【正文】 020120201 ????????? yyxyyx?，8820 01 ??? y yy． )88,8 )8(2( 20 02020?????? ? y yyyOP， 2 2 20 0 02 2 20 0 04 ( 8 ) 8 4 3 2 48 8 8y y yO M O P y y y??? ? ? ? ? ? ?? ? ?（定值） ． （ 3 ）設(shè)存在 )0,(mQ 滿 足 條 件 ， 則 DPMQ? ． ),2( 0ymMQ ???? ，)88,84( 2002020????? y yy yDP， 則由 0?? ?? DPMQ 得 088)2(84 20202020 ?????? y ymy y，從而得 0?m ． ?存在 )0,0(Q 滿足條件 ． 必殺技： 遵循“一選、二求、三定點(diǎn)”的原則 一般地，解決動(dòng)曲線（包括動(dòng)直線）過定點(diǎn)的問題，其解題步驟可歸納為：一選、二求、三定點(diǎn)．具體操作程序?yàn)椋? “一選”：選擇參變量．需要證明過定點(diǎn)的動(dòng)曲線往往隨某一個(gè)量的變化而變化，可選擇這個(gè)量為參變量（當(dāng)動(dòng)直線涉及的量較多時(shí)，也可選取多個(gè) 參變量）． “二求”：求出動(dòng)曲線的方程．求出只含上述參變量的動(dòng)曲線方程，并由其它輔助條件 9 減少參變量的個(gè)數(shù)，最終使動(dòng)曲線方程的系數(shù)中只含有一個(gè)參變量． “三定點(diǎn)”：求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．不妨設(shè)動(dòng)曲線方程中所含的參變量為 ? ，把曲線方程寫成形如 ( ) ( ) 0f x y g x y???， ，的形式，然后解關(guān)于 x ， y 的方程組 ( ) 0( ) 0f x yg x y ??? ?? ，得到定點(diǎn)的坐標(biāo)． 實(shí)戰(zhàn)演練 1． 已知 橢圓 C 經(jīng)過點(diǎn) 3(1 )2A ， ，兩個(gè)焦點(diǎn)為 ( 10)?， ， (10)， ． (1)求橢圓 C 的方程； (2)E， F 是橢圓 C 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線 AE 的斜率與 AF 的斜率互為相反數(shù)，證明直線 EF 的斜率為定值，并求出這個(gè)定值 ． 2． 設(shè)橢圓 C ： 221xyab??（ 0ab?? ） 過點(diǎn) ( 2 1)M ， ，且左焦點(diǎn)為 1( 2 0)F ? ， (1)求橢圓 C 的方程； (2)當(dāng)過點(diǎn) (41)P ， 的動(dòng)直線 l 與橢圓 C 相交于 兩不同點(diǎn) A ， B 時(shí)，在線段 AB 上取點(diǎn)Q ，滿足 A P Q B A Q P B? ? ?，證明：點(diǎn) Q 總在某定直線上． 3． 若 橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，橢圓 C 上的點(diǎn) （ 2， 0） 到 左 焦點(diǎn)距離為 3 ． (1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程 ． (2)若直線 l ： y kx m??與橢圓 C 相交于 A ， B 兩點(diǎn)（ AB， 不是左、右頂點(diǎn)），且以 AB 為直徑的圓過橢圓 C 的右頂點(diǎn)，求證：直線 l 過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) ． (3)將 (2)推廣到一般情形，使得 (2)為其特例，并給出解答過程． 參考答案： 1． (1) 22143xy??. 10 (2) 設(shè) 直線 AE ： 3( 1)2y k x? ? ?，代入 22143xy??得2 2 23( 3 4 ) 4 ( 3 2 ) 4 ( ) 1 2 02k x k k x k? ? ? ? ? ? ?， 設(shè) ()EEE x y， ， ()FFF x y， ， 易得12FEEFFEyyk xx???? (定值 )． 注： 本題可推廣為（證明略）： 2． (1) 22142xy??. (2)提示：利用線段的定比分點(diǎn)，關(guān)注 ? ． 注：（一）本題的證明還有其它方法，這里從略． （二） 對(duì)于本題，我們還可 將第 (2)題的結(jié)論推廣到一般橢圓 ，具體為 ： 11 命題一 ：設(shè)橢圓 22 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?：，過橢圓外一點(diǎn) ()Pm n， 的動(dòng)直線 l 與橢圓C 相交于兩不同點(diǎn) ,AB，在線段 AB 上取點(diǎn) Q ，滿足 A P Q B A Q P B? ，則點(diǎn) Q 在定直線 2 2 2 2 0m b x n a y a b? ? ?上． 我們可將命題一 推廣到其它的圓錐曲線 ，具體為： 命題 二 ：設(shè)圓 2 2 2 ( 0)C x y r r? ? ?