【正文】 020120201 ????????? yyxyyx?，8820 01 ??? y yy． )88,8 )8(2( 20 02020?????? ? y yyyOP， 2 2 20 0 02 2 20 0 04 ( 8 ) 8 4 3 2 48 8 8y y yO M O P y y y??? ? ? ? ? ? ?? ? ?（定值） ． （ 3 ）設存在 )0,(mQ 滿 足 條 件 ， 則 DPMQ? ． ),2( 0ymMQ ???? ，)88,84( 2002020????? y yy yDP， 則由 0?? ?? DPMQ 得 088)2(84 20202020 ?????? y ymy y，從而得 0?m ． ?存在 )0,0(Q 滿足條件 ． 必殺技： 遵循“一選、二求、三定點”的原則 一般地，解決動曲線（包括動直線）過定點的問題，其解題步驟可歸納為：一選、二求、三定點．具體操作程序為： “一選”：選擇參變量．需要證明過定點的動曲線往往隨某一個量的變化而變化，可選擇這個量為參變量（當動直線涉及的量較多時，也可選取多個 參變量）． “二求”：求出動曲線的方程．求出只含上述參變量的動曲線方程，并由其它輔助條件 9 減少參變量的個數(shù)，最終使動曲線方程的系數(shù)中只含有一個參變量． “三定點”：求出定點的坐標．不妨設動曲線方程中所含的參變量為 ? ，把曲線方程寫成形如 ( ) ( ) 0f x y g x y???， ，的形式，然后解關于 x ， y 的方程組 ( ) 0( ) 0f x yg x y ??? ?? ，得到定點的坐標． 實戰(zhàn)演練 1． 已知 橢圓 C 經(jīng)過點 3(1 )2A ， ，兩個焦點為 ( 10)?， ， (10)， ． (1)求橢圓 C 的方程； (2)E， F 是橢圓 C 上的兩個動點，如果直線 AE 的斜率與 AF 的斜率互為相反數(shù)，證明直線 EF 的斜率為定值，并求出這個定值 ． 2． 設橢圓 C ： 221xyab??（ 0ab?? ） 過點 ( 2 1)M ， ，且左焦點為 1( 2 0)F ? ， (1)求橢圓 C 的方程； (2)當過點 (41)P ， 的動直線 l 與橢圓 C 相交于 兩不同點 A ， B 時，在線段 AB 上取點Q ，滿足 A P Q B A Q P B? ? ?，證明：點 Q 總在某定直線上． 3． 若 橢圓 C 的中心在坐標原點，焦點在 x 軸上，橢圓 C 上的點 （ 2， 0） 到 左 焦點距離為 3 ． (1)求橢圓 C 的標準方程 ． (2)若直線 l ： y kx m??與橢圓 C 相交于 A ， B 兩點（ AB， 不是左、右頂點），且以 AB 為直徑的圓過橢圓 C 的右頂點，求證：直線 l 過定點，并求出該定點的坐標 ． (3)將 (2)推廣到一般情形，使得 (2)為其特例，并給出解答過程． 參考答案： 1． (1) 22143xy??. 10 (2) 設 直線 AE ： 3( 1)2y k x? ? ?，代入 22143xy??得2 2 23( 3 4 ) 4 ( 3 2 ) 4 ( ) 1 2 02k x k k x k? ? ? ? ? ? ?， 設 ()EEE x y， ， ()FFF x y， ， 易得12FEEFFEyyk xx???? (定值 )． 注： 本題可推廣為（證明略）： 2． (1) 22142xy??. (2)提示：利用線段的定比分點，關注 ? ． 注：（一）本題的證明還有其它方法，這里從略． （二） 對于本題，我們還可 將第 (2)題的結(jié)論推廣到一般橢圓 ，具體為 ： 11 命題一 ：設橢圓 22 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?：，過橢圓外一點 ()Pm n， 的動直線 l 與橢圓C 相交于兩不同點 ,AB，在線段 AB 上取點 Q ，滿足 A P Q B A Q P B? ，則點 Q 在定直線 2 2 2 2 0m b x n a y a b? ? ?上． 我們可將命題一 推廣到其它的圓錐曲線 ，具體為： 命題 二 ：設圓 2 2 2 ( 0)C x y r r? ? ?