【正文】 于年金收 付形式。 普通年金又稱后付年金，是指各期期末收付的年金。 普通年金的收付形式 見圖 4— 1。橫線代表時(shí)間的延續(xù)，用數(shù)字標(biāo)出各期的順序號(hào)；豎線的位置表 示支付的時(shí)刻，豎線下端數(shù)字表示支付的金額。 White 2021CPA_《 財(cái)務(wù)成本管理 》 _全國(guó)統(tǒng)一考試輔導(dǎo)教材 6 / 43 第 四 章 財(cái)務(wù)估價(jià) 1．普通年金終值 普通 年金終值是指其最后一次支付時(shí)的本利和，它是每次支付的復(fù)利終值 之和。 例如，按圖 4— 1的數(shù)據(jù)，其第三期末的普通年金終值可計(jì)算見圖 4— 2。 在第一期末的 100 元，應(yīng)賺得兩期的利息，因此，到第三期末其值為 121 元；在第二期末的 100 元，應(yīng)賺得一期的利息 ， 因此，到第三期末其值 為 110 元；第三期末的 100元，沒有計(jì)息，其價(jià)值是 100 元。整個(gè)年金終值 331 元。 如果年金的期數(shù)很多，用上述方法計(jì)算終值顯然相當(dāng)繁瑣。由于每年支付 額相等，折算終值的系數(shù)又是有規(guī)律的， 所以，可找出簡(jiǎn)便的計(jì)算方法。 設(shè)每年的支付金額為 A，利率為 i， 期數(shù)為 n，則按復(fù)利計(jì)算的普通年金 終值 S 為： S=A+A（ 1+i） + 2i1A ）（ ? +?+ 1ni1A ）（ ? （ 1） 等式兩邊同乘（ 1+i）： （ 1+i） s=A（ 1+i） + 2i1A ）（ ? + 3i1A ）（ ? +?+ ni1A ）（ ? （ 2） 上述兩式相減 （ 2） （ 1） ： （ 1+i） SS= ni1A ）（ ? – A S=A(1+i)n A(1+i)1 ，整理，有 ： 100 100 100 0 1 2 3 i=10%， n=3 圖 4— 1 普通年金的收付形式 0 1 2 3 100 100 100 100 圖 4— 2 普通年金的終值 White 2021CPA_《 財(cái)務(wù)成本管理 》 _全國(guó)統(tǒng)一考試輔導(dǎo)教材 7 / 43 第 四 章 財(cái)務(wù)估價(jià) S=A (1+i)n 1i （ 3） 式中的 (1+i)n 1i 是普通 年金為 1 元、利率為 i、經(jīng)過(guò) n 期的年金終值，記作（ S/A，i， n）。可據(jù)此編制 “ 年金終值系數(shù)表 ” （見本書附表三），以供查閱。 2．償債基金 償債基金是指為使年金終值達(dá)到既 定金額每年末應(yīng)支付的年金數(shù)額。 【 例 4— 7】擬在 5 年后還清 10 000 元債務(wù)，從現(xiàn)在起每年末等額存入銀行 一筆款項(xiàng)。假設(shè)銀行存款利率為 10％，每年需要存入多少元 ? 由于有利息因素，不必每年存入 2 000 元（ 10 000247。5 ），只要存入較少的 金額， 5年后本利和即可達(dá)到 10 000 元 ， 可 用以清償債務(wù)。 根據(jù)普通年金終值計(jì)算公式： S=A (1+i)n 1i 可知： A=S i(1+i)n 1 式中的 i(1+i)n 1 是普通年金終值系數(shù) 的倒數(shù)，稱償債基金系數(shù)， 記 作（ A/s， i， n）。它可以把普通年金終值折算為每年需要支付的金額。償債基金 系數(shù)可以制成表格備查，亦可根據(jù)普通年金終值系數(shù)求倒數(shù)確定。 將 【 例 4— 7】 有關(guān)數(shù)據(jù)代入上式： A=10 000 1(S/A,10%,5) =10 000 =10 0000 .1638 =1 638（元） 因此，在銀行利率為 10％時(shí)，每年存入 1 638 元， 5 年后可得 10 000 元， 用來(lái)還清債務(wù)。 有一種折舊方法，稱為償債基金法，其理論依據(jù)是 “ 折舊的目 的是保持 簡(jiǎn)單再生產(chǎn)”。為在若干年后購(gòu)置設(shè)備，并不需要每年提存設(shè)備原值與使用年限的算術(shù)平均數(shù)，由于利息不斷增加，每年只需提存較少的數(shù)額即按償債基金提取折舊，即可在使用期滿時(shí)得到設(shè)備原值。償債基金法的年折舊額，就是根據(jù)償債基金系數(shù)乘以固定資產(chǎn)原值計(jì)算出來(lái)的。 3．普通年金現(xiàn)值 普通年金現(xiàn)值，是指為在每期期末取得相等金額的款項(xiàng)，現(xiàn)在需要投入的 金額。 【例 4— 8】某人出國(guó) 3 年 ， 請(qǐng)你代付房租，每年租金 100 元，設(shè)銀行存款 利率為10％，他應(yīng)當(dāng)現(xiàn)在給你在銀行存入多少錢 ? 