【正文】 為 Z 域，其映射關(guān)系滿足： 112 (1 )1( ) ( ) za s zH z H s ????? ?? (32) 函數(shù)，該函數(shù)用來(lái)分割圖形窗口，可在一個(gè)圖形窗口中輸出多幅圖。其格式為 subplot(m,n,I)，表示圖形窗口被分割成 m 行 n列個(gè)子窗口，本子窗口是第 I 個(gè)，適合于有多個(gè)圖的輸出。以上函數(shù)在 MATLAB 的實(shí)際操作中將起關(guān)鍵作用。 6 四、 FIR 濾波器的設(shè)計(jì) （一）窗函數(shù)法 窗函數(shù)的理論根據(jù)。窗函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器的基本思想，就是根據(jù)給定的濾波器技術(shù)指標(biāo)，選擇濾波器的階數(shù) N和合適的窗函數(shù) ()n? 。即用一個(gè)有限長(zhǎng)度的窗口函數(shù)序列 ()n? 來(lái)截取一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的序列 ()hdn獲得一個(gè)有限長(zhǎng)序列 ()hn ，即 ( ) ( ) ( )h n n hd n???，并且要滿足以下 兩個(gè)條件： 1．窗譜主瓣盡可能地窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶； 2．盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對(duì)幅度，也就是能量盡量集中于主瓣，使峰肩和紋波減小，就可增多阻帶的衰減。 這就給窗函數(shù)序列的形狀和長(zhǎng)度選擇提出了嚴(yán)格的要求。 （二）用窗函數(shù)設(shè)計(jì) FIR 濾波器 根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng) ()hdn 。如果給出待求濾波器的頻響為 ()Hdejw ，那么單位取樣響應(yīng)應(yīng)用下式求出： 1h ( ) ( )2 jw jw nddn H e e d w??? ?? ? (41) 如果 ()jdHe? 較為復(fù)雜，或者不能用封閉公式 ()jdHe? 表示時(shí)，則不能用上式求出 ()hdn 可以對(duì) ()jdHe? 。從 0w? 到 2w ?? 采樣 M點(diǎn)，采樣值為 )( 2 kMjd eH ? 。 k=0， 1， 2， 2M? 代替公式 (41)中的 wd ，公式 (41)近似寫成： 7 22101( ) ( )M j k j k nMMmdkh n H e eM????? ? (42) 根據(jù)頻率采樣定理， ()hmn 與 ()hdn 應(yīng)滿足如下關(guān)系： ( ) ( )Mdrh n h n rM??????? (43) 因此，如果 M選的較大，可以保證在窗口內(nèi) ()hmn 有效逼近 ()hdn 。實(shí)際計(jì)算公式 (42) ，可以用 ()jdHe? 的 M點(diǎn)采樣值，進(jìn)行 M點(diǎn)的IDFT(FFT)得到。 （ 1）如果給出通帶阻代衰減和邊界頻率要求，可選用理想濾波器作為逼近函數(shù)，從而用理想濾波器的特性作傅里葉逆變換，求出()hdn 。例如 ，理性低通濾波器如公式 (43)所示： ( ) ,jw jwdcH e e W W??? ( ) 0 ,jwdcH e w w ?? ? ? ? (44) 求出單位取樣響應(yīng) ()hdn 如下式： s in ( ( ))() ()cd w n ahn na? ?? ? (45) 為保證 線性相位，取 ( 1) / 2aN?? （ 2）根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度 N。設(shè)待求濾波器的長(zhǎng)度用 ?? 來(lái)表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。因過(guò)渡帶 ?? 近似于窗口長(zhǎng)度 N成反比， ??? /AN ， A決定于窗口形式。例如，矩形窗 A=4π哈明窗 A=8π等。按照過(guò)渡帶及阻帶衰減情況，選擇窗函數(shù)形式。