【正文】 0)]()()()([ 2. 所以 )(u? 在 ],[ ba 上單調減少，則 0)()( ?? ab ?? ，即 0)()(])()([)( 222 ??? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxfb?. 得到 ? ? ??ba ba ba dxxgdxxfdxxgxf )()(])()([ 222. 長春師范大學本科畢業(yè)論文（設計） 3 例 2. 設 )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，且單調遞增，試證明 ?? ?? baba xfbadxxxf )(2)( . 證明：構造變上限輔助函數： dxxftadxxxftF tata ?? ??? )(2)()( . 顯然 0)( ?aF ，對 ],[ bat?? ， )(2)(21)()( tftadxxfttftF ta ????? ? dxxftfat ta???? )(21)(2 ? ?dxxftfta? ?? )()(21, ),( tax? . 因為 )(xf 單調遞增，則 0)( ??tF ，則 )(tF 單調遞增，所以 0)()( ?? aFbF , )( ab? . 因此 ?? ?? baba xfbadxxxf )(2)(. 2 利用函數單調性證明不等式 定理 :設函數 )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù) ,在 ),( ba 內可導 ,則有 (1) 如果在 ),( ba 內 0)( ?? xf ,那么 ,函數 )(xf 在 ],[ ba 上單調增加 . (2) 如果在 ),( ba 內 0)( ?? xf ,那么 ,函數 )(xf 在 ],[ ba 上單調減少 . 例 1. 證明不等式： xex ??1 ， 0?x . 證明： 設 ,1)( xexf x ??? 則 1)( ??? xexf ，故當 0?x 時， 0)( ?? xf ， )(xf嚴格遞增；當 0?x ， 0)( ?? xf ， )(xf 嚴格遞減 .又因為 )(xf 在 0?x 處連續(xù)，則當 0?x 時， 0)0()( ?? fxf . 長春師范大學本科畢業(yè)論文（設計） 4 即 01 ??? xex . 故得證 0,1 ??? xxex . 例 2. 證明b1 ba1 aba1 ba ?????? ?. 證明：記 ? ? xxxf ??1 ，則 ? ? ? ? 01 139。)(39。!2 )(39。 2 ??? xxf，所以 ? ? xxxf ??1 單調遞增，于是由 baba ??? 知 )()( bafbaf ??? . 即 b1 ba1 aba1 bba1 aba1 baba1 ba ???????????? ???? ?. 3 利用微分中值定理證明不等式 拉格朗日中值定理 : 設函數 f 滿足如下條件 : (1)f 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)； (2)f 在開區(qū)間 ),( ba 內可導， 則在 ),( ba 內至少存在一點 ? ，使得 ab afbff ??? )()()(39。 xfxfxf ??? ?? . 又 Axf ??? )( ,所以 20200 )1(2)(39。39。 ? . 柯西中值定理 : 設函數 f 和 g 滿足： (1) 在 [, ]ab 上都連續(xù)； (2) 在 (, )ab 內都可導； (3) )(xf? 和 )(xg? 不同時為零； 長春師范大學本科畢業(yè)論文（設計） 5 (4) ? ? ? ?bgag ? ， 則存在 ? ?ba,?? , 使得 )()( )()()( )(39。 xxAxf ???. 而 )1,0(0?x 時 , 1)1( 2020 ??? xx ， 故 2)(0 Axf ??. 又由 0x 的任意性知 )1,0(2)( ??? xAxf ， 例 2．設 )(xf 在 ],[ ba 上有二階連續(xù)導數， |)(|m ax],[ xfM bax ??? ?，證明 3)(24|)2()()(| abMbafabdxxfba ??????. 證明：將 )(xf 在 20 bax ??處泰勒展開 2)2)((21)2)(2()2()( baxfbaxbafbafxf ???????????? ?， ],[ ba?? . 兩邊在 ],[ba 上積分并注意到 ? ???ba dxbax 0)2(，得 ?? ???????? baba dxbaxfbafabdxxf 2)2)((21)2()()( ?. 從而得 ?? ?????? baba dxbaxfbafdxxf 2)2)((21)2(a)(b)( ? dxbaxM ba2)2(2 ? ??? 24 )( 3abM ?? . 6 利用函數極值證明不等式 極值的第一充分條件：設 f 在點 0x 連續(xù)，在某鄰域 ? ??。)()0( 202020 xfxxfxff ????? ),0( 02 x?? . 長春師范大學本科畢業(yè)論文（設計） 9 由 (1) (0)ff? 可得 2020020 )1(!2 )(39。39。00 xU 內可導 . 長春師范大學本科畢業(yè)論文（設計） 10 (1)若當 ),( 00 xxx ??? 時 0)( ?? xf ,當 ),( 00 ??? xxx 時 0)( ?? xf ,則 f 在點 0x取得極小值 . (2)若當 ),( 00 xxx ??? 時 0)( ?? xf ,當 ),( 00 ??? xxx 時 0)( ?? xf ，則 f 在點 0x取得極大值 . 極值的第二充分條件 ：設 f 在 0x 的某鄰域 )。))((39。agbg afbfgf ?????.