【正文】 , 因 此 按 乘 法 原 理 , 不 同 的 三 位 數(shù) 共 有 :3 2 1 個(gè) =6 個(gè) , 它 們 是 125,152,215,251,512,521.對(duì) 于 這 類 問 題 , 給 出 以 下 定 義 .定義 ? ?? ?,., , , .( !.)nn m m nnmA m nm n A???mn 從 個(gè) 不 同 的 元 素 中 , 每 次 任 取 個(gè) 元 素 按照 一 定 的 順 序 排 成 一 列 , 叫 做 從 個(gè) 不 同 的 元 素 中 , 每 次 取 出個(gè) 元 素 的 一 個(gè) 排 列 . 所 有 不 同 排 列 的 種 數(shù) , 記 作 當(dāng) 時(shí) 叫做 選 簡 稱 當(dāng) 時(shí) 叫 做 全 排 列 記 作 : 排 列 與 順序 有 關(guān)排 列 排 列二、排列種數(shù)的計(jì)算公式 從 個(gè) 元 素 中 每 次 取 出 個(gè) 元 素 的 排 列 種 數(shù) 的 計(jì) 算 可 以 這 樣來 考 慮 : 假 定 有 排 好 順 序 的 個(gè) 空 位 置 , 從 個(gè) 不 同 的 元 素 中 , 任 意取 出 個(gè) 元 素 去 填 空 , 一 個(gè) 空 位 置 填 一 個(gè) 元 素 , 于 是 , 每 一 種 填 法就 得 到 一 個(gè) 排 列 .nmmnmnn 如 圖 123 所 示 , 先 確 定 第 1 號(hào) 位 置 上 的 元 素 , 全 部 個(gè) 元 素 中的 任 何 一 個(gè) 都 可 以 放 在 這 里 , 共 有 種 不 同 的 放 法 .n n n 再 確 定 第 2 號(hào) 位 置 上 的 元 素 , 在 第 一 號(hào) 位 置 上 的 元 素 已 經(jīng) 確定 的 條 件 下 , 可 供 挑 選 的 只 有 1 個(gè) 元 素 , 所 以 共 有 1 = 2 +1 咱不 同 的 放 法 .再 確 定 第 3 號(hào) 位 置 上 的 元 素 , 在 1 號(hào) ,2 號(hào) 位 置 上 的 元 素 已 確定 的 條 件 下 , 第 3 號(hào) 位 置 上 的 元 素 共 有 2 = 3 + 1 種 不 同 的 放 法 .nn 依 此 類 推 可 知 , 第 號(hào) 位 置 上 的 元 素 應(yīng) 有 + 1 種 不 同 的放 法 . m n m? ? ? ? ? ?1 2 1A n n n n m? ? ? ? ?mn圖 123 示 意位 置填 法31 2n 1n? 2n?m1nm??? ? ,其 中 , 每 一 種 放 法 放 滿 個(gè) 空 位 置 就 得 到 一 個(gè) 排 列 于 是 根據(jù) 乘 法 原 理 從 個(gè) 不 同 的 元 素 中 , 每 次 取 出 個(gè) 不 同 元 素 的 排 列種 數(shù) 為mnm? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1mnmA n n n n m? ? ? ? ?個(gè) 因 式 1 2 3,這 就 是 說 從 個(gè) 不 同 的 元 素 中 , 每 次 取 出 個(gè) 元 素 的 排 列 種數(shù) 等 于 個(gè) 連 續(xù) 正 整 數(shù) 的 乘 積 , 其 中 最 大 的 正 整 數(shù) 是 .nmmn4377。 ( 2 ) 2 .36 計(jì) 算 (1) A A A?例 36 5 4 1 2 0 。A ? ? ? ?36(1)4377 2 7 6 5 4 2 7 6 5 4 2 0 .(2) AA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?:全 排 列 的 計(jì) 算 公 式 是mn?? ? ? ?1 2 3 2 1nnnA A n n n? ? ? ? ? ?從 正 整 數(shù) 開 始 到 1, 連 續(xù) 個(gè) 正 整 數(shù) 的 連 續(xù) 乘 積 叫 做 的 階乘 , 記 作 ! 于 是 , 個(gè) 不 同 元 素 的 全 排 列 的 種 數(shù) 等 于 的 階 乘 , 即 :n n nn n n? ?! 1 2 4n An ??? ?!!全 排 列 可 寫 成 或 .nnnA n A解? ?+1 求 證 nA n A??例 4證明 ? ?1 2 4 :由 公 式 可 得?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 ! 1 1 3 2 1 1 ! 1nnA n n n n n n n A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1* 。 .8n+15 計(jì) 算 ( 1 ) ( 2 ) nA A n AA ??