他 的 期 望 得 益 為 3 ＋讓他無(wú)機(jī)可乘，就是使這兩個(gè)期望得益相等，即A B A B 3 p p p 5 p 1＋ ＝ 2 ＋ （ 10. ）CDII : C, D p , p同 理 ， 局 中 人 在 選 擇 策 略 的 概 率 為 時(shí) ,ABD p 2 p 5 ??若 選 擇 策 略 ， 則 他 的 期 望 得 益 為 ＋ ，A B C D 2 , 3 , 5 , 1 , I II 3 2 5 1 I也遵循不讓局中人 有機(jī)可乘，因而類(lèi)似的，CDI A 2 p 5 p 。 若 選 擇 的 期 望 得 益 為 ＋C D C D2 p 5 p p p 2因 而 令 ＋ ＝ 3 ＋ （ 10. ）聯(lián) 立 （ ） 和 （ ） 解 得A B A AD C C Cp 4 p p 4 1 p 4 p p p 4 1 p???????＝ ＝ （ － ）＝ ＝ （ － ）CDI B p p ,若 選 擇 的 期 望 得 益 為 3 ＋ABCBp 0 . 8 , p 0 . 2 p 0 . 8 , p 0 . 2?? ??＝ ＝＝ ＝A B C Dp p p , pNas h 由于當(dāng) ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ 時(shí)任何一方都無(wú)法通過(guò)改變自己的混合策略來(lái)改善自己的期望利益，因此這種混合策略組合是穩(wěn)定的, 稱(chēng)之為 而他們的期望混合均衡策略, 利益分別為：I A c D B c DII C A B D A B u = p ( 2 p 5 p ) p ( 3 p p ) = ( 2 + 5 ) + ( 3 + ) = 2 .6 u = p ( 3 p p ) p ( 2 p 5 p ) = ( 3 + ) + ( 2 + 5 ) = 2 .6? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?I IIu u Nash和 分 別 為 各 自 的 混 合 對(duì) 策 值 。A , B 制 式 問(wèn) 題 。 兩 廠 商 生 產(chǎn) 兩 種 相 關(guān) 產(chǎn) 品 ，若 商 品 有 二 種 制 式 。 若 選相 同 的 制 式 ， 則 零 部 件 能 相互 匹 配 都 有 好 處 ； 若 選 不 同的 制 式 ， 雙 方 都 各 自 獨(dú) 立 ， 沒(méi) 有 任 何 好 處 。設(shè) 得 益 矩例 陣 如 右 圖 。A B C D 1 , 0 , 0 , 2 , I II 3 0 2 0 N a s h 在 純 對(duì) 策 時(shí) ， 用 劃 線(xiàn) 法 可 知 有 兩 個(gè) 純 均 衡策 略 。I B I I AN a s h 當(dāng) 然 也 有 差 別 。 更 喜 歡 ， 更 喜 歡 。若 用 混 合 對(duì) 策 來(lái) 求 出 它 的 混 合 均 衡 策 略 。 則 ：II IIIII I p ( A ) , p ( B ) , II p ( A ) 7 , p ( B ) 3 ,u 64u 96??????II： ： 雙 方 的 期 望 利 益 為 NashNash這 說(shuō) 明 即 使 采 用 混 合 策 略 ， 它 的 混 合 對(duì) 策 值 都不 如 純 對(duì) 策 的 均 衡 解 。 其 原 因 在 于 在 隨 機(jī) 策 略中 ， 因 為 有 一 種 策 略 是 無(wú) 效 率 的 ， 因 為 在 此 策 略 上出 現(xiàn) 的 概 率 也 是 無(wú) 效 率 的 。 平 均 后 ， 總 效 率 將 下 降 。t 小 偷 與 守 衛(wèi) 的 問(wèn) 題 。 設(shè) 小 偷 要 去 偷 的 概 率 為 P ， 則 守 衛(wèi) 例 10.的 期 望11利 益 為 ：tggggtgu S (1 p ) ( D) p S pS + Dupu p V (1 p )( p ) P pP + Vu0p p Nas h???????????????g t t *gt *t**睡 ： = + , 解 出 不 睡 ： =0 ：同 理 , 令 守 衛(wèi) 取 睡 得 概 率 為 , 則 小 偷 的 期 望 利 潤(rùn) 為偷 ： = + , 解 出 不 偷 ：和 為 混 合 策 略 所 取 的 概 率 選 擇 。0 1 pg gp?,gpP?P39。?V小偷的期望利益 0 1 pt Stp?,tpD?D39。?守衛(wèi)的期望利益 tSDP *小 偷 “ 偷 ” 的 概 率 是 由 和 － 決 定 , 因而 并 不 會(huì) 變 化 ， 然 而 守 衛(wèi) “ 睡 ” 的 概 率 卻 增 加 了 ,造 成 更 多 的 倉(cāng)長(zhǎng) 期 內(nèi) :庫(kù) 損 失 。g p p 39。p p 39。??**g－ 如 加 大 罰 小 偷 的 力 度 ， 由 ,則 減 少 偷 盜 ， 會(huì) 使 守 衛(wèi) 提 高 睡 覺(jué) 的 概 率 ，因 為 這 時(shí) 懲 罰 － “ 激 勵(lì) 的 悖 論懲短，期并內(nèi) :穩(wěn)”罰 小 偷定 于 此 。增 加ttDDPP????*－ 加 大 懲 罰 守 衛(wèi) 的 力 度 ， 由 ，則 守 衛(wèi) 減 少 睡 覺(jué) ， 會(huì) 使 小 偷 減 少 偷 盜的 概 率 。 因 為懲 罰 守這 時(shí) ， 并 穩(wěn)衛(wèi)短 期 內(nèi) ：定 與 此 。增 加tVPp *守 衛(wèi) “ 睡 ” 的 概 率 是 由 和 － 而 定 ， 因而 并 不 會(huì) 變 化 ， 然 而 小 偷 “ 偷 ” 的 概 長(zhǎng) 期 內(nèi) ：率 是 減 少 了 ！在 純 對(duì) 策 中 不 存 在 嚴(yán) 格 混 合 策 略 的 嚴(yán) 格下策 , 但 在 混 合 對(duì) 策 中下 策 刪 去 法 :， 若 IU ,M,DI11： 以 （ , , 0 ） 的 概 率22分 布 隨 即 選 擇 ，則 的 利 益 值 為 ：1 1 3I I L 3 0 0 12 2 21 1 3I I L 0 3 0 12 2 2? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?： 選 時(shí) ， ： 選 時(shí) ， IIIUL RMD3, 1 0, 21, 30, 2 3, 31, 1I D D都 比 選 純 對(duì) 策 時(shí) 嚴(yán) 格 上 策 ， 故 刪 去 ， 再 用 純 對(duì)策 的 嚴(yán) 格 下 策 刪 去 法 ， 最 后 得 到 ()11221 2 1 2* * * *i i S i iiS* * * *j j S j jjSG= { S , S , u ( i , j ) , u ( i , j ) }p { p } p 0 p 1 q { q } q 0 q 1 ????? ? ?? ? ???設(shè)兩人對(duì)策為: ，若存在混合策略 ， ， ， ， 定義，Nash混和均衡策略 1 2 1 2* * * *i j 1 i j 1i S j S i S j SI ( ) u p q u ( i , j) p q u ( i , j)? ? ? ???? ? ? ?*1則 局 中 人 的 混 合 策 略 的 期 望 利 益 為 :2 1 2 1* * * *j i 2 i j 2j S i S j S i SII u q p u ( i , j) p q u ( i , j)? ? ? ?