： ，過圓外一點(diǎn) ()Pm n， 的動(dòng)直線 l 與圓 C 相交于兩不同點(diǎn) ,AB，在線段 AB 上取點(diǎn) Q ，滿足 A P Q B A Q P B? ，則點(diǎn) Q 在定直線2 0mx ny r? ? ? 上． 命題 三 ：設(shè)雙曲線 22: 1 ( 0 0 )xyC a bab? ? ? ?，過雙曲線外一點(diǎn) ()Pm n， 的動(dòng)直線 l 與雙曲線 C 相交于兩不同點(diǎn) ,AB，在線段 AB 上取點(diǎn) Q ，滿 足 A P Q B A Q P B? ，則點(diǎn) Q 在定直線 2 2 2 2 0m b x n a y a b? ? ?上． 命題 四 ：設(shè)拋物線 2: 2 ( 0)C y px p??，過拋物線外一點(diǎn) ()Pm n， 的動(dòng)直線 l 與拋物線 C 相交于兩不同點(diǎn) ,AB，在線段 AB 上取點(diǎn) Q ，滿足 A P Q B A Q P B? ，則點(diǎn) Q 在定直線 0px ny pm? ? ?上． 以上命題的證明從略． 3． （ 1） 22143xy??.（ 2）直線 l 過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 207??????，. （ 3） （ 2） 的推廣（一）： 過橢圓 221xyab??( 0)ab?? 上的右頂點(diǎn) ( 0)Ma， 作兩直線 AM 與 BM 交橢圓于A 、 B 兩點(diǎn)，當(dāng) AM BM? 時(shí)，直線 AB 恒過定點(diǎn) 2222( 0)abaab? ?? ，． 12 提示 ：可設(shè)直線 AB ： x ty p??且 11()Ax y， 、 22()B x y， ，由 22221x ty pxyab????? ????得2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0a b t y pta y b p a? ? ? ? ?，則212 2 2 22 2 212 2 2 22()p tbyya b tb p ayya b t? ? ? ??? ?? ?? ??? ??， 由已知得0AM BM??，即 1 2 1 2( ) ( ) 0x a x a y y? ? ? ? ? 221 2 1 2( 1 ) ( ) ( ) ( ) 0t y y t p a y y p a? ? ? ? ? ? ? ? 2222abpaab???? ? 直線 AB ：2222abx ty aab?? ? ??恒過定點(diǎn) 2222( 0)abaab? ?? ，． （ 2） 的推廣（二）： 過橢圓 221xyab??( 0)ab?? 上的任意定點(diǎn) 00()M x y， 作兩直線 AM 與 BM 交橢圓于 A 、 B 兩點(diǎn)，當(dāng) AM BM? 時(shí)，直線 AB 恒過定點(diǎn) 2 2 2 2002 2 2 2()a b a bxya b a b?????，． 典型考法 3 橢圓與直線 典型例題 已知橢圓 E 經(jīng)過點(diǎn) ? ?23A ， ，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn) 1F ， 2F在 x 軸上， 長(zhǎng)軸的長(zhǎng)與焦距之比為 2： 1． (如 圖 811) (1)求橢圓 E 的方程； (2)求 12FAF? 的角平分線所在直線 l 的方程； (3)在橢圓 E 上是否存在關(guān)于直線 l 對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說明理由 ． 解析 (1)設(shè)橢圓 E 的方程為 221xyab??，由已知得 2ac? ， 2ac? ，故 圖 811 13 2 2 2 23b a c c? ? ? ，從而橢圓方程為 22143xycc??，將 A（ 2， 3）代入上式，得22131cc??，解得 2c? ，∴橢圓 E 的方程為 22116 12xy??． (2)方法一： 方法二： 方法三： 方法四： 14 方法五： 方法六： 15 方法七： 方法八： 16 (3)方法一： 方法 二： 17 方法三： 同上，一方面，因?yàn)?BC 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 3()24mm， ，且該中點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以，有 223( ) ( )24 116 12mm??，解得 2 16m? （ ※） ．另一方面， BC 的中點(diǎn)在直線21yx??上，所以 3 2142mm? ? ? ，解得 4m? ， 這與（ ※）矛盾．所以不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點(diǎn)． 注：存在性問題的一般經(jīng)解決思路是先假設(shè)滿足條件的數(shù)學(xué)對(duì)象存在，然后通過數(shù)學(xué)“操作”肯定或否定假設(shè)． 