原則是在保 證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。 （ 3）計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng) ()hn ， ( ) ( ) ( )h n n hd n???。式中 ()n?8 是上面選擇好的窗函數(shù)。如果要求線性相位，則要求 ()hdn 和 ()n? 均對(duì) ( 1)/2N? 對(duì)稱。如要求 ()hn 對(duì) ( 1)/2N? 奇對(duì)稱，只要保證 ()hdn 對(duì)( 1)/2N? 奇對(duì)稱就可以了。 （ 4）驗(yàn)算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求。設(shè)計(jì)出的濾波器頻率響應(yīng)應(yīng)用下式計(jì)算： 10H ( ) ( )Njw jw nne h n e? ??? ? (46) 計(jì)算上式時(shí)可用 FFT算法。如果 )( jweH 不滿足要求，根據(jù)具體情況重復(fù)第二、三、四步，直到滿足要求 [15]。 （三）頻率抽樣法 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)是從時(shí)域出發(fā)的一種設(shè)計(jì)方法，但一般技術(shù)指標(biāo)是在頻域給出的，因此頻率抽樣法更為直接，尤其對(duì)于 ()jdHe? 公式復(fù)雜，或 ()jdHe? 不能用封閉公式表示的一些離散值，頻率抽樣法更為方便、有效。 設(shè)待設(shè)計(jì)的濾波器的傳輸函數(shù)用 ()jdHe? 表示，對(duì)它在 0?? 到 2?之間等間隔采樣 N 點(diǎn)，得到 ()dHk， 2( ) ( ) |jdd kDH k H e ? ?? ?? 0,1, 2,... 1kN??， (47) 再對(duì) N 點(diǎn) ()dHk進(jìn)行 IDFT，得到 ()hn ， 21101( ) ( )N j knNdkh n H k eN???? ?， 0,1, 2,... 1kN??， (48) 式中 ()hn 作為所設(shè)計(jì)的濾波器的單位取樣響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù) ()Hz為： 9 10( ) ( )N NnH z h n z? ???? (49) 此外，由頻域內(nèi)插公式知道，利用這 N 個(gè)頻域采樣值 ()Hk同樣可求得 FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ()Hz。 1101 ( )() 1N Nkk Nz H kHz N W Z? ?????? ?? (410) 如果設(shè)計(jì)的是 線性相位的 FIR 濾波器，則其采樣值 ()Hk的幅度和相位一定要滿足前面所討論的四類線性相位濾波器的約束條件。 FIR濾波器具有線性相位的條件是 ()hn 是實(shí)序列，且滿足 ( ) ( 1)h n h N n? ? ?，在此基礎(chǔ)上能推導(dǎo)出其傳輸函數(shù)應(yīng)滿足的條件是： ()( ) ( )jjdgH e H e? ? ??? (411) 1() 2N? ? ???? (412) N 為奇數(shù)， ( ) (2 )ggHH? ? ??? (413) N 為偶數(shù)， ( ) ( 2 )ggHH? ? ?? ? ? (414) 在 0~2??? 之間等間隔采樣 N 點(diǎn)， 2k kN?? ? k=0,1, 2,… ， N1 (415) 將 k??? 代入 (413)(414)式中，并寫成 k 的函數(shù)： ()( ) ( ) jkdgH k H k e ?? (416) 1 2 1() 2NNkkNN?? ? ???? ? ? (417) N 為奇數(shù)， ( ) ( )ggH k H N k?? (418) N 為偶數(shù)， ( ) ( )ggH k H N k? ? ? (419) 10 設(shè)用理想低通作為希望設(shè)計(jì)的濾波器，截止頻率為 c? ，采樣點(diǎn)數(shù)N, ()gHk和 ()k? 用下面公式計(jì)算： N 為奇數(shù)時(shí)， ( ) ( ) 1ggH k H N k? ? ?