【正文】 0)]()()()([ 2. 所以 )(u? 在 ],[ ba 上單調(diào)減少，則 0)()( ?? ab ?? ，即 0)()(])()([)( 222 ??? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxfb?. 得到 ? ? ??ba ba ba dxxgdxxfdxxgxf )()(])()([ 222. 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 3 例 2. 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明 ?? ?? baba xfbadxxxf )(2)( . 證明：構(gòu)造變上限輔助函數(shù)： dxxftadxxxftF tata ?? ??? )(2)()( . 顯然 0)( ?aF ，對(duì) ],[ bat?? ， )(2)(21)()( tftadxxfttftF ta ????? ? dxxftfat ta???? )(21)(2 ? ?dxxftfta? ?? )()(21, ),( tax? . 因?yàn)?)(xf 單調(diào)遞增，則 0)( ??tF ，則 )(tF 單調(diào)遞增，所以 0)()( ?? aFbF , )( ab? . 因此 ?? ?? baba xfbadxxxf )(2)(. 2 利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式 定理 :設(shè)函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù) ,在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo) ,則有 (1) 如果在 ),( ba 內(nèi) 0)( ?? xf ,那么 ,函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上單調(diào)增加 . (2) 如果在 ),( ba 內(nèi) 0)( ?? xf ,那么 ,函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上單調(diào)減少 . 例 1. 證明不等式： xex ??1 ， 0?x . 證明： 設(shè) ,1)( xexf x ??? 則 1)( ??? xexf ，故當(dāng) 0?x 時(shí)， 0)( ?? xf ， )(xf嚴(yán)格遞增；當(dāng) 0?x ， 0)( ?? xf ， )(xf 嚴(yán)格遞減 .又因?yàn)?)(xf 在 0?x 處連續(xù)，則當(dāng) 0?x 時(shí)， 0)0()( ?? fxf . 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 4 即 01 ??? xex . 故得證 0,1 ??? xxex . 例 2. 證明b1 ba1 aba1 ba ?????? ?. 證明：記 ? ? xxxf ??1 ，則 ? ? ? ? 01 139。)(39。!2 )(39。 2 ??? xxf，所以 ? ? xxxf ??1 單調(diào)遞增，于是由 baba ??? 知 )()( bafbaf ??? . 即 b1 ba1 aba1 bba1 aba1 baba1 ba ???????????? ???? ?. 3 利用微分中值定理證明不等式 拉格朗日中值定理 : 設(shè)函數(shù) f 滿足如下條件 : (1)f 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)； (2)f 在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)， 則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ，使得 ab afbff ??? )()()(39。 xfxfxf ??? ?? . 又 Axf ??? )( ,所以 20200 )1(2)(39。39。 ? . 柯西中值定理 : 設(shè)函數(shù) f 和 g 滿足： (1) 在 [, ]ab 上都連續(xù)； (2) 在 (, )ab 內(nèi)都可導(dǎo)； (3) )(xf? 和 )(xg? 不同時(shí)為零； 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 5 (4) ? ? ? ?bgag ? ， 則存在 ? ?ba,?? , 使得 )()( )()()( )(39。 xxAxf ???. 而 )1,0(0?x 時(shí) , 1)1( 2020 ??? xx ， 故 2)(0 Axf ??. 又由 0x 的任意性知 )1,0(2)( ??? xAxf ， 例 2．設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， |)(|m ax],[ xfM bax ??? ?，證明 3)(24|)2()()(| abMbafabdxxfba ??????. 證明：將 )(xf 在 20 bax ??處泰勒展開 2)2)((21)2)(2()2()( baxfbaxbafbafxf ???????????? ?， ],[ ba?? . 兩邊在 ],[ba 上積分并注意到 ? ???ba dxbax 0)2(，得 ?? ???????? baba dxbaxfbafabdxxf 2)2)((21)2()()( ?. 從而得 ?? ?????? baba dxbaxfbafdxxf 2)2)((21)2(a)(b)( ? dxbaxM ba2)2(2 ? ??? 24 )( 3abM ?? . 6 利用函數(shù)極值證明不等式 極值的第一充分條件：設(shè) f 在點(diǎn) 0x 連續(xù)，在某鄰域 ? ??。)()0( 202020 xfxxfxff ????? ),0( 02 x?? . 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 9 由 (1) (0)ff? 可得 2020020 )1(!2 )(39。39。00 xU 內(nèi)可導(dǎo) . 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 10 (1)若當(dāng) ),( 00 xxx ??? 時(shí) 0)( ?? xf ,當(dāng) ),( 00 ??? xxx 時(shí) 0)( ?? xf ,則 f 在點(diǎn) 0x取得極小值 . (2)若當(dāng) ),( 00 xxx ??? 時(shí) 0)( ?? xf ,當(dāng) ),( 00 ??? xxx 時(shí) 0)( ?? xf ，則 f 在點(diǎn) 0x取得極大值 . 極值的第二充分條件 ：設(shè) f 在 0x 的某鄰域 )。))((39。agbg afbfgf ?????.