【正文】 ? ? ?????與極軸的交 點(diǎn)求出 的圓心坐標(biāo) 。根據(jù) 圓C 經(jīng)過點(diǎn) ? ?2 4P ?， 求出圓 C 的半徑 .從而得到 圓 C 的極坐標(biāo)方程 . 14. 【考點(diǎn)定位】本題主要考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的互化 、 圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識 ,考查運(yùn)算求解能力 ,考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想 . 【解析】 (Ⅰ) 由題意知 23(2, 0) , (0, )3MN ,因?yàn)?P 是線段 MN 中點(diǎn) ,則 3(1, )3P , 因此 PO 直角坐標(biāo)方程為 : 3 .3yx? (Ⅱ) 因?yàn)橹本€ l 上兩點(diǎn) 23(2, 0) , (0, )3MN ∴ l 垂直平分線方程為 : 3 3 2 3 0xy? ? ?,圓心 (2, 3? ),半徑 2r? . ∴ 2 3 3 3 2 3 3239dr??? ? ??,故直線 l 和圓 C 相交 . 【考點(diǎn)定位】本題主要考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的互化 、 圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識 ,考查運(yùn)算求解能力 ,考查轉(zhuǎn)化化歸思想 . 2020 年高考題 一、選擇題 1.（安徽理 5）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn) ??? c os2)3,2( ?到圓 的圓心的距離為 （ A） 2 （ B） 942?? （ C） 912?? （ D） 3 【答案】 D 2.（北京理 3）在極坐標(biāo)系中，圓 ρ=2sinθ的圓心的極坐標(biāo)系是 A． (1, )2? B． (1, )2?? C． (1,0) D． (1， ? ) 【答案】 B 3.（天津理 11）已知拋物線 C 的參數(shù)方程為28,? ?? ?? （ t 為參數(shù)）若斜率為 1 的 直線經(jīng)過拋物線 C 的焦點(diǎn)，且與圓 ? ?2 224 ( 0 )x y r r? ? ? ?相切， 則 r =________. 【答案】 2 二、填空題 1.（陜西理 15）（考生注意：請?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評） C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直角坐標(biāo)系 xoy 中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建 立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn) A， B 分別在曲線 13 cos: 4 sinxC y ?????? ???（ ? 為參數(shù)）和曲線 2:1C ?? 上， 則 AB 的最小值為 。 答案 3 2.（湖南理 9）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為cos ,1 sinxy ? ???? ???（ ? 為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系 xOy 取相同的長度單位，且以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，以 x 軸正半軸為極軸）中，曲線 C2 的方程為 ? ?co s sin 1 0? ? ?? ? ?，則 C1 與 C2 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 【答案】 2 3.（江西理 15）（ 1）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）若曲線的極坐標(biāo)方程為 = 2 sin 4 cos ,? ? ?? 以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為 【答案】 22 4 2 0x y x y? ? ? ? 4.（廣東理 14）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為 5 c os ( 0 )si nxy ? ???? ?? ??? ??? 和25 ()4xttRyt? ?? ??? ?? ，它們的交 點(diǎn)坐標(biāo)為 ___________． 【答案】 25(1, )5 三、簡答題 1.（福建理 21）本題設(shè)有（ 1）、（ 2）、（ 3）三個(gè)選考題，每題 7分，請考生任選 2題做答，滿分 14 分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分，做答時(shí)，先用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。 （ 2）（本小題滿分 7 分）選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直接坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l的方程為 xy+4=0，曲線 C 的參數(shù)方程為 x 3 c osy sin ? ??? ??? ??? （ 為 參 數(shù) ）． （ I）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系 xOy 取相同的長度單位，且以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，以 x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn) P 的 極坐標(biāo)為（ 4， 2π ），判斷點(diǎn) P 與直線 l的位置關(guān)系； （ II）設(shè)點(diǎn) Q 是曲線 C 上的一個(gè)動點(diǎn)，求它到直線 l的距離的最小值． 答案 （ 2）選修 4— 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 本小題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、橢圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想。滿分 7 分。 解：（ I）把極坐標(biāo)系下的點(diǎn) (4, )2P ? 化為直角坐標(biāo)，得 P（ 0， 4）。 因?yàn)辄c(diǎn) P 的直角坐標(biāo)（ 0， 4）滿足直線 l 的方程 40xy???， 所以點(diǎn) P 在直線 l 上， （ II）因?yàn)辄c(diǎn) Q 在曲線 C 上，故可設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ( 3 cos ,sin )??， 從而點(diǎn) Q 到直線 l 的距離為 2 c o s ( ) 4| 3 c o s s i n 4 | 6 2 c o s ( ) 2 2622d??? ? ??????? ? ? ? ?， 由此得，當(dāng) cos( ) 16?? ? ? ?時(shí)， d 取 得最小值，且最小值為 2. 2.（遼寧理 23）選修 44：坐標(biāo)系統(tǒng)與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為 ??? ?? ??sincosyx（ ? 為參數(shù)），曲線 C2的參數(shù)方程為 ??? ?? ??sincosby ax（ 0??ba ， ? 為參數(shù)），在以 O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo) 系中，射線 l： θ=? 與 C1， C2各有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng) ? =0 時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為 2，當(dāng) ? =2? 時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合． （ I）分別說明 C1， C2 是什么曲線，并求出 a 與 b 的值； （ II）設(shè)當(dāng) ? =4? 時(shí)， l與 C1， C2 的交點(diǎn)分別為 A1， B1，當(dāng) ? = 4?? 時(shí)， l與 C1， C2 的交點(diǎn)為 A2， B2，求四邊形 A1A2B2B1 的面積． 解： （ I） C1 是圓， C2 是橢圓 . 當(dāng) 0?? 時(shí)，射線 l與 C1， C2 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（ 1， 0），（ a， 0），因?yàn)檫@兩點(diǎn)間的距離為 2，所以 a=3. 當(dāng) 2??? 時(shí)，射線 l 與 C1， C2 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（ 0， 1），（ 0， b），因?yàn)檫@兩點(diǎn)重合，所以 b=1. （ II） C1， C2 的普通方程分別為22 2 21 1 .9xx y y? ? ? ?和 當(dāng) 4??? 時(shí)，射線 l與 C1 交點(diǎn) A1 的橫坐標(biāo)為 22x? ，與 C2 交點(diǎn) B1 的橫坐標(biāo)為 3 ?? 當(dāng) 4???? 時(shí)，射線 l與 C1， C2 的兩個(gè)交點(diǎn) A2， B2 分別與 A1， B1 關(guān)于 x軸對稱，因此， 四邊形 A1A2B2B1 為梯形 . 故四邊形 A1A2B2B1 的面積為 ( 2 2 )( ) 2 .25x x x x???? ? …………10 分 3.（全國新課標(biāo)理 23）選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 1C 的參數(shù)方程為2 cos (2 2 sinxy ? ????? ???為參數(shù)）， M為 1C 上的動點(diǎn)，P 點(diǎn)滿足 2OP OM? ，點(diǎn) P 的軌跡為曲線 2C ． （ I）求 2C 的方程； （ II）在以 O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線 3??? 與 1C 的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 A，與 2C 的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 B，求 |AB|. 答案 解：（ I）設(shè) P(x， y)，則由條件知 M( 2,2YX ).由于 M 點(diǎn)在 C1 上，所以 ??????????????????sin222,cos22yx 即 ?????? ??? ?? sin44cos4yx 從而 2C 的參數(shù)方程為 4 cos4 4sinxy ? ???? ???