【正文】 傾 向 是 偷 懶 ， 逆 推 歸 納 廠 方 得 益 ： , ( 當 很 小 時 )所 以 廠 方 不 想 雇 用 ， 出 價 為 ： 。于 是 一 旦 發(fā) 生 一 方 不 合 作 ， 以 后 就 永 遠 采 用 古 諾 策略 ， 這2n12n24 5 4( ) 514 25 4( ) 251?? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???樣 雙 方 的 得 益 為 ：＝ + ＝ + 62 5 49( 62 5 )17 62 5 1 1 62 5 49(53.06 25 )17.462 5 1 1?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?容易看出，當＝ 時， 即 時雙方采取觸發(fā)策略，即長期合作是有利的。i 1 21 1 2 1 12 1 2 2 28 Q Q 8p0 Q 80c 2 y , y y Q( 8 y y ) y 2 y( 8 y y ) y 2 y??????? ? ? ? ???? ? ? ? ??i 無限次重復對策的古諾模型我們以前曾學過一次性古諾模型，眾所周知，一般不一定是高效率的。A 1 2 B 1 2 1 2{ I ( A , B ) , S ( a , a ) , S ( b , b ) , u ( a , b ) , u ( a , b ) }??例1 0 . 1 21 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2u ( , ) ( a ) [ ( b ) u ( a , b ) ( b ) u ( a , b ) ]? ? ? ? ? ? ?1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2( a ) [ ( b ) u ( a , b ) ( b ) u ( a , b ) ]? ? ? ? ?i A j B1 i 2 j 1 i ja S b S( a ) ( b ) u ( a , b )??? ? ???j B j B1 1 2 j 1 1 j 1 2 2 j 1 2 jb S b S( a ) ( b ) u ( a , b ) ( a ) ( b ) u ( a , b )??? ? ? ? ? ???j B j B1 1 1 1 2 j j 1 2 1 2 2 j jb S b S( a ) u ( a , ( b ) b ) ( a ) u ( a , ( b ) b )??? ? ? ? ? ? ? ???i A j B1 1 i i 2 j ja S b Su ( ( a ) a , ( b ) b )??? ? ? ? ???b2 b1 a2 a1 11(a )?12(a )?21(b )? 22(b )?u1(a2,b2) u1(a2,b1) u1(a1,b2) u1(a1,b1) A B 2 1 2 1* * * *j i 2 i j 2j S i S j S i SII u q p u ( i , j) p q u ( i , j)? ? ? ???? ? ? ?*2局 中 人 的 混 合 策 略 的 期 望 利 益 為 ：111 2 1 2222 1 2 1i i S i iiS* * *i j 1 i j 1i S j S i S j Sj j S j jjS* * *i j 2 i j 2j S i S j S i Sp { p } p 0 , p 1 u p q u (i, j) p q u (i, j)q { q } q 0 , q 1 u p q u (i, j) p q u (i, j)??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ?*1*2若 對 ， 對 ， ** Nas hp q G則 稱 和 為 對 局 的 混 合 均 衡 策 略 。N i i [ I , { S } , { u ( ) } ] , i = 1,. , ..,I ? ? ? ?證明 首先我們把對局：? i看成策略集為{ S } , 收益函數(shù)為：Ii 1 I k 1 k k isSu ( , , ) [ ( s )] u ( s ) , i =1, ...,I??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?* i)的對局。 (定理8 純對策的N a s h 均衡的存在定理，P r o p . 8 . D . 3 )i i i G [ I , { S } , { u ( ) } ] , i = 1,2,...,I ??設 ， 為 一 個 對 局 ， 其 中i1 S M（） 為R 非空緊凸的子集；i 1 I 1 I i2 u ( s , ..., s ) ( S , ..., S ) S（ ） 在 中連續(xù)，且在 中為擬凹的，N ash則該對局必存在 均衡。i 1 1 u ( , s ) s??? ii定理3因 為擬凹的，由 ，b ( ) 在凸集S 中是凸集。Von . Ne u m an n10. 6 (Von .Neu m an n 19 44) 一個兩人零和對局，比存在一組均衡策略(純策略或混合策略) 這在此以前， 曾證明了一個奠基性的定理個定理在賭局中或在軍事上都有很重要 定理：的應用。 下面以兩人每人兩個策略的情況為例說明求 Nash混合 均衡策略的條件。??**g－ 如 加 大 罰 小 偷 的 力 度 ， 由 ,則 減 少 偷 盜 ， 會 使 守 衛(wèi) 提 高 睡 覺 的 概 率 ，因 為 這 時 懲 罰 － “ 激 勵 的 悖 論懲短，期并內(nèi) :穩(wěn)”罰 小 偷定 于 此 。?V小偷的期望利益 0 1 pt Stp?,tpD?D39。 平 均 后 ， 總 效 率 將 下 降 。 更 喜 歡 ， 更 喜 歡 。 若 選相 同 的 制 式 ， 則 零 部 件 能 相互 匹 配 都 有 好 處 ； 若 選 不 同的 制 式 ， 雙 方 都 各 自 獨 立 ， 沒 有 任 何 好 處 。 