屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--22正弦定理和余弦定理-文庫(kù)吧
2025-01-03 18:14 本頁(yè)面
【正文】 S= AB AC sinA= ∴ △ ABC的面積為 或 解法二 :由余弦定理得 :|AC|2=|AB|2+|BC|22|AB| |BC|cosB,即 :4=12+|BC|22 |BC| ∴ |BC|26|BC|+8=0,∴ |BC|=2或 |BC|=4. (1)當(dāng) |BC|=2時(shí) ,S△ = |AB| |BC| sinB (2)當(dāng) |BC|=4時(shí) ,S△ = |AB| |BC| sinB ∴ △ ABC的面積為 或 [反思感悟 ]本題主要考查正弦定理 ?三角形面積公式及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想 ,同時(shí)也考查了三角函數(shù)的運(yùn)算能力及推理能力 . 類(lèi)型二 判斷三角形的形狀 解題準(zhǔn)備 : ?余弦定理及其變形 ,把題設(shè)條件中的邊 ?角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角或邊的簡(jiǎn)單關(guān)系 ,從而進(jìn)行判斷 . :一是化邊為角 ,以角為著眼點(diǎn) ,利用正 ?余弦定理及變形 ,把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角三角函數(shù)之間的關(guān)系 ,走三角變形之路 。二是化角為邊 ,以邊為著眼點(diǎn) ,利用正 ?余弦定理及變形 ,把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系 ,走代數(shù)變形之路 .在運(yùn)用這些方法對(duì)等式變形時(shí) ,一般兩邊不約去公因式 ,應(yīng)移項(xiàng)提公因式 ,以免產(chǎn)生漏解 . 【 典例 2】 在△ ABC中 ,a、 b、 c分別表示三個(gè)內(nèi)角 A、 B、 C的對(duì)邊 ,如果 (a2+b2)sin(AB)=(a2b2)?sin(A+B),試判斷該三角形的形狀 . [分析 ]利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化 ,轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系 . [解 ]解法一 :由已知 (a2+b2)sin(AB) =(a2b2)?sin(A+B). 得 a2[sin(AB)sin(A+B)] =b2[sin(A+B)sin(AB)] ∴ 2a2cosAsinB=2b2cosBsinA. 由正弦定理得 sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA, 即 sin2A?sinAsinB=sin2B?sinAsinB. ∵ 0Aπ,0Bπ,∴ sin2A=sin2B ∴ 2A=2B或 2A=π2B,即 A=B或 A+B= ∴ △ ABC是等腰三角形或直角三角形 . 解法二 :同解法一可得 2a2cosAsinB=2b2cosBsinA, 由正、余弦定理得 a2b? =b2a? ∴ a2(b2+c2a2)=b2(a2+c2b2), 即 (a2b2)(c2a2b2)=0,∴ a=b或 c2=a2+b2, ∴ △ ABC為等腰三角形或直角三角形 . [反思感悟 ]判斷三角形形狀主要有如下兩條途徑 : (1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系 ,通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系 ,從而判斷三角形的形狀 。 (2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系 ,通過(guò)三角函數(shù)恒等變形 ,得出內(nèi)角的關(guān)系 ,從而判斷出三角形的形狀 ,此時(shí)要注意應(yīng)用 A+B+C=π這個(gè)結(jié)論 .在兩種解法的等式變形中 ,一般兩邊不要約去公因式 ,應(yīng)移項(xiàng)提取公因式 ,以免漏解 . 類(lèi)型三 測(cè)量高度和角度問(wèn)題 解題準(zhǔn)備 : ,要正確理解仰角 ?俯角和坡角 ?坡度等特定的相關(guān)概念 ,畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖 . 2.(1)仰角 ?俯角 :在視線(xiàn)和水平線(xiàn)所成的角中 ,
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