【正文】 意義是，用一個(gè) n 次多項(xiàng)式來逼近函數(shù) f .而多項(xiàng)式具有形式簡(jiǎn)單，易于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn) . 泰勒公式由 ()fx的 n 次泰勒多項(xiàng)式 ()nPx和余項(xiàng) 0( ) [( ) ]nnR x o x x??組成，我們來詳細(xì)討論它們 . 當(dāng) n =1 時(shí)，有 1 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )P x f x f x x x?? ? ?， 是 ()y f x? 的曲線在點(diǎn) 00( , ( ))x f x 處的切線（方程），稱為曲線 ()y f x? 在點(diǎn) 00( , ( ))x f x 的一次密切，顯然，切線 與曲線的差異是較大的，只是曲線的近似 . 當(dāng) n =2 時(shí)，有 202 0 0 0 0()( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!fxP x f x f x x x x x???? ? ? ? ?， 是曲線 ()y f x? 在點(diǎn) 00( , ( ))x f x 的“二次切線”，也稱曲線 ()y f x? 在點(diǎn) 00( , ( ))x f x 的二次密切 .可以看出，二次切線與曲線的接近程度比切線要好 .當(dāng)次數(shù)越來越高時(shí)，接近程度越來越密 切，近似程度也越來越高 . Taylor公式的各種余項(xiàng) 對(duì)于一般的函數(shù)，其 n 次 Taylor 多項(xiàng)式與函數(shù)本身又有什么關(guān)系呢？函數(shù)在某點(diǎn) 0x附近能近似地用它在 0x 點(diǎn)的 n 次泰勒多項(xiàng)式去替代嗎？如果可以，那怎樣估計(jì)誤差呢？下面的 Taylor 定理就是回答這個(gè)問題的． 定理 1 (帶拉格朗日型余項(xiàng)的 Taylor 公式 ) 假設(shè)函數(shù) )(xf 在 hxx ?? || 0 上存在直至 1?n 階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任一],[ 00 hxhxx ??? ,泰勒公式的余項(xiàng)為 10)1( )()!1( )()( ?? ??? nnn xxnfxR ? 其中 )( 00 xxx ??? ?? 為 0x 與 x 間的一個(gè)值 .即有 10)1(00)(000 )()!1( )()(! )(...))(()()( ?? ?????????? nnnn xxnfxxn xfxxxfxfxf ? () 推論 1 當(dāng) 0?n ，（ ）式即為拉格朗日中值公式： ))(()()( 00 xxfxfxf ???? ? 所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推廣． 推論 2 在定理 1中 ,若令 )0()()1(! )()( 101)1( ????? ???? pxxnpfxR npnnn ??則稱 )(xRn 為一般形式的余項(xiàng)公式 , 其中00xx x????? ．在上式中， 1??np 即為拉格朗日型余項(xiàng)．若令 1?p ，則得 )0()()1(! )()( 10)1( ???? ?? pxxnfxR nnnn ??, 此式稱為柯西余項(xiàng)公式． 當(dāng) 00?x ，得到泰勒公式： 11)(2 )!1( )(! )0(...!2 )0()0()0()( ???????????? nnnn xn xfxnfxfxffxf ?）（， )10( ??? （ ） 則（ ）式稱為 帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式． 定理２ （帶皮亞諾型的余項(xiàng)的 Taylor 公式） 若函數(shù) f 在點(diǎn) 0x 處存在直至 n 階導(dǎo)數(shù)，則有 ?? ?? nk kkn xxk xfxP 0 00)( )(! )()( ， )()()( xPxfxR nn ?? ． 則當(dāng) 0xx? 時(shí) ， ))(()( 0 nn xxxR ?? ? ．即有 ))(()(! )(...))(()()( 000)(000 nnn xxxxn xfxxxfxfxf ????????? ? （ ） 定理 3所證的（ ）公式稱為函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處的泰勒公式， )()()( xPxfxR nn ?? ， 稱為泰勒公式的余項(xiàng)的，形如 ))(( 0 nxx?? 