【正文】 濾波器及D/A轉換后的平緩濾波器，因此模擬濾波器設計也是數(shù)字信號處理中應當掌握的技術。 從性能上來說，IIR數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)包括零點和極點兩組可調因素，對極點的唯一限制是在單位圓內(nèi)。因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存儲單元少、計算量小、效率高。但是這個高效率是以相位的非線性為代價的選擇性越好，則相位非線性越嚴重。FIR濾波器傳遞函數(shù)的極點是固定在原點，是不能動的，它只能靠改變零點位置來改變它的性能，所以要達到高的選擇性，必須用高的階數(shù)，對于同樣的濾波器設計指標，F(xiàn)IR濾波器所要求的階數(shù)可能比IIR濾波器高510倍，結果成本高信號延時也較大，如果按線性相位要求來說，則IIR濾波器就必須加全通網(wǎng)絡進行相位校正，同樣大大增加了濾波器的階數(shù)和復雜性。而FIR濾波器卻可以得到嚴格的線性相位。 從結構上看，IIR濾波器必須采用遞歸結構來配置極點，并保證極點位置在單位圓內(nèi)。由于有限字長效應，運算過程中將對系數(shù)進行舍入處理，引起極點的偏移，這種情況有時會造成穩(wěn)定性問題，甚至造成寄生振蕩。相反，F(xiàn)IR濾波器只要采用非遞歸結構，不論在理論上還是實際的有限精度運算中都不存在穩(wěn)定性問題，因此造成的頻率特性誤差也較小。此外FIR濾波器可以采用快速傅立葉變換算法，在相同的階數(shù)條件下運算速度可以快的多。從設計工具看，IIR濾波器可以借助模擬濾波器的成果，因此一般都有有效的封閉形式的設計公式可供參考，計算工作量比較小，而且對計算工具的要求不高。FIR濾波器一般沒有封閉形式的設計公式。窗函數(shù)法設計FIR濾波器也僅給出了窗函數(shù)的計算公式，但是在計算通帶阻帶衰減時無顯示表達式。一般FIR濾波器的設計只有計算程序可循，因此它對計算工具要求較高。在設計和實現(xiàn)上FIR濾波器具有如下優(yōu)越性:(1)相位響應可為嚴格的線性，因此它不存在延遲失真，只有固定的時間延遲。(2)由于不存在穩(wěn)定性問題，所以設計相對簡單。(3)只包含實數(shù)算法，不涉及復數(shù)算法，不需要遞推運算，長度為M的濾波器(階數(shù)為M1)，它的計算值約為M/2。另外，也應看到，IIR濾波器雖然設計簡單，但主要是用于設計具有分段常數(shù)特性的濾波器，如低通、高通、帶通和帶阻等，往往脫離不了模擬濾波器的格局。而FIR濾波器則要靈活的多，尤其是他易于適應某些特殊應用，如構數(shù)字微分器或希爾伯特變換器等，因而有更大的適應性和廣闊的應用領域。從上面的簡單比較可以看到IIR與FIR濾波器各有所長，所以在實際應時應該從多方面考慮來加以選擇。從使用要求來看，在對相位要求不敏感的場合，如語言通信等選用IIR較為合適，這樣可以充分發(fā)揮其經(jīng)濟高效的特點。對于圖像信號處理，數(shù)據(jù)傳輸?shù)纫圆ㄐ螖y帶信息的系統(tǒng)，則對線性相位要求較高。如果有條件，采用FIR濾波器較好。當然在實際應用中可能還要考慮更多方面的因素.對數(shù)字濾波器的要求可歸納為具有低通頻響特性和線性相位的穩(wěn)定系統(tǒng)。因此將FIR和IIR濾波器做個比較，如下表所示：表11 FIR和IIR濾波器的比較FIR濾波器IIR濾波器有限長脈沖響應無限長脈沖響應無循環(huán)反饋有循環(huán)反饋常穩(wěn)定必須考慮穩(wěn)定性截止特性差，必須用高階性截止特性好可以簡單地獲得直線相位特性只能近似地獲得直線相位特性不必要考慮量化誤差的擴大必要考慮量化誤差的擴大問題 數(shù)字濾波器的一般分析、設計方法對數(shù)字濾波器的分析，主要是考察它再頻域和時域兩個方面體現(xiàn)的一些特性。頻域：1. 幅頻特性，相位特性，群延遲特性。 2. 舍入噪聲（平均噪聲功率、噪聲譜）。 時域：1. 沖激響應，階躍響應，對任意輸入的時間響應。2. 極限環(huán)。為了描述和分析這些特性，需要有描述系統(tǒng)的方法，主要有：1. 節(jié)點方程式。 2. 混合方程式。 3. 狀態(tài)方程式。 4. 傳輸函數(shù)。 從包含的輸入輸出關系信息看，14逐漸增多，如能得到4的傳輸函數(shù)，則可以推出頻域時域輸入輸出關系特性。從包含的系統(tǒng)結構信息量看，41逐漸增多，只要知道節(jié)點方程式，就可畫出系統(tǒng)結構，反之亦然。這集中描述方法式可以相互轉化的，比如從狀態(tài)方程可以推出傳遞函數(shù)。從節(jié)點方程可以推出狀態(tài)方程等等。我們的興趣主要是在輸入輸出關系上，所以只討論傳遞函數(shù)。傳遞 函數(shù)H(z)以知后，則可以確定系統(tǒng)的頻響為: ()其中和分別是幅頻特性和相位特性。