第六節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)-文庫吧
2024-09-27 12:07 本頁面
【正文】 一個基礎(chǔ)解系，如果 1) (1) 的任一解都能表成 ?1 , ?2 , … , ?t 的線 性 組合； 2) ?1 , ?2 , … , ?t 線性無關(guān) . 8 169。 2020, Henan Polytechnic University 8 167。 6 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 第三章 線性方程組 3. 基礎(chǔ)解系的存在性與求法 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的存在性由下面的 定理給出 . 定理 8 在齊次線性方程組有非零解的情形下 , 它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含解的個數(shù)等于 n r ，這里 r 表示系數(shù)矩陣的秩 ( 以下將看到 n r 也就是自由未知量的個數(shù) ) . 定理的證明事實上就是一個具體找基礎(chǔ)解系的 方法 . 9 169。 2020, Henan Polytechnic University 9 167。 6 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 第三章 線性方程組 證明 設(shè)方程組 (1) 的系數(shù)矩陣的秩為 r ，不 妨設(shè)左上角的 r 級子式不等于零 . 于是按上一節(jié)最 后的分析，方程組 (1) 可以改寫成 )3(.,11,11211,22121111,11111???????????????????????????????nrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrrxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa??????????如果 r = n，那么方程組沒有自由未知量，方程 組 (3) 的右端全為零 . 這時方程組只有零解，當然 10 169。 2020, Henan Polytechnic University 10 167。 6 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 第三章 線性方程組 也就不存在基礎(chǔ)解系 . 以下設(shè) r n . 我們知道，把自由未知量的任意一組值 ( cr+1 , cr+2 , … , ) 代入 (3) ，就唯一地決定了方程 (3)－ 也就是方程組 (1) 的一個解 . 換句話說，方程組 (1) 的任意兩個解，只要自由未知量的值一樣，這兩個 解就完全一樣 . 特別地，如果在一個解中，自由未 知量的值全為零，那么這個解一定是零解 . 因此，為了求方程組 (1) 的 n r 個不同的解， 在 (3) 中，令自由未知量 xr+1 , xr+2 , … , xn 取下列 n r 組數(shù)： 11 169。 2020, Henan Polytechnic University 11 167。 6 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 第三章 線性方程組 )4(,100,010,00121????????????????????????????????????????????????????????????????nrrxxx于是就得出方程組 (3) , 也就是方程組 (1) 的 n r 個 解： )5(.)1,0,0,(,)0,1,0,(
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