【正文】 ??????????????????????4462432321xxx x1= 13, x2 = 8, x3 = 2 m21=3/2 m31=4/2 m32= 3/ 例 用高斯消元法求解方程組 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 矩陣的三角分解 : ???????????????1111211nmmL??對線性方程組 Ax=b的系數(shù)矩陣 A施行初等行變換相當于用初等矩陣左乘 A，故第一次消元后方程組化為 A(1)x=b(1)，即 L1Ax=A(1)x， L1b=b(1)，其中 同理 LkA(k1)=A(k) Lkb(k1)=b (k) ?????????????????????????11111,1,knkkkmmL???其中 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ?將 A 分解為單位下三角矩陣 L 和上三角矩陣 U的乘積的算法稱為矩陣 A的 三角分解算法 。 重復(fù)該過程，最后得 )1(1221??? ?nnn AALLLL ?)1(1221??? ?nnn bbLLLL ?記 U=A(n1)，則 LUULLLA n ?? ? ??? 1 11211 ?其中 ?????????????1112121nnmmmL???《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 定理： 設(shè) A為 n階矩陣，若 A的順序主子式 Di ≠0（ i=1,2,… n1），則 A可分解為一個單位下三角矩陣L和一個上三角矩陣 U的乘積，且這種分解是唯一的。 213 1 3 21 2 31111n n nmL m mm m m???????????由 Gauss消元過程可推得 U即為 Gauss消元后所得的上三角方程的系數(shù)矩陣。 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 例 對矩陣 1 1 10 4 12 2 1A?????????????作 LU分解。 解 由 Gauss消元法可得， m21=0， m31=2， m32= 1 故 ??????????? 112010001????????????200140111A= =LU 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 如果已經(jīng)有 A = L U 則 AX = b = L U X = b， （ 1）求解方程組 LY = b 得向量 Y 的值； （ L 是下三角矩陣，用順代算法） （ 2）求解方程組 UX = Y 得向量 X 的值。 （ U 是上三角矩陣，用回代算法） 記 UX = Y ， LY = b ，則求解方程組分兩步進行： 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 基本思想： Gauss消元法中，若主元 akk(k) 太小會使誤差增大，故應(yīng)避免采用絕對值小的元素作主元。最好每一步選取系數(shù)矩陣中（或消元后的低階矩陣中）絕對值最大的元素作主元，以具較好的數(shù)值穩(wěn)定性。 Gauss列主元素消元法 ?????????????????????????????????321xxx?例： 求解方程組 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? （用四位浮點數(shù)計算，精確解舍入到 4位有效數(shù)字為： x1*=,x2*=,x3*=） 0. 00 1 2. 00 0 3. 00 0 1. 00 01. 00 0 3. 71 2 4. 62 3 2. 00 02. 00 0 1. 07 2 5. 64 3 3. 00 0??????????????????20226006400101002300520220解： 《方法一》 Gauss消元法 （ A/b） = 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 其中， m21= m31= m32=4001/2022= ? 解為 x1=， x2=， x3= ? (x1*=， x2*=， x3*=) ? 顯然，此解并不準確。 ??????????1002300520220《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 《 方法二 》 交換行，避免絕對值小的主元作除數(shù)。 ??????????????????????? ??0 0 0 0 5 0 0 0 7 0 0 4 7 0 （ A/b） = 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ?????????? ??6 8 7 6 5 0 0 0 7 0 0 4 7 0 ?其中， m21= m31= m32= ?解為 x1=， x2=， x3= ?(x1*=， x2*=， x3*=) 與方法一相比，此解顯然要精確得多。 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 設(shè) Ax＝ b的增廣矩陣為 ????????????nnnnnnnbaaabaaabaaa????????21222221111211在 A的第一列中選絕對值最大的元素作主元，設(shè)該元素所在行為第 i1行，交換第一行與第 i1行，進行第一次消元；再在第 2－ n行的第二列中選絕對值最大的元素作主元，設(shè)該元素所在行為第 i2行，交換第二行與第 i2行，進行第二次消元， …… 直到消元過程完成為止。 Gauss列主元素消元法的基本思想： 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 例： 用列主元法解 ??????????????????????????????????6745150710623321xxx?????????????6515707104623?????????????6515462370710?解 ：第一列中絕對值最大是 10，取 10為主元 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 第二列的后兩個數(shù)中選出主元 ????????????70710?????????? ?70710x3=x2=()/=1 x1=(7+7x20x3)/10=0 x1=0 x2=1 x3=1 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 列主元矩陣的三角分解： 2)110 32( EEE ???3)11053( EEE ??21 EE ???????????????5150710623A???????????????51562307101 APA解： 交換行變換 ?????????? ???0710111 APFAP例： 對矩陣 A做列主元三角分解： ???????????1000010101P?????????????100100131211mmF《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ???????????0101000012P????????????10010001322mF3) ( EEE ?????????????????071011211 APFPAPF32 EE ??????????? ??07101122 APFPF則列主元的 Gauss變換可記為 A(2)=F2P2F1P1A 記 U=A(2)=F2( P2F1P2)P2P1A （因 P2P2=I） P = P2P1 2121~ PFPF ? 則有 1211~ ?? ?? FFL若記APFFU ???? 12 ~LUPA ?可得《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 對于一般的 n階矩陣的列主元三角分解，通常令 12 PPPP n ?? )(1122111????nn FPFPFPPL ?)( nAU ?LUPA ?定理： （列主元素的三角分解定理）若 A非奇異，則存在排列陣 P使 PA＝ LU，其中 L為下三角陣， U為上三角陣。 矩陣分解關(guān)系為 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 全主元素消元法： )1()1( m a x ?????? ? kijnjknikkji aa kk定義： 則稱 )1( ?kjikka為全主元素。 經(jīng)過行列互換，使得 位于經(jīng)交換行和列 后的等價方程組中的 位置，然后再實施消元。 )1( ?kji kka)1( ?kkka全主元素消元法的基本思想： 若 注：全主元素消元法有可能改變未知數(shù)的順序。 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 直接三角分解法：若將 A分解為 LU的積，則求Ax＝ b等價于求解兩個三角形方程組： （ 1） Ly＝ b，求 y； （ 2） Ux＝ y，求 x。 矩陣三角分解法 （一） Doolittle分解法 （二 ） Crout分解法 （三） 對稱正定矩陣的 Cholesky分解法 （四） 三對角方程組的數(shù)值解法 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ????????????nnnnnnaaaaaaaaa???????212222111211????????????1112121nnmmm???????????????nnnnuuuuuu????22211211＝ 設(shè) A非奇異，且 A＝ LU， L為