對于無失真的傳輸系統(tǒng)，有 ()即 ()這就是說，幅頻特性為常數(shù)，信號通過線性系統(tǒng)后個頻率分量的相對大小保持不變，沒有失相位失真。相位特性為線性，是對應時域方程的時延量為常數(shù) ()即系統(tǒng)對個頻率分量的延遲時間相同，這就保證各頻率分量的相對位置不變，沒有相位失真。數(shù)字通信對相位的要求比模擬通信要高的多，線性相位時很重要的。數(shù)字系統(tǒng)描述對各頻率分量的相位延遲的函數(shù)于模擬系統(tǒng)一樣，有兩個：群時延： 相時延： 群時延特性能反映相頻曲線的線性程度，相時延特性能反映各頻率分量在時延的相對延時。因無相位失真的傳輸條件具有恒群時延和恒相時延，即群時延=相時延＝常數(shù)上面我們討論的時分析數(shù)字濾波器的一般方法，下面來看一個有關數(shù)字濾波器的設計問題。設計一個數(shù)字濾波器必須經(jīng)過下來步驟：1. 確定是用IIR 還是用FIR； 2. 確定濾波器的傳遞函數(shù)； 3. 用有限精度算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)（包括選擇運算結構，選擇合適的字長 以及有效數(shù)字的處理方法）。 實際的技術實現(xiàn)（包括采用通用計算機軟件或專用數(shù)字濾波器硬件來實現(xiàn)，或者是二者結合的方法）。應該指出，在設計是并不是可以按照上述順序一次性解決的，而是互相牽連，需要上下反復多次才能完成。濾波器的傳遞函數(shù)決定了濾波器的特性。IIR的設計方法大致有兩種。一種是借助模擬濾波器的設計技術，應用模擬濾波器低通原型設計各種數(shù)字濾波器。另一種是計算機輔助設計，也叫最優(yōu)化設計，即在某種最優(yōu)化準則下逼近所希望的響應。第2章 IIR數(shù)字濾波器的設計數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的主要內(nèi)容之一。 設計思路:先設計一個合適的模擬濾波器,然后變換成滿足預定指標的數(shù)字濾波器。，再按一定的轉換關系將轉換成數(shù)字濾波器H(z)。這樣問題就變成了如何將S平而上的轉換成Z平面上的H(z)。為了保證轉換后的H(z)少仍滿足技術要求，必須對轉換關系提出如下要求：(1) H ( z)的頻率響應要能模仿的頻率響應，即S平而的虛軸必須映射到Z平而的單位圓上，也就是頻率軸要對應；(2) 因果穩(wěn)定的應能映射成因果穩(wěn)定的H (z)。也就是s平而的左半平而Re(S)0必須映射到Z平而單位圓的內(nèi)部 1。將傳輸函數(shù)從S平而轉換到Z平面的方法有多種，但常用的是脈沖響應不變法和雙線性變換法。 脈沖響應不變法設模擬濾波器的傳輸函數(shù) ()(為單階極點)只有單階極點，將進行逆拉氏變換，得到相應的單位沖激響應是： ()(u(t) 為單位階躍函數(shù))，對進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到: ()作為數(shù)字濾波器的單位取樣響應。對它進行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(z): ()例如：一個RC低通濾波器的傳輸函數(shù)為： (1/ sc) /[R+(1/ sc)]=(1/ RC)/[S+ (l/RC)] ()因為極點為1/RC，轉換成，的極點為，因此 ()令=RC, () 所以上它的差分方程為： ()。 脈沖響應不變法轉變關系滿足前而提出的兩點要求，但有頻率響應的周期延拓象，因而如果不是嚴格限帶的（一般如此），必然會有頻率響應的混疊失真。為此要求模擬濾波器是一個帶限濾波器。實際上的頻率響應不可能真正帶限，只要在折疊頻率/ T以上頻響哀減加快，即是銳截止的，用脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波仍能較好地滿足要求。圖 數(shù)字低通濾波電路 雙線性變換法 雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似的一種變換方法，為了克服多值映射這一缺點，首先把整個S平面壓縮變換到某一中介的，平面里的一條橫帶里（寬度為2/T,即從 /T到/ T），其次通過標準變換關系z=將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面是一一對應的關系，消除了多值變換法，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。模擬濾波器可用一N階微分方程描述，相應的傳輸函數(shù)=，極點是單階的，展開成部分分式，每一個部分分式相對應的是一個一階微分方程。設輸入信號和輸出滿足一階微分方程，即滿足 ()該方程對應的模擬系統(tǒng)函數(shù)為 ()求積分，然后進行Z變