使 局 中 人ABC p p 1 ,??若 選 擇 策 略 ， 則 他 的 期 望 得 益 為 3 ＋讓他無機可乘，就是使這兩個期望得益相等，即A B A B 3 p p p 5 p 1＋ ＝ 2 ＋ （ 10. ）CDII : C, D p , p同 理 ， 局 中 人 在 選 擇 策 略 的 概 率 為 時 ,ABD p 2 p 5 ??若 選 擇 策 略 ， 則 他 的 期 望 得 益 為 ＋ ，A B C D 2 , 3 , 5 , 1 , I II 3 2 5 1 I也遵循不讓局中人 有機可乘，因而類似的，CDI A 2 p 5 p 。N a s h 因 而 這 個 對 策 的 局 勢 為 下 圖 所 示 用 劃 線 法 , 這 個 對 策不 存 在 純 均 衡 解 。 混和對策 S el to n 諾 貝 爾 經(jīng) 濟 學 獎 獲 得 者 教 授 96 年 在 上 海講 學 時 , 講 了 一 個 典 型 的 例 子 : 小 偷 與 看 守 的 對 策 。 （ 4 ） 如 果 各 國 都 受 (3) 所 述 的 利 益 驅(qū) 動 的 影 響 而突 破 限 額 , 超 產(chǎn) 石 油 的 話 , 實 際 上 只 會 引 起 石 油 價 格的 猛 跌 , 結 果 大 家 都 受 損 , 也 得 不 到 原 來 預 期 的 獲 利 。 N a sh 均 衡 策 略 看 起 來 很 不 錯 , 但 同 時 也 可 以 看 出 ，雖 然 每 人 都 以 自 身 的 利 益 打 算 ， 即 使 大 家 都 遵 守 遊戲 規(guī) 則 ， 然 而 個 體 的 追 求 利 益 的 行 為 不 一 定 符 合 集體 或 社 會 的 利 益 ， 甚 至 也 不 一 定 是 真 的 能 實 現(xiàn) 個 體的 最 佳 利 益 的 ！ 例 OPEC 石 油 輸 出 國 組 織 困 境 。II又 在 剩 下 的 對 局 中 可 以 刪 去 的 左 策 略 。???8 , 0?1 , 1??0 , 8? 5 , 5??坦 白坦 白抗 拒抗 拒 雙 方 的 坦 白 策 略 均比 策 略 為 嚴 格 上 策 ， 因 而可 以 刪例 抗抗去拒拒 策 略 ，N a s h 雙 方 只 會 選 取 坦 白 策 略 。 夫妻0 , 02 , 11 , 3足 球時 裝時 裝足 球 0 , 0N a s h 用 劃 線 法 ， 求 出兩 個 均 衡 策 略 。 然 而 在 經(jīng) 濟 學中 最 常 用 的 還 是 變 和 對 策 ， 即 局 中 人 各 有 自 己 的利 益 函 數(shù) ， 且 常 數(shù) 。 ( 即 甲 的 利 益 矩 陣 ) 。 然 而 不 是每 個 純 對 策 問 題 都 存 在 均 衡 策 略 的 。由 ， 可 知 ， 下 對 策 值 ＝定 理 上 對 策 值 。* * *1i , j N a s h ( i , j ) ( i , j ) , i S????? ? ? 必 要 性 ， 設 為 對 策 的 均 衡 策 略 。j iA ( )= m i n ( , ), B ( ) m a x ( , ), i i j j i j??證 明 令 =jiii , j A ( i )= m a x A (i )= m a x m i n ( i , j ),?_ _ _令 ， 使jj i B ( )= m i n B ( )= m i n m ax ( , ),j j i j?_jijii m ax m i n ( i , j ) A( i )= m i n ( i , j ) ( i , j ) m ax ( i , j ) = B j m i n m ax ( i , j ) ? ? ??????=( ) =1 2 1 2 1 212{ S , S , , } S , S I, I I, I II????? 在 非 合 作 的 兩 人 對 策 中 （ 零 和 或 非 零 和 的 ） ,設 對 局 為 ＝ ， 其 中 分 別 為的 策 略 集 。1 1 22 1 2 3I IIS I , I S II , II II對 策 人 （ 局 中 人 ） ： ，策 略 集 ： ： { } ： { ， }利 益 矩 陣 ： 如 右 圖 。H ar sa n y i S e l t 60~ o7 n0 年 代 ， 由 和 等 人 分 別 發(fā) 展 了動 態(tài) 對 策 與 不 完 全 信 息 對 策 論 等 現(xiàn) 代 對 策 論 ， 并 為對 策 論 在 經(jīng) 濟 理 論 中 的 應 用 開 拓 了 發(fā) 展 的 前 景 。50 60NN as hn Nas has h 從 年 代 到 年 代 ， 對 策 論 發(fā) 展 了 很 多 重 要 的新 概 念 ， 如 創(chuàng) 立 了 均 衡 概 念 ， 并 證 明 了個 有 限 策 略 均 衡 的 存 在 性 定 理 。 例 ( 非 合 作 ) 兩 人 零 和 對 策 。10 .1 ? 對 兩 人 零 和 對 策 ， 下 對 策 值定 理 上 對 策 值 。N a s h 在 非 合 作 兩 人 零 和 對 策 中 ， 存 在均 衡 策 略 的 充 分 必 要 條 件 是 下 對 策 值 定 理 等 于 上 對 策 值 。jjiim ax m i n ( i , j ) m i n m ax ( i , j )?? ?()() 的 左 端 是 相 同 的 , 結 合 兩 式 的 不 等 式 , 得 ：下 對 策 值 ＝ ＝ 上 對 策 值 。N a s hN a s h 我 們 當 然 希 望 能 找 到 均 衡 策 略 。因 此 他 們 的 對 局 和 利 益 矩 陣 為 右 圖 。 所 以 ， 常 和 對 策實 質(zhì) 上 就 是 零 和 對 策 的 一 種 變 形 。：1?? 2?? 3?????1?2?1 , 0 0 , 12 , 01 , 30 , 4 0 , 2 10 .5 夫例 妻 之 爭 。 所 以 , 理 所 當 然 地 應 把 嚴 格 下 策 的 策 略 可