： ，過圓外一點 ()Pm n， 的動直線 l 與圓 C 相交于兩不同點 ,AB，在線段 AB 上取點 Q ，滿足 A P Q B A Q P B? ，則點 Q 在定直線2 0mx ny r? ? ? 上． 命題 三 ：設雙曲線 22: 1 ( 0 0 )xyC a bab? ? ? ?，過雙曲線外一點 ()Pm n， 的動直線 l 與雙曲線 C 相交于兩不同點 ,AB，在線段 AB 上取點 Q ，滿 足 A P Q B A Q P B? ，則點 Q 在定直線 2 2 2 2 0m b x n a y a b? ? ?上． 命題 四 ：設拋物線 2: 2 ( 0)C y px p??，過拋物線外一點 ()Pm n， 的動直線 l 與拋物線 C 相交于兩不同點 ,AB，在線段 AB 上取點 Q ，滿足 A P Q B A Q P B? ，則點 Q 在定直線 0px ny pm? ? ?上． 以上命題的證明從略． 3． （ 1） 22143xy??.（ 2）直線 l 過定點，定點坐標為 207??????，. （ 3） （ 2） 的推廣（一）： 過橢圓 221xyab??( 0)ab?? 上的右頂點 ( 0)Ma， 作兩直線 AM 與 BM 交橢圓于A 、 B 兩點，當 AM BM? 時，直線 AB 恒過定點 2222( 0)abaab? ?? ，． 12 提示 ：可設直線 AB ： x ty p??且 11()Ax y， 、 22()B x y， ，由 22221x ty pxyab????? ????得2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0a b t y pta y b p a? ? ? ? ?，則212 2 2 22 2 212 2 2 22()p tbyya b tb p ayya b t? ? ? ??? ?? ?? ??? ??， 由已知得0AM BM??，即 1 2 1 2( ) ( ) 0x a x a y y? ? ? ? ? 221 2 1 2( 1 ) ( ) ( ) ( ) 0t y y t p a y y p a? ? ? ? ? ? ? ? 2222abpaab???? ? 直線 AB ：2222abx ty aab?? ? ??恒過定點 2222( 0)abaab? ?? ，． （ 2） 的推廣（二）： 過橢圓 221xyab??( 0)ab?? 上的任意定點 00()M x y， 作兩直線 AM 與 BM 交橢圓于 A 、 B 兩點，當 AM BM? 時，直線 AB 恒過定點 2 2 2 2002 2 2 2()a b a bxya b a b?????，． 典型考法 3 橢圓與直線 典型例題 已知橢圓 E 經(jīng)過點 ? ?23A ， ，對稱軸為坐標軸，焦點 1F ， 2F在 x 軸上， 長軸的長與焦距之比為 2： 1． (如 圖 811) (1)求橢圓 E 的方程； (2)求 12FAF? 的角平分線所在直線 l 的方程； (3)在橢圓 E 上是否存在關于直線 l 對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由 ． 解析 (1)設橢圓 E 的方程為 221xyab??，由已知得 2ac? ， 2ac? ，故 圖 811 13 2 2 2 23b a c c? ? ? ，從而橢圓方程為 22143xycc??，將 A（ 2， 3）代入上式，得22131cc??，解得 2c? ，∴橢圓 E 的方程為 22116 12xy??． (2)方法一： 方法二： 方法三： 方法四： 14 方法五： 方法六： 15 方法七： 方法八： 16 (3)方法一： 方法 二： 17 方法三： 同上，一方面，因為 BC 的中點坐標為 3()24mm， ，且該中點在橢圓的內(nèi)部，所以，有 223( ) ( )24 116 12mm??，解得 2 16m? （ ※） ．另一方面， BC 的中點在直線21yx??上，所以 3 2142mm? ? ? ，解得 4m? ， 這與（ ※）矛盾．所以不存在滿足題設條件的相異兩點． 