， 0 1 2ckk? ， ， ， ... ， ( ) 0gHk? ， 11c c ck k k k? ? ?， +2 ， ... ， N 1() NkkN????? ， 0 1 2 1kN??， ， ， ... ， (420) N 為偶數(shù)時(shí)， ( ) 1gHk? ， 0 1 2ckk? ， ， ， ... ， ( ) 0gHk? ， 11c c ck k k k? ? ?， +2 ， ... ， N ( ) 1gH N k? ??， 0 1 2 ckk? ， ， ， ... ， 1( ) , 0 1 2 1Nk k k NN?? ?? ? ? ?， ， ， ... ， (421) 用頻率采樣所得對(duì)應(yīng)的單位取樣響應(yīng)為 ()dhn， 1( ) ( )2 j j nddh n H e e d? ??????? ? (422) 則由頻率域采樣定理知道，在頻域 0~2??? 之間等間隔采樣 N點(diǎn)，利用 IDFT 得到的 h(n)應(yīng)是 ()dhn以 N 為周期，周期性延拓乘以()NR? ，即 ( ) ( ) ( )dNrh n h n rN R n?? ????? (423) 由采樣定理表明，頻率域等間隔采樣 ()Hk，經(jīng)過(guò) IDFT 得到 ()hn ，其 Z 變換 ()Hz和 ()Hk的關(guān)系為： 11 120 112( ) ( ) ( )1 ( )()11 si n( / 2)()si n( / 2)dNrN NjkNNjjh n h n rN R nz H kHzNeZNH e eNN??? ??? ? ?? ?? ??????????? (424) 上式表明，在各頻率采樣點(diǎn) =2 k/N ?? ， 0k ? ， 1 ， 2 ， ... ， N1上，2 k/N ????( )=1，因此，采樣點(diǎn)上濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格地和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等的。但是在采樣點(diǎn)之間的頻響則是由各采樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而成的，因而有一定的逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)曲線形狀。理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想值，逼近誤差越小。反之，如果采樣點(diǎn)之間的理想頻率特性變化越陡，則內(nèi)插值與理想值的誤差就越大，因而在理想頻率特性的不連續(xù)點(diǎn)附近，就會(huì)產(chǎn)生肩峰和起伏。下面通過(guò)設(shè)計(jì)分析說(shuō)明頻率抽樣法設(shè)計(jì) FIR 濾波器的步驟 [46]。 （四）利用 頻率抽樣法設(shè)計(jì) FIR 濾波器 利用頻率抽樣法設(shè)計(jì)一個(gè) 32 階的低通 FIR 濾波器，要求通帶截止頻率 ???p ，阻帶截止頻率 ??? 。 由線形相位 FIR 濾波器有四種類型，不同類型的 FIR 濾波器，其幅頻特性和相頻特性有少許不同，所以首先要確定濾波器的類型，本題選擇 ()hn 偶對(duì)稱， N 為偶數(shù)這一類型，其設(shè)計(jì)過(guò)程如下： （ 1） 由性能指標(biāo)和濾波器的類型確定 ()Hk的模 | ( )|Hk 。一方面要滿足式 (420)，另一方面要求 ( / 2) 0HN ? ，因?yàn)檫@種類型濾波器的幅度函數(shù)是奇對(duì)稱的。 12 （ 2） 根據(jù)濾波器的類型及頻率抽樣法的特點(diǎn)確定 ()Hk的相角()k? 。 ()k? 要滿足式 (418)，這是由這種類型濾波器的相位函數(shù)決 定的。 (3)由 | ( )|Hk 和 ()k? 構(gòu)造出 ()Hk，再經(jīng)過(guò)逆變換便可求出單位沖激響應(yīng)()hn ，而且其虛部必為零。 根據(jù)以上步驟可得 MATLAB 程序 見附錄（一） ； 頻率采樣法的優(yōu)點(diǎn)是可以在頻域直接設(shè)計(jì)，并且適合最優(yōu)化設(shè)計(jì)