必殺技 ： 綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法 本題 主要 考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線的方程 以及 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱等基礎(chǔ)知識(shí)； 并以對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的考查為依托，考查了考生對(duì) 解析幾何的基本思想 的理解與掌握情況及 綜合運(yùn)算能力、探究意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí) ．本題的探索思路寬，且解法多種多樣， 18 本題可推廣為： 對(duì)于本題的 (3)還可推廣為： 注：以上的證明均可仿照本題的求解方法，讀者可自行完成，這里不再贅述． 實(shí)戰(zhàn)演練 1． 已知橢圓 11624 22 ?? yx ，直線 l ： 112 8xy??． P 是 l 上點(diǎn)，射線 OP 交橢圓于點(diǎn) R，又點(diǎn) Q 在 OP上且滿足 2OQ OP OR? ，當(dāng)點(diǎn) P 在 l 上移動(dòng)時(shí) ， 求點(diǎn) Q的軌跡方程 ， 并說明軌跡是什么曲線 ． 19 2． 已知 (1, 0) , (0, 2 ),ic??若過定點(diǎn) (0, 2)A 、以 ic?? ( R?? )為法 向量的直線 1l與過點(diǎn) ? ?0, 2B ? 以 ci?? 為法向量的直線 2l 相交于動(dòng)點(diǎn) P ． (1)求直線 1l 和 2l 的方程 ； (2)求直線 1l 和 2l 的斜率之積 12kk 的值，并證明必存在兩個(gè)定點(diǎn) ,EF 使得 PE PF?恒為定值； (3)在（ 2）的條件下，若 ,MN是 : 2 2lx? 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 0EM FN??，試問當(dāng)MN 取最小值時(shí)，向量 EM FN? 與 EF 是否平行，并說明理由 ． 3． 已知 橢圓 C： 221xyab?? ( 0ab?? )的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為2 3 2 3??和 ． (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)過定點(diǎn) M（ 0， 2）的直線 l 與橢圓 C交于不同的兩點(diǎn) A、 B，且 ∠ AOB為銳角（其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），求 直線 l 的斜率 k 的取值范圍 ． (3)如 圖 812，過原點(diǎn) O 任意作兩條互相垂直的直線與橢圓 221xyab?? ( 0ab?? )相 交于 P， S， R， Q四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn) O到四邊形 PQSR 一邊的距離為d，試求 d=1 時(shí) a， b 滿足的條件． 參考答案： 1． ? ? ? ? 1351251 22 ???? yx （ 220xy??），其軌跡是以 (1， 1)為中心，長(zhǎng)、短半軸分別為 210 和 315 且長(zhǎng)軸與 x 軸平行的橢圓，且去掉坐標(biāo)原點(diǎn) ． 提示： （如 圖 813）由已知得 2224 16 12 8R R P Px y x y? ? ? （※） 設(shè) 圖 812 圖 813 20 ()Qx y， ， | | | | | |O P O R O QO P O R O Q??，利用已知條件可得 22||||OROP OQOQ??，便有22||||P ORxxOQ??， 22||||P ORyyOQ??，同理， ||||R ORxxOQ??， ||||R ORyyOQ??，將它們代入（※），得 2224 16 12 8x y x y? ? ?，顯然 x 與 y 均不為零 ． 2． (1) 1l ： 0)2(2 ??? yx ? ； 2l ： 0)2(2 ??? yx? ． (2)12 12kk??； | | | | 4PE PF??． 提示： 設(shè) P ),( yx ，由 212221 ?????? xyxykk，得 124 22 ?? yx ， 定點(diǎn) FE、 為 該 橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) ． (3) FNEM? 與 EF 平行 . 3． (1) 2 2 14x y??. (2) 33( 2, ) ( , 2 )22?? . (3)22111ab??. 提示：由 橢圓的對(duì)稱性可知 PQSR 是菱形，原點(diǎn) O 到各邊的距離相等． 當(dāng) P在 y 軸上 時(shí) ， 顯然； 當(dāng) P 不在 y軸上時(shí)，設(shè)直線 PS 的斜率為 k， 11( , )Px kx ，則直 線 RQ 的 斜率為 1k?