（ ? 為參數(shù)） （Ⅱ）曲線 1C 的極坐標(biāo)方程為 4sin??? ，曲線 2C 的極坐標(biāo)方程為 8sin??? ． 射線 3??? 與 1C 的交點(diǎn) A 的極徑為 1 4sin 3?? ? ， 射線 3??? 與 2C 的交點(diǎn) B 的極徑為 2 8sin 3?? ? ． 所以 21| | | | 2 3AB ?????. 2020 年高考題 1.（ 2020 湖南文） 4. 極坐標(biāo) cosp ?? 和參數(shù)方程12xtyt? ?? ?? ???（ t 為參數(shù)）所表示的圖形分別是 A. 直線、直線 B. 直線、圓 C. 圓、圓 D. 圓、直線 【答案】 D 3.（ 2020 北京理）極坐標(biāo)方程（ p1）（ ??? ） =（ p? 0）表示的圖形是 （ A）兩個(gè)圓 （ B）兩條直線 （ C）一個(gè)圓和一條射線 （ D）一條直線和一條射線 【答案】 C 4.（ 2020 湖南理）極坐標(biāo)方程 cos??? 和參數(shù)方程123xtyt?? ??? ???（ t 為參數(shù)）所表示的圖形分別是 A、圓、直線 B、直線、圓 C、圓、圓 D、直線、直線 5.（ 2020 安徽理） 設(shè)曲線 C 的參數(shù)方程為2 3cos1 3sinxy ?????? ? ? ??（ ? 為參數(shù)），直線 l 的方程為3 2 0xy? ? ? ，則曲線 C 上到直線 l 距離為 71010 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 【答案 】 B 【解析】化 曲線 C 的 參數(shù)方程為普通 方程 ： 22( 2 ) ( 1) 9xy? ? ? ?，圓心 (2, 1)? 到直線3 2 0xy? ? ? 的距離 | 2 3 ( 1 ) 2 | 7 1 0 31010d ? ? ? ?? ? ?，直線和圓相交，過圓心和 l 平行的直線和圓的 2個(gè)交點(diǎn)符合要求，又 7 10 7 10310 10?? ，在直線 l 的另外一側(cè)沒有圓上的點(diǎn)符合要求，所以選 B. 【方法總結(jié)】解決這類問題首先把曲線 C 的 參數(shù)方程為普通 方程 ，然后利用圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系，這就是 曲線 C 上到直線 l 距離為 71010 ，然后再判斷知7 10 7 10310 10??，進(jìn)而得出結(jié)論 . 二、填空題 6.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）參數(shù)方程cos ,1 sinxy ? ???? ???（ ? 為參數(shù)）化成普通方程為 【答案】 x2＋（ y－ 1） 2＝ 1. 解析 ： 1s inc o s)1( 2222 ????? ??yx 7.（ 2020 天津理）已知圓 C的圓心是直線1, (1x tyt??? ??? 為 參 數(shù) ）與 x軸的交點(diǎn)，且圓 C 與直線x+y+3=0 相切，則圓 C 的方程為 【答案】 22( 1) 2xy? ? ? 本題主要考查直線的參數(shù)方程，圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，屬于容易題。 令 y=0 得 t=1，所以直線 1xtyt??? ???與 x軸的交點(diǎn)為（ ） 因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即| 1 0 3 | 22r ? ? ???，所以圓 C的方程為 22( 1) 2xy? ? ? 【溫馨提示】直線與圓的位置關(guān)系通常利用圓心到直線的距離或數(shù)形結(jié)合的方法求解。 8.（ 2020 廣東理） （坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系（ ρ， θ）（ 0 ≤ θ2π）中，曲線 ρ=2sin? 與cos 1p ??? 的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 ______． 【答案】 3( 2, )4? ． 由 極坐標(biāo) 方程與普通方程的互化式cos ,sinxy ??????? ??知，這兩條曲線的普通方程分別為22 2 , 1x y y x? ? ? ?． 解得1,???? ??由cos ,sinxy ??????? ??得點(diǎn)（ 1， 1）的 極坐標(biāo)為 3( 2, )4? ． 9.（ 2020 廣東文）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系 ),( ?? )20( ???? 中，曲線1)sin(cos ?? ??? 與 1)sin(cos ?? ??? 的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 . 三、簡答題 10.（ 2020 遼寧理）（本小題滿分 10 分）選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （ ? 為參數(shù)， ????0 ）上的點(diǎn)，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 1,0）， 已知 P 為半圓 C： O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) M 在射線 OP 上，線段 OM 與 C 的弧 的長度均為 3? 。 （ I）以 O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn) M 的極坐標(biāo)； （