例 5( 1 ) 由 例 4得 : 7 6 55 5 58 8 7 8 7 6 3 3 6 。85A A AAA A A A? ? ?? ? ? ?? ?1( 2 ) 1 .n+1 n n n nA n A n A A n A?? ? ? ? ?解此 外 , 由 排 列 種 數(shù) 的 計(jì) 算 公 式 還 可 以 得 出 以 下 關(guān) 系 式 :? ? ? ?!! 125mnnAnm? ?:證 明 如 下? ? ? ?11mnA n n n m? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 3 2 111 1 3 2 1n m n mn n n m n m n m? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?!!nnm? ?? ?1 2 5 , : 0 ! 1 .為 了 使 公 式 在 時(shí) 也 成 立 我 們 規(guī) 定nm? ? ? 例 6 有 5面不同顏色的旗，每次可取 1面、 2面或 3面按不同順序掛在桿上就表示信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？ 25, 2 , , :AAA1535 用 一 面 旗 作 信 號(hào) 有 種 用 面 旗 作 信 號(hào) 有 種 用 3 面 旗作 信 號(hào) 有 種 根 據(jù) 加 法 原 理 所 求 的 信 號(hào) 的 種 數(shù) 是? ?1 2 35 5 5 .5+20+60 種 85 種A A A? ? ? ?:.答 一 共 可 以 得 到 85 種 不 同 的 信 號(hào)解三、重復(fù)排列 前 面 我 們 討 論 了 從 n 個(gè) 不 同 的 元 素 中 取 出 m 個(gè) 不 同 元 素 的 排列 問 題 , 它 們 有 一 個(gè) 共 同 的 特 點(diǎn) , 就 是 所 取 的 元 素 一 旦 取 過 便 不能 再 重 復(fù) 取 出 . 但事實(shí)上，有此問題中元素是允許重復(fù)選用的，例如編電話號(hào)碼，選取的數(shù)字就可以重復(fù)，允許元素重復(fù)用的排列問題叫做 重復(fù)排列 . 在 重 復(fù) 排 列 中 , 位 置 共 有 個(gè) , 每 個(gè) 位 置 上 可 供 選 擇 的 元 素都 是 個(gè) , 因 此 , 利 用 乘 法 原 理 不 難 得 出 , 把 個(gè) 不 同 的 元 素 排 在個(gè) 位 置 上 的 重 復(fù) 排 列 種 數(shù) 為 :mnnmmmnn n n?個(gè)? ?,位 置 數(shù)其 中 為 可 以 重 復(fù) 的 元 素 的 個(gè) 數(shù) 為 每 一 個(gè) 元 素 最 多 可 以 重 復(fù)的 次 數(shù) , 即 位 置 個(gè) 數(shù) .[! 重 復(fù) 排 列 公 式 = 元 素 個(gè) 數(shù) .]nm 某 城 市 電 話 號(hào) 碼 用 7 位 數(shù) 字 組 成 , 問 該 市 最 多 可 以 安 裝多 少 臺(tái) 不 同 號(hào) 碼 的 電 話 ?例 7.N 7 電 話 號(hào) 碼 是 7 位 數(shù) , 相 當(dāng) 于 7 個(gè) 位 置 , 每 個(gè) 位 置 都 有 0,1,2 ,9 這 十 個(gè) 數(shù) 字 可 供 選 取 , 是 7 個(gè) 位 置 10 個(gè) 元 素 的 重 復(fù) 排 列 , 所 以 , 不同 號(hào) 碼 的 電 話 共 有 : = 10 臺(tái) 解 有 10 個(gè) 人 去 圖 書 館 借 閱 7 種 參 考 書 中 的 任 意 一 種 , 每 種書 都 有 10 本 , 共 可 有 多 少 種 不 同 的 借 閱 法 ?例 8.N 10 1 0 個(gè) 人 相 當(dāng) 于 10 個(gè) 位 置 , 每 個(gè) 位 置 有 7 種 書 可 供 選 擇 , 是10 個(gè) 位 置 7 個(gè) 元 素 的 重 復(fù) 排 列 , 所 以 , 不 同 的 借 閱 法 共 有 : = 7 種,7 10 上 面 兩 個(gè) 例 子 雖 然 都 有 數(shù) 字 10 和 7, 但 例 7 中 是 7 個(gè) 位 置 10 個(gè)元 素 , 所 以 有 10 臺(tái) 而 在 例 8 中 是 10 個(gè) 位 置 7 個(gè) 元 素 , 所 以 有 7 種 ,在 處 理 重 復(fù) 排 列 的 實(shí) 際 問 題 時(shí) , 要 注 意 元 素 和 位 置 的 區(qū) 別 元 素可 以 挑 剔 , 位 置 不 能 空 缺 .解習(xí) 題 思考題： 課堂練習(xí)題： 什么叫排列？什么叫排列數(shù)？什么叫選