【正文】 河南農業(yè)大學 畢業(yè)論文（設計） 題 目 泰勒公式及其應用 學 院 信息與管理科學學院 專業(yè)班級 信息與計算科學 2021級 2 班 學生姓名 張中洋（ 0910104051） 指導教師 胡麗平 撰寫日期： 二 ○ 一三 年五月 十五 日 目 錄 摘要 ????? ?????????????????????????? 1 1 引言 ?????????????????????????????? 1 2 泰勒公式 ???????????????????????? ???? 2 泰勒公式的定義 ??????????????????????? 4 泰勒公式的意義 ???????????????????????? 5 泰勒公式余項的類型??????????????????????? 5 3 泰勒公式的實際應用 ?????????????????? 7 應用泰勒 公式證明等式 ???????????????????? 7 應用泰勒公式證明不等式 ????????????????? 8 應用泰勒公式求極限 ??????????????????? 9 應用泰勒公式近似計算 ???????????????????? 7 應用泰勒公式求極值 ?????????????????????? 11 應 用泰勒公式求曲線的漸近線方程 ???????? ???????????? 13 斂散性中的應用 ??????????????????? 14 泰勒公式展開的唯一性問題? ? ????????????????? 15 結束語 ?????????????????????????????? 16 致謝 ??????????????????????????????? 17 參考文獻 ???????????????????????????? 18 泰勒公式及其應用 張中洋 信息與管 理科學學院 摘要 ： 泰勒公式是數(shù)學分析中的一部分重要內容．本文論述了泰勒公式的基本內容，并著重從 9 個方面介紹了泰勒公式在數(shù)學分析和實際生活中的一些應用：利用泰勒公式證明恒等式和不等式，求極限和中值點的極限，還有一些應用在函數(shù)方程和線形插值中；除此以外，我們還可用泰勒公式求極值，研究函數(shù)圖形的局部形態(tài)，以及在近似計算中的應用，使我們更加清楚地認識泰勒公式的重要性． 關鍵詞 ：泰勒公式 皮亞諾余項 拉格朗日余項 應用 ABSTRACT Taylor’s formula is an important knowledge in the mathematical analysis ． This paper discusses some basic contents about the Taylor’s formula ， In this paper ， we discuss its applications in the mathematical analysis and reality life from 9 facets in general： we can use the Taylor’s formula to prove the equation and inequality， solve the limit and the value limit， There are some applications in the functional equations and linear interpolation， besides we may use it to search the extreme value and study the partial shape of the function’s graph， as well as the application of approximate calculation,this can help us to know the importance of the Taylor’s formula． Keywords： Taylor39。s formula The remaining of the Piano The remaining of the Lagrangian Application 1 引言 近代微積分的蓬勃發(fā)展，促使幾乎所有的數(shù)學大師都致力于相關問題的研究，特別是泰勒，笛卡爾，費馬，巴羅，沃利斯等人作出了具有代表性的工作 .泰勒公式是18世紀早期英國牛頓學派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學家泰勒，在微積分學中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)而定義出來的 .泰勒將函數(shù)展開成級數(shù)從而得到泰勒公式，對于一般函數(shù) f ，設它在點 0x 存在直到 n 階的導數(shù) ，由這些導數(shù)構成一個 n 次多項式 ()20 0 00 0 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 ! 2 ! !n nn f x f x f xT x f x x x x x x xn? ??? ? ? ? ? ? ? ? 稱為函數(shù) f 在點 0x 處的泰勒多項式，若函數(shù) f 在點 0x 存在直至 n 階導數(shù)，則有0( ) ( ) ( ( ) ) ,nnf x T x x x?? ? ?即 ()2000 0 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) .2 ! !n nf x f xf x f x f x x x x x x x x xn ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 稱為泰勒公式 . 眾所周知，泰勒公式是數(shù)學分析中非常重要的內容，它的理論方法已經成為研究函數(shù)極限和估計誤差等方面不可或缺的數(shù)學工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，在近似計算上有著獨特的優(yōu)勢，利用它可以將非線性問題化為線性問題，并能滿足很高的精確度要求，在微積分的各個方面都有重要的應用 . 泰勒公式在分析和研究數(shù)學問題中有著重要作用 ,它可以應用于 求極限、判斷函數(shù)極值、求高階導數(shù)在某些點的數(shù)值、判斷廣義積分收斂性、近似計算、不等式證明等方面 . 關于泰勒公式的應用，已有許多專家學者對它產生了濃厚的興趣，它們對某些具體的題目作出了具體的解法，如求極限，判斷函數(shù)凹凸性和收斂性，求漸近線，界的估計和近似值的計算等等 .雖然泰勒公式應用到各個數(shù)學領域很多，但也還有很多方面學者還很少提及，因此在這泰勒公式及其應用方面我們有研究的必要，并且有很大的空間 . 泰勒公式不僅在極限和不等式證明中能解決許多問題，同時也是研究分析數(shù)學的重要工具 .其原理是很多函數(shù)都能用泰 勒公式表示，又能借助于泰勒公式來研究函數(shù)近似值式和判斷級數(shù)收斂性的問題 .因此泰勒公式在數(shù)學實際應用中是一種重要的應用工具，我們必須掌握它，用泰勒公式這一知識解決更多的數(shù)學實際問題 . 2 泰勒公式 泰勒多項式 對于一般的函數(shù) f , 設它在點 0x 存在直至 n 階的導數(shù) , 由這些導數(shù)構造一個 n 次多項式 ??xTn = ? ?0xf + ? ?!1039。 xf ? ?0xx? + ? ?!2039。39。 xf ? ?20xx? + ?? ? ?? ?! 0nxf n ? ? .0 nxx? 稱為函數(shù) f 在 0x 點處的泰勒展開式 , ??xTn 中的各項系數(shù) ? ?? ?? ?nkk xf k ,2,1! 0 ?? 稱為泰勒系數(shù) . 易知 ??xf 與其泰勒多項式 ??xTn 在點 0x 處有相同的函數(shù)值和相同的直至 n 階的導數(shù)值 .即 ? ?? ?0xf k = ? ?? ?0xTkn ， nk ,2,1,0 ?? . 泰勒公式的意義 泰勒公式的