【正文】 +21n)+++2n11+)(1++++n)=n+1+n+2++21n+3+4+n換句話說(shuō)證明11等價(jià)于22證明n+1+n+2++21n+n+2+既然如此我們就從這兩個(gè)方面著手來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。方法1：我們看到n+1+21n可以想到常用的一個(gè)關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的不等式我們ln（1+)想給出這個(gè)不等式++既然我們要證明+21n我們可以用這個(gè)不等式的前半段n+1ln(1+n)來(lái)解決問(wèn)題。ln(1+)ln(1+2n1)+n+2+2n我們將這n個(gè)不等式疊加起來(lái)可以不難得到，n+1+21nln(1+1n)++ln(1+2n)=ln(1n)=ln2，因此不等式得證。ln2187。187。這個(gè)證明方法就是記得要我們記得常見的不等式n+1ln(1+)nn及其相關(guān)應(yīng)用。方法2（裂項(xiàng)法）：裂項(xiàng)法是證明不等式的非常有效的方法，下面我們就用這個(gè)方法。1++4+n211=21180。2+180。34++n(2180。n1，下面我)2們來(lái)研究一下該如何裂項(xiàng)。我們考慮通項(xiàng)(2n1)180。2n，易知(2n1)180。2n(2n)180。，這樣的話我們可以對(duì)(2n+)(2n)180。(2n+)進(jìn)行裂項(xiàng)(2n)180。(2n+)從第二=()，這樣就可以前后相消了，下面我們22n2n+項(xiàng)開始放3縮可得：而2+++(2n1+()+2425，1)180。2n+故不等式得證。+5=注：處理+++(2n11)180。這個(gè)式子還有其他的方法。我現(xiàn)在簡(jiǎn)單的，所以我們很容易可以得到以下結(jié)果+(2n2)1+180。(2n1)(2n1)180。)41，4n4闡述一下，因?yàn)?+1111+(2n1+(+22180。31180。23180。4+1)180。2n+(+180。3224++(2n2180。+1)=+21)2我們就將這個(gè)和處理到位了，如果要得到題目中的不等式的結(jié)果，那么就不能只保留第一項(xiàng)，從第二項(xiàng)開始放縮。那么就應(yīng)該多保留幾項(xiàng)然后從后面開始放縮，這樣就可以得到想要的結(jié)果。方法3（柯西不等式）：利用柯西不等式可以得到以下結(jié)果(+++2n)(n+12+)n+（2+2)+1)+(n(2)1++1則)((n++2+1)(n+2)2+(21)(1+1+n)2+(21)n)2+1)=n((n++2+1)(n+2)2n(n180。(+n+1)(n+1)180。(n+2)+1+(2n1)(2n))=(+故++21n)，故不等式得證。這個(gè)方法看似巧妙但是這是建立在對(duì)柯西不等式有一定了解的基礎(chǔ)上的，但是對(duì)與于高考?jí)狠S題，柯西不等式確實(shí)是解決不等式的重要手段。希望廣大的考生好好培養(yǎng)對(duì)于柯 西不等式的認(rèn)識(shí)。希望文章對(duì)大家有幫助！署名：陳強(qiáng)湖北大學(xué)學(xué)生 電話：***第三篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯(cuò)法多種多樣，本節(jié)通這一些實(shí)例，歸納整理證明不等式時(shí)常用的方法和技巧。1比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種?；舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來(lái)說(shuō)明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。∵（a3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對(duì)稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對(duì)稱性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）（3）若a、b同號(hào)，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過(guò)觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時(shí)，等號(hào)成立練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過(guò)的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252證明：∵ a0，b0，a+b=1∴ab≤14或1ab≥4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)22ab］+(a+b)22aba2b2=4+(12ab)+12aba2b2≥4+(112)+8=252練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+3求證：2f（n）≤f（2n）4分析法從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個(gè)條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時(shí)，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：cc2ab＜a＜c+c2ab分析：觀察求證式為一個(gè)連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價(jià)于 ｜ac｜＜c2ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab∵a＞0，∴即要證 a2c＜b 即需證2+b＜2c，即為已知∴ 不等式成立練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放縮法放縮法是在證明不等式時(shí)，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來(lái)證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉?xiàng)，（3）擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?。例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：觀察式子特點(diǎn)，若將4個(gè)分式商為同分母，問(wèn)題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca