數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例_本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))-文庫(kù)吧
2025-07-24 12:02 本頁面
【正文】 ]()()()([ 2. 所以 )(u? 在 ],[ ba 上單調(diào)減少，則 0)()( ?? ab ?? ，即 0)()(])()([)( 222 ??? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxfb?. 得到 ? ? ??ba ba ba dxxgdxxfdxxgxf )()(])()([ 222. 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 3 例 2. 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明 ?? ?? baba xfbadxxxf )(2)( . 證明：構(gòu)造變上限輔助函數(shù)： dxxftadxxxftF tata ?? ??? )(2)()( . 顯然 0)( ?aF ，對(duì) ],[ bat?? ， )(2)(21)()( tftadxxfttftF ta ????? ? dxxftfat ta???? )(21)(2 ? ?dxxftfta? ?? )()(21, ),( tax? . 因?yàn)?)(xf 單調(diào)遞增，則 0)( ??tF ，則 )(tF 單調(diào)遞增，所以 0)()( ?? aFbF , )( ab? . 因此 ?? ?? baba xfbadxxxf )(2)(. 2 利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式 定理 :設(shè)函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù) ,在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo) ,則有 (1) 如果在 ),( ba 內(nèi) 0)( ?? xf ,那么 ,函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上單調(diào)增加 . (2) 如果在 ),( ba 內(nèi) 0)( ?? xf ,那么 ,函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上單調(diào)減少 . 例 1. 證明不等式： xex ??1 ， 0?x . 證明： 設(shè) ,1)( xexf x ??? 則 1)( ??? xexf ，故當(dāng) 0?x 時(shí)， 0)( ?? xf ， )(xf嚴(yán)格遞增；當(dāng) 0?x ， 0)( ?? xf ， )(xf 嚴(yán)格遞減 .又因?yàn)?)(xf 在 0?x 處連續(xù)，則當(dāng) 0?x 時(shí)， 0)0()( ?? fxf . 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 4 即 01 ??? xex . 故得證 0,1 ??? xxex . 例 2. 證明b1 ba1 aba1 ba ?????? ?. 證明：記 ? ? xxxf ??1 ，則 ? ? ? ? 01 139。 2 ??? xxf，所以 ? ? xxxf ??1 單調(diào)遞增，于是由 baba ??? 知 )()( bafbaf ??? . 即 b1 ba1 aba1 bba1 aba1 baba1 ba ???????????? ???? ?. 3 利用微分中值定理證明不等式 拉格朗日中值定理 : 設(shè)函數(shù) f 滿足如下條件 : (1)f 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)； (2)f 在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)， 則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ，使得 ab afbff ??? )()()(39。 ? . 柯西中值定理 : 設(shè)函數(shù) f 和 g 滿足： (1) 在 [, ]ab 上都連續(xù)； (2) 在 (, )ab 內(nèi)都可導(dǎo)； (3) )(xf? 和 )(xg? 不同時(shí)為零； 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 5 (4) ? ? ? ?bgag ? ， 則存在 ? ?ba,?? , 使得 )()( )()()( )(39。39。agbg afbfgf ?????. 例 1．設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 0)( ?af ，證明 |)(|m ax2 )(|)(| ],[2 xfabdxxf baxba ??? ?? . 證明：令 |)(|m ax],[ xfM bax ?? ?，由拉格朗日中值定理知 ))(()()()( axfafxfxf ????? ?. 從而 ],[),(|))((||)(| baxaxMaxfxf ?????? ? . 所以 MabdxaxMdxxfdxxf bababa 2 )()(|)(||)(|2????? ? ?? . 例 2. 當(dāng) 0?x 時(shí) ,試證不等式 xxxx ???? )1ln (1 . 證明 :構(gòu)造函數(shù) )1ln()( xxf ?? . 則在區(qū)間 ],0[ x 上滿足拉格朗中值定理 ,且 xxf ??? 1 1)( . 故有 )0)((1ln)1ln( ????? xfx ?, ),0( x?? . 即 ???? 1)1ln( xx. 又 ),0( x?? , 則 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 6 xxxxx ?????? ?1 1)1ln (1 1 . 即 xxxx ???? )1ln (1 . 例 3. 設(shè) ea? ， 20 ???? yx ，求證 aayxaa xxy ln)c o s( c o s ??? . 證明： 令 tatf ?)( ， ttg cos)( ? , 由題設(shè)條件可知， )(),( tgtf 在 ],[ yx )0( yx?? 上滿足柯西中值定理 )( )()()( )()( 39。39。??gfygxg yfxf ???. 則 )s in(lnc osc os ?????? aayx aa yx, 20 ?? ???? yx . 故 ?? s in1ln)co s( co s aayxaa xy ???. 由于 20 ???? ， 1sin0 ?? ? , 則 1sin1 ??, 故 xy aa ? aayx ln)c o s(c o s ??? aayx x ln)c o s( c o s ?? . 由此得證 aayxaa xxy ln)c o s( c o s ??? . 4 利用積分中值定理證明不等式
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