高考理科數學導數的概念與運算復習資料-文庫吧
2025-07-17 14:47 本頁面
【正文】 基本函數 . 13 求下列函數的導數 ： ( 1 ) y ＝ x ( x ＋ 1 )( x ＋ 2 ) ； ( 2 ) y ＝ ta n x ； ( 3 ) y ＝1 ＋ x5x2； ( 4 ) y ＝1? 1 － 3 x ?4 . 14 解： ( 1 ) 因為 y ＝ x3＋ 3 x2＋ 2 x ， 所以 y ′ ＝ 3 x2＋ 6 x ＋ 2. ( 2 ) y ＝ ( tan x ) ′ ＝ (si n xcos x) ′ ＝? si n x ? ′ cos x － si n x ? cos x ? ′cos2x ＝cos2x ＋ si n2xcos2x＝1cos2x. 15 ( 3 ) 因為1 ＋ x5x2＝ x35＋ x －25， 所以 y ＝ (1 ＋ x5x2) ′ ＝ ( x35) ′ ＋ ( x －25) ′ ＝35x －25－25x －75. ( 4 ) 設 μ ＝ 1 － 3 x ，則 y ＝ μ－ 4， 則 y ′ ＝ yμ′ μy′ ＝－ 4 μ－ 5 ( － 3 ) ＝12? 1 － 3 x ?5 . 16 題型 2 在導數條件下求參數的值 ? 2. 已知函數 ? 若存在 x0∈ R，使得 f ′(x0)=0且 f(x0)=0， ? 求 a的值 . ? 解： 因為 f ′(x)=3x2+2ax，令 f ′(x)=0， ? 則 3x2+2ax =0，所以 x0 =0或 x0 = . ? ? 32 4 ( ) .3 af x x a x a? ? ? 為 實 數常23a17 ? 當 x0 =0時，由 f(x0 )=0，可得 ? 所以 a=0. ? 當 x0 = 時，由 f(x0 )=0， ? 可得 ? 即 a39a=0，所以 a=0或 a=177。 3. ? 綜上分析， a=0或 a=177。 3. 23a4 03 a?? ，338 4 4 02 7 9 3aaa? ? ? ? ，18 ? 點評： 求參數的值或取值范圍的問題 ， 仍是轉化題中的條件 ， 得到相應參數的方程或不等式 ， 然后通過解方程或不等式得到所求的問題的解 . 19 ? 已知函數 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(其中 a、 b、 c、 ? d、 e∈ R)為偶函數，它的圖象過點 A(0， 1)， ? B(1， 0)，且 f ′(1)=2，求函數 f(x)的表達式 . ? 解： 因為 f(x)是偶函數，所以 f(x)=f(x)恒成立 . ? 即 a(x)4+b(x)3+c(x)2+d(x)+e=ax4+bx3+cx2+dx+ ? 恒成立，所以 b=0， d=0，即 f(x)=ax4+cx2+e. ? 又由圖象過點 A(0， 1)，可知 f(0)=1，即 e=1. ? 因為 f ′(1)=2且 f(1)=0，所以 4a+2c=2 ? 且 a+c1=0，解得 a=2， c= f(x)=2x4+3x21. 20 ? 3. 已知曲線 求： ? (1)曲線在 x=2處的切線方程； ? (2)曲線過點 P(2， 4)的切線方程 . ? 解： (1)因為 y′=x2, ? 所以在 x=2處的切線的斜率 k=y′|x=2=4. ? 又 x=2時， ? 所以曲線在 x=2處的切線方程為 y4=4(x2), ? 即 4xy4=0. 題型 3 利用導數求切線方程 31433yx?? ，1 2 4 43 3 3y ? ? ? ? ，21 ? (2)設曲線 與過點 P(2， 4)的切線相切于點 ? 則切線的斜率 k=y′|x=x0=x02. ? 所以切線方程為 ? 即 ? 因為點 P(2， 4)在切線上， ? 所以 即 31433yx?? ，30014()33A x x ?， ，? ?320 0 014 ,33y x x x x??? ? ? ?????230024 .33y x x x? ? ? ?2300244 2 ,33xx? ? ?32020 4 0 ,xx? ? ?22 ? 所以 ? 所以 ? 所以 (x0+1)(x02)2=0,解得 x0=1或 x0=2. ? 故所求的切線方程為 4xy4=0或 xy+2=0. ? 點評： 求曲線在某點處的切線方程的思路是：先求得函數在此點處的導數值 ， 即為切線的斜率 ， 然后根據切點的坐標 ， 再用點斜式可得切線方程 .若是經過某點的切線 ， 注意先設切點坐標 ， 然后寫出切線方程 ， 再把已知點代入切線方程求得切點的橫坐標 . 3 2 20 0 04 4 0 ,x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?20 0 0 01 4 1 1 0 ,x x x x? ? ? ? ?23 ? (2020全國課程標準卷 )曲線 y=在點 (1， 1)處的切線方程為 ( ) ? A. y=2x+1 B. y=2x1 ? C. y=2x3 D. y=2x2 24 ? 解： 易知點 (1， 1)在曲線上，即為切點， ? 又由于 f ′ (x)= = ， ? 故 f ′ (1)= ， ? 即切線的斜率為 2 ， 從而切線方程為y+1=2(x+1)， ? 化簡可得 y=2x+1. 222xxx? ? ??? ? ?222x? ? ?21 2 2?? ? ?25 ? 已知函數 f(x)在點 x=1處連續(xù)， ? 且 求 f ′(1). ? 解： 因為 f(x)在點 x=1處連
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