這個(gè)問(wèn)題可以表述為：請(qǐng)計(jì)算 i=10％， n=3， A=100 元的年終付款的現(xiàn) 在等效值是多少？ 設(shè)年金現(xiàn)值為 P，則見圖 4— 3： White 2021CPA_《 財(cái)務(wù)成本管理 》 _全國(guó)統(tǒng)一考試輔導(dǎo)教材 8 / 43 第 四 章 財(cái)務(wù)估價(jià) P=100 （ 1+10%） 1 +100 （ 1+10%） 2 +100 （ 1+10%） 3 =1000 .9091+1000 .8264+1000 .7513 =100 （ ++） =1002 .4868 =（元） 計(jì)算普通年金現(xiàn)值的一般公式： P=A（ 1+i） 1 +A（ 1+i） 2 +?+A （ 1+i） n 等式兩邊 同乘 （ 1+i）： P（ 1+i） =A+A（ 1+i） 1 +?+A （ 1+i） (n1) 后式減前式： P（ 1+i） P=A— A（ 1+i） n Pi=A[1（ 1+i） n ] P=A1(1+i)n i 式中的 1(1+i)n i 是普通年金為 1 元、利率為 i、經(jīng) 過(guò) n 期 的年金現(xiàn)值，記 作 （ p/A，i， n）?？蓳?jù)此編制 “ 年金現(xiàn)值系數(shù)表 ” （見本書附表四），以供 查閱。 根據(jù) 【例 4— 8】 數(shù)據(jù)計(jì)算： P=A（ p/A， i， n） =100 （ p/A， 10％， 3） 查表：（ p/A， 10％， 3） = P=1002 .487=（元） 【例 4— 9】某企業(yè)擬購(gòu)置一臺(tái)柴油機(jī)，更新目前使用的汽油 機(jī)，每月可節(jié)約燃料費(fèi)用 60 元，但柴油機(jī)價(jià)格較汽油機(jī)高出 1 500 元，問(wèn)柴油機(jī)應(yīng)使用多 少年才合算 （假設(shè)利率為 12％ ，每月復(fù)利一次） ？ P=1 500 P=60 （ p/A， 1％， n） 1 500=60 （ p/A， 1％， n） （ p/A， 1％， n） =25 查“ 年金現(xiàn)值系數(shù)表 ”可知： n=29 因此，柴油機(jī)的使用壽命至少應(yīng)達(dá)到 29個(gè)月，否則不如購(gòu)置價(jià)格較低的汽油機(jī)。 【例 4— 10】 假設(shè)以 10%的利率借款 20 000 元，投資于某個(gè)壽命為 10 年的項(xiàng)目，每年至少要收回多少現(xiàn)金才是有利的？ 據(jù)普通年金現(xiàn)值計(jì)算公式可知： 0 1 2 3 100 100 100 圖 4— 2 普通年金的 現(xiàn) 值 100 White 2021CPA_《 財(cái)務(wù)成本管理 》 _全國(guó)統(tǒng)一考試輔導(dǎo)教材 9 / 43 第 四 章 財(cái)務(wù)估價(jià) P=A（ p／ A， i， n） = A1(1+i)n i A=p i1(1+i)n =20 000 10%1(1+10%)10 =20 000 =3 254（元） 因此，每年至少要收回 3 254 元，才能還清貸款本利。 上述計(jì)算過(guò)程中的 i1(1+i)n 是普通年金現(xiàn) 值系數(shù)的倒數(shù)，它可以把普通年金現(xiàn)值折算為年金，稱作投資回收系數(shù)。 （三）預(yù)付年金終值和現(xiàn)值 預(yù)付年金是指在每期期初支付的年金，又稱即付年金或先付年金。預(yù)付年 金支付形式見圖 4— 4。 1．預(yù)付年金終值計(jì)算 預(yù)付年金終值的計(jì)算公式為： s=A（ 1+i） +A（ 1+i） 2+?+A （ 1+i） n 式中各項(xiàng)為等比數(shù)列 ， 首項(xiàng)為 A（ 1+i），公比為（ 1+i） ， 根據(jù)等 比數(shù)列 的求和公式可知： S=A(1+i)[1(1+i)n ]1(1+i) =A(1+i)(1+i)n+1 i =A[(1+i)n+1 1i 1] 式中的 [(1+i)n+1 1i 1]是預(yù)付年金終值系數(shù)，或稱 1元的預(yù)付年金終 值。它和普通年金終值系數(shù) [(1+i)n 1i ]相比，期數(shù)加 1，而系數(shù)減 1，可 記作 [（ s/A， i， n+1） 1]，并可利用 “ 年金終值系數(shù)表 ” 查得（ n+1）期 的值，減去 1后得出 1 元預(yù)付年金終值。 P=？ S=？ 0 1 2 3 4 圖 4— 4 預(yù)付年金的終值和現(xiàn)值 White 2021CPA_《 財(cái)務(wù)成本管理 》 _全國(guó)統(tǒng)一考試輔導(dǎo)教材 10 / 43 第 四 章 財(cái)務(wù)估價(jià) 【 例 4— 11】 A=200， i=8％， n=6 的預(yù)付年金 終值是多少 ？ S=A[（ s/A， i， n+1） 1] =200[ （ s/A， 8％， 6+1） 1] 查 “ 年金終值系數(shù)表 ” ： （ s/A， 8％， 7） = s=200 （ ） =1 （元） 2．預(yù)付年金現(xiàn)值計(jì)算 預(yù)付年金現(xiàn)值的計(jì)算公式： P=A+ 1i1A ?? ）（ + 2i1A ?? ）（ +?+ 1)ni1A （）（ ?? 式中各項(xiàng)為等比數(shù)列，首項(xiàng)是 A，公比是（ 1+i） 1 ，根據(jù)等比數(shù)列求和公式： p=A[1(1+i)n ]1(1+i)1 =A1(1+i)n 1+i1+i 11+i =A[1(1+i)n ](1+i)i =A[1(1+i)(n1) i +1] 式中的 [1(1+i)(n1) i +1]是預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)，或稱 1元 的 預(yù)付年 金現(xiàn)值。它和普通年金現(xiàn)值系數(shù) [1(1+i)n i ]相比，期數(shù)要減 1，而系數(shù)要 加 1， 可記作 [（ p/A， i， n1）+1]。可利用 “ 年金現(xiàn)值系數(shù)表 ” 查得（ n1） 期的值，然后加 1，得出 1 元的預(yù)付年金現(xiàn)值。 【 例 4— 12】 6 年分期付款購(gòu)物，每年初付 200 元，設(shè)銀行利率為 10％，該 項(xiàng)分期付款相當(dāng)于一次現(xiàn)金支付的購(gòu)價(jià)是多少？ P=A[（ p/A， i， n1） +1] =200 [ （ p/A， 10％， 5） +1] =200 （ +1） =（元） （四）遞延年金 遞延年金是指第一次支付發(fā)生在第二期或第二期以后的年金。遞延年金的支 付形式見圖 4— 5。從圖中可以看出，前三期沒有發(fā)生支付。一 般用 m 表示遞延期 數(shù)，本例的m=3。第一次支付在第四期期末，連續(xù)支付 4 次，即 n=4。 遞延年金終值的計(jì)算方法和普通年金終值類似： White 2021CPA_《 財(cái)務(wù)成本管理 》 _全國(guó)統(tǒng)一考試輔導(dǎo)教材 11 / 43 第 四 章 財(cái)務(wù)估價(jià) S=A（ s/A， i， n） =100 （ s/A， 10％ ， 4） =1004 .641 =（元） 遞延年金的現(xiàn)值計(jì)算方法有兩種： 第一種方法，是把遞延年金視為 n 期普通年金，求出遞延期末的現(xiàn)值，然 后再將此現(xiàn)值調(diào)整到第一期期初 （即圖 4— 5 中 0的位置）。 3P =A（ p/A， i， n） =100 （ p/A， 10％， 4） =1003 .170 =317（元） 0P =P3 （ 1+i）m =317 （ 1+10％） 3 =317O .7513 =（元） 第二種方法 ， 是假設(shè)遞延期中也進(jìn)行支付，先求出（ m+n）期的年金 現(xiàn)值，然后，扣除實(shí)際并未支付的遞延期 （ m）的年金現(xiàn)值 ， 即可得出最終 結(jié)果。 )nm(P? =100 （ p/A， i,m+n） =100 （ p/A， 10％ ， 3+4） =1004 .8684 =（元） mP =100 （ p／ A， i， m） =100 （ p／ A， 10％， 3） =1002 .487 =（元） nP = )nm(P? mP = =（元） （五）永續(xù)年金 無(wú)限期定額支付的年 金，稱為永續(xù)年金?，F(xiàn)實(shí)中的存本取息，可視為永續(xù) 年金的一個(gè)例子。 永續(xù)年金沒有終止的時(shí)間 ， 也就 沒有終值。永續(xù)年金的現(xiàn)值可以通過(guò)普通年金現(xiàn)值的計(jì)算公式導(dǎo)出： P=A1(1+i)n i 0 1 2 3 4 5 6 7 100 100 100 100 圖 4— 5 遞延年金的支付形式 m=3 i=10% n=4 White 2021CPA_《 財(cái)務(wù)成本管理 》 _全國(guó)統(tǒng)一考試輔導(dǎo)教材 12 / 43 第 四 章 財(cái)務(wù)估價(jià) 當(dāng) n→ ∞ 時(shí)，（ 1+i） n 的極限為零，故上式可寫成： p=A 1i 【例 4— 13】擬建立一項(xiàng)永久性的獎(jiǎng)學(xué)金，每年計(jì)劃 頒 發(fā) 10 000 元獎(jiǎng)金。若 利率為10％，現(xiàn)在應(yīng)存入多少錢 ？ P=10 000 110% =100 000（元） 【例 4— 14】如果一 股優(yōu)先股，每季分 得 股息 2 元 ， 而 利率是每年 6％ 。對(duì)于一個(gè)準(zhǔn)備買這種股票的