注：存在性問題的一般經(jīng)解決思路是先假設滿足條件的數(shù)學對象存在，然后通過數(shù)學“操作”肯定或否定假設． 必殺技 ： 綜合運用基礎知識與基本方法 本題 主要 考查橢圓的定義及標準方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線的方程 以及 點關于直線的對稱等基礎知識； 并以對這些基礎知識的考查為依托，考查了考生對 解析幾何的基本思想 的理解與掌握情況及 綜合運算能力、探究意識與創(chuàng)新意識 ．本題的探索思路寬，且解法多種多樣， 18 本題可推廣為： 對于本題的 (3)還可推廣為： 注：以上的證明均可仿照本題的求解方法，讀者可自行完成，這里不再贅述． 實戰(zhàn)演練 1． 已知橢圓 11624 22 ?? yx ，直線 l ： 112 8xy??． P 是 l 上點，射線 OP 交橢圓于點 R，又點 Q 在 OP上且滿足 2OQ OP OR? ，當點 P 在 l 上移動時 ， 求點 Q的軌跡方程 ， 并說明軌跡是什么曲線 ． 19 2． 已知 (1, 0) , (0, 2 ),ic??若過定點 (0, 2)A 、以 ic?? ( R?? )為法 向量的直線 1l與過點 ? ?0, 2B ? 以 ci?? 為法向量的直線 2l 相交于動點 P ． (1)求直線 1l 和 2l 的方程 ； (2)求直線 1l 和 2l 的斜率之積 12kk 的值，并證明必存在兩個定點 ,EF 使得 PE PF?恒為定值； (3)在（ 2）的條件下，若 ,MN是 : 2 2lx? 上的兩個動點，且 0EM FN??，試問當MN 取最小值時，向量 EM FN? 與 EF 是否平行，并說明理由 ． 3． 已知 橢圓 C： 221xyab?? ( 0ab?? )的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2 3 2 3??和 ． (1)求橢圓的方程； (2)設過定點 M（ 0， 2）的直線 l 與橢圓 C交于不同的兩點 A、 B，且 ∠ AOB為銳角（其中 O 為坐標原點），求 直線 l 的斜率 k 的取值范圍 ． (3)如 圖 812，過原點 O 任意作兩條互相垂直的直線與橢圓 221xyab?? ( 0ab?? )相 交于 P， S， R， Q四點，設原點 O到四邊形 PQSR 一邊的距離為d，試求 d=1 時 a， b 滿足的條件． 參考答案： 1． ? ? ? ? 1351251 22 ???? yx （ 220xy??），其軌跡是以 (1， 1)為中心，長、短半軸分別為 210 和 315 且長軸與 x 軸平行的橢圓，且去掉坐標原點 ． 提示： （如 圖 813）由已知得 2224 16 12 8R R P Px y x y? ? ? （※） 設 圖 812 圖 813 20 ()Qx y， ， | | | | | |O P O R O QO P O R O Q??，利用已知條件可得 22||||OROP OQOQ??，便有22||||P ORxxOQ??， 22||||P ORyyOQ??，同理， ||||R ORxxOQ??， ||||R ORyyOQ??，將它們代入（※），得 2224 16 12 8x y x y? ? ?，顯然 x 與 y 均不為零 ． 2． (1) 1l ： 0)2(2 ??? yx ? ； 2l ： 0)2(2 ??? yx? ． (2)12 12kk??； | | | | 4PE PF??． 提示： 設 P ),( yx ，由 212221 ?????? xyxykk，得 124 22 ?? yx ， 定點 FE、 為 該 橢圓的兩個焦點 ． (3) FNEM? 與 EF 平行 . 3． (1) 2 2 14x y??. (2) 33( 2, ) ( , 2 )22?? . (3)22111ab??. 提示：由 橢圓的對稱性可知 PQSR 是菱形，原點 O 到各邊的距離相等． 當 P在 y 軸上 時 ， 顯然； 當 P 不在 y軸上時，設直線 PS 的斜率為 k， 11( , )Px kx ，則直 線 RQ 的 斜率為 1k?