的余項(xiàng)稱為皮亞諾型余項(xiàng)，所以（ ）式又稱為帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式 當(dāng)（ ）式中 00?x 時(shí)，可得到 )(! )0(...!2 )0()0()0()( )(2 nnn xxnfxfxffxf ?????????? （ ） （ ）式稱為帶有皮亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式，此展開式在一些求極限的題目中有重要應(yīng)用． 由于 ))(()( 0 nn xxxR ?? ? ，函數(shù)的各階泰勒公式事實(shí)上是函數(shù)無窮小的一種精細(xì)分析，也是在無窮小領(lǐng)域?qū)⒊竭\(yùn)算轉(zhuǎn)化為整冪運(yùn)算的手段．這一手段使得我們可能將無理的或超越函數(shù)的極限，轉(zhuǎn)化為有理式的極限，從而使得由超越函數(shù)所帶來的極限式的奇性或不定性，得以有效的約除，這就極大的簡(jiǎn)化了極限的運(yùn)算．這在后面的應(yīng)用中給以介紹 ． 定理３ 設(shè) 0?h ，函數(shù) )(xf 在 )。( 0 hxU 內(nèi)具有 2?n 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 0)( 0)2( ?? xf n ，)(xf 在 )。( 0 hxU 內(nèi)的泰勒公式 為 10,)!1( )(! )(...)()()( 10)1(0)(000 ??? ???????? ?? ?? nnnn hn hxfhn xfhxfxfhxf （ ） 則 21lim0 ??? nh ?． 證明： )(xf 在 )。( 0 hxU 內(nèi)的帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式： )()!2( )()!1( )(! )(...)()()( 220)2(10)1(0)(000 ????? ??????????? nnnnnnn hhn xfhn xfhn xfhxfxfhxf ? 將上式與 （ ）式 兩邊分別相減，可得出 )()!2( )()!1( )()( 220)2(10)1(0)1( ?????? ????? nnnnnn hhn xfhn xfhxf ?? ， 從而 220)2(0)1(0)1( )()!2( )()()()!1( ????? ??????? nnnnnhhn xfh xfhxfn ????， 令 0?h ，得 )!2( )()(l i m)!1( 1 0)2(0)2(0 ???????? nxfxfn nnh ?， 故 21lim0 ??? nh ?． 由上面的證明我們可以看得出，當(dāng) n 趨近于無窮大時(shí)，泰勒公式的近似效果越好，擬合程度也越好． 3 泰勒公式的應(yīng)用 由于泰勒公式涉及到的是某一定點(diǎn) 0x 及 0x 處函數(shù) )( 0xf 及 n 階導(dǎo)數(shù)值： )( 0xf? ，)( 0xf? ，?， )( 0)( xf n ，以及用這些值表示動(dòng)點(diǎn) x 處的函數(shù)值 )(xf ，本章研究泰勒公式的具體應(yīng)用，比如近似計(jì)算，證明中值公式，求極 限等中的應(yīng)用． 應(yīng) 用泰勒 公式證明等式 例 設(shè) )(xf 在 ? ?ba, 上三次可導(dǎo)，試證： ),( bac?? ，使得 3))((241))(2()()( abcfabbafafbf ?????????? 證明 ： (利用待定系數(shù)法 ) 設(shè) k 為使下列式子成立的實(shí)數(shù)： 0)(241))(2()()( 3 ???????? abkabbafafbf （ ） 這時(shí)，我們的問題歸為證明： ),( bac?? ， 使得： )(cfk ???? 令 3)(241))(2()()()( axkaxxafafxfxg ???????? ， 則 0)()( ?? bgag ． 根據(jù)羅爾定理， ),( ba??? ， 使得 0)( ???g ， 即： 0)(82 )()2()2()( 2 ???????????? akaafaff ????? 這是關(guān)于 k 的方程，注意到 )(?f? 在點(diǎn) 2??a 處的泰勒公式： 2))((812 )()2()2()( acfaafaff ?????????????? ????? 其中 ),( bac?? ，比較可得原命題成立． 例 設(shè) )(xf 在 ? ?ba, 上有二階導(dǎo)數(shù)，試證： ),( bac?? ，使得 3))((241)2()()( abcfbafabdxxfba ???????? ． （ ） 證明 ：記20 bax ??，則 )(xf 在 0x 處泰勒公式展開式為 ： 20210 )(2 )())(()()( xxfxxxfxfxf ???????? ? （ ） 對(duì)（ ）式兩端同時(shí)取 ? ?ba, 上的積分，注意右端第二項(xiàng)積分為 0，對(duì)于第三項(xiàng)的積分，由于導(dǎo)數(shù)有介值性，第一積分中值定理成立： ),( bac?? ，