【正文】 導(dǎo)數(shù)，且 0)( ?af ，證明 |)(|m ax2 )(|)(| ],[2 xfabdxxf baxba ??? ?? . 證明：令 |)(|m ax],[ xfM bax ?? ?，由拉格朗日中值定理知 ))(()()()( axfafxfxf ????? ?. 從而 ],[),(|))((||)(| baxaxMaxfxf ?????? ? . 所以 MabdxaxMdxxfdxxf bababa 2 )()(|)(||)(|2????? ? ?? . 例 2. 當(dāng) 0?x 時 ,試證不等式 xxxx ???? )1ln (1 . 證明 :構(gòu)造函數(shù) )1ln()( xxf ?? . 則在區(qū)間 ],0[ x 上滿足拉格朗中值定理 ,且 xxf ??? 1 1)( . 故有 )0)((1ln)1ln( ????? xfx ?, ),0( x?? . 即 ???? 1)1ln( xx. 又 ),0( x?? , 則 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 6 xxxxx ?????? ?1 1)1ln (1 1 . 即 xxxx ???? )1ln (1 . 例 3. 設(shè) ea? ， 20 ???? yx ，求證 aayxaa xxy ln)c o s( c o s ??? . 證明： 令 tatf ?)( ， ttg cos)( ? , 由題設(shè)條件可知， )(),( tgtf 在 ],[ yx )0( yx?? 上滿足柯西中值定理 )( )()()( )()( 39。 ? . 柯西中值定理 : 設(shè)函數(shù) f 和 g 滿足： (1) 在 [, ]ab 上都連續(xù)； (2) 在 (, )ab 內(nèi)都可導(dǎo)； (3) )(xf? 和 )(xg? 不同時為零； 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 5 (4) ? ? ? ?bgag ? ， 則存在 ? ?ba,?? , 使得 )()( )()()( )(39。 分院名稱 ： 數(shù)學(xué)學(xué)院 學(xué) 生學(xué)號 ： 0907140132 長春師范大學(xué) 本科畢業(yè) 論文 （設(shè)計） （理工類） 題 目： 數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 作 者 姓 名： 指導(dǎo)教師姓名： 指導(dǎo)教師職稱： 2020 年 5 月 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） I 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計）作者承諾保證書 本人鄭重承諾：本篇畢業(yè)論文（設(shè)計）的內(nèi)容真實、可靠 .如果存在弄虛作假、抄襲的情況，本人愿承擔(dān)全部責(zé)任 . 論文作者簽名： 日期： 年 月 日 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計）指導(dǎo)教師承諾保證書 本人鄭重承諾：我已按有關(guān)規(guī)定對本篇畢業(yè)論文（設(shè)計）的 選題與內(nèi)容進(jìn)行指導(dǎo)和審核，堅持一人一題制，確認(rèn)由作者獨立完成 .如果存在學(xué)風(fēng)問題，本人愿意承擔(dān)指導(dǎo)教師的相關(guān)責(zé)任 . 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 年 月 日 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） II 目 錄 承諾保證書………………………………………………………………… I 前言 ………………………………………………………………………… 1 1 構(gòu)造變限積分證明不等式……………………………………………… 1 2 利用函數(shù)單調(diào)性證 明不等式 …………………………………………… 2 3 利用微分中值定理 證明不等式 ………………………………………… 4 4 利用積分中值定理證明不等式 ………………… … …………………… 6 5 利用泰勒公式證明不等式 ……………………………………………… 8 6 利用函數(shù)極值證明不等式 ……………………………………………… 9 7 利用函數(shù)凹凸性證明不等式 …………………………………………… 11 8 利用冪級數(shù)展開式證明不等式 ………………………………………… 12 9 利用著名不等式證明不等式 …………………………………………… 13 參考文獻(xiàn)…………………………………………………………………… 16 致 謝 …………………………………………………………………… 17 英文摘要…………………………………………………………………… 18 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 1 數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例 摘要 ： 不等式不僅是數(shù)學(xué)分析中非常重要的工具，同時也是數(shù)學(xué)分析研究的主要問題之一，然而不等式的證明方法卻是復(fù)雜多變的，因此，對于不等式的證明方法進(jìn)行系統(tǒng)的分類與總結(jié)仍具有很大的現(xiàn)實意義 . 本文首先簡單介紹了不等式的研究背景，然后主要討論了數(shù)學(xué)分析中證明不等式的若干方法，并對不等式的證明方法進(jìn)行歸類 .同時，通過精選典型例題的證明 ，滲透了解不等式問題的多種解題技巧，深化了對不等式證明方法的認(rèn)識，最終達(dá)到靈活應(yīng)用的目的，以便于可以站在更高的角度來研究不等式 . 關(guān)鍵字 ： 數(shù)學(xué)分析 不等式 證明方法 . 前言 不等式在數(shù)學(xué)的整個學(xué)習(xí)、研究過程中都是一個非常重要的內(nèi)容，它涉及了初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的許多方面，在數(shù)學(xué)中有著不可替代的作用 . 在數(shù)量關(guān)系上，雖然不等關(guān)系要比相等關(guān)系更加廣泛的存在于現(xiàn)實的世界里，但是人們對于不等式的認(rèn)識要比方程遲的多 .直到 1934年 , 數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究才正式粉墨登場 , 成為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科 , 從 此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合 , 它已發(fā)展成為一套系統(tǒng)的科學(xué)理論，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個重要組成部分 . 20世紀(jì) 80年代以來在中國大地上出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮 .目前我國關(guān)于數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究也取得了較豐富的成果 .由于這些結(jié)果在理論和實際運用方面都有重要意義