數(shù)形結(jié)合在解題中的應用(畢業(yè)論文)-文庫吧
2025-04-17 01:39 本頁面
【正文】 性規(guī)劃 和復數(shù)問題中的應用，并且給出了例題及詳細解答過程，說明了數(shù)形結(jié)合在中學數(shù)學解題中應用非常廣泛，是一種重要的解題方法 . 利用數(shù)形結(jié)合解決集合問題 在 中學 數(shù)學中，集合問題是一 類比較簡單的題目，我們常?？梢越柚f恩圖或者數(shù)軸來解決這些問題， 它的 關(guān)鍵是怎么樣準確將集合問題轉(zhuǎn)化為圖形 . ． 1 利用韋恩圖解決集合 題目 例 1 有 48 名學生，每人至少參加一個活動小組，參加數(shù)理化小組的人數(shù)分別為 28， 25， 15，同時參加數(shù)理小組的 8 人，同時參加數(shù)化小組的 6 人，同時參加理化小組的 7 人，問同時參加數(shù)理化小組的有多少人？ 分析 我們可用圓 A 、 B 、 C 分別表示參加數(shù)理化小組的人數(shù)（如 圖 1），則三圓的公共部分正好表示同時參加數(shù)理化小組的人數(shù) . 圖 1 例 2 例 若集合 ? ?10U x x? 是 小 于 的 正 整 數(shù) ， ,A U B U??且 ? ? ? ?19UC A B?? ， ， ? ?2AB?? , ? ? ? ? ? ?4 6 8UUC A C B?? ， ，,試求 A 與 B . 分析 利用韋恩圖把元素放入相應位置，從而寫出所求集合 . 圖 2 利用數(shù)軸來解決 集合問題 例 3 已知 ? ?3A x a x a? ? ? ?， ? ?2 4 5 0B x x x? ? ? ?. 解 用 n 表示集合的元素，則有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A n B n C n A B n A C? ? ? ? ? ? ( ) ( ) 48n B C n A B C? ? ? ? ? ? 即 : 28 + 25 + 15 8 6 7+ ( ) 48n A B C? ? ? 所以： ( ) 1n A B C? ? ? 答： 即同時參加數(shù)理化小組的有 1 人 . 解 如圖 2，我們可得： ? ?2 3 5 7A? ， ， ， ? ?1,2,9B? . 吉首大學本科生畢業(yè)論文 4 （ 1）若 AB?? ,求的取值范圍； （ 2）若 A B B? ,求 a 的取值范圍 . 分析 在數(shù)軸上標出集合 A 、 B 所含的元素的范圍，利用 A 、 B 的位置關(guān)系確定參數(shù) a 的取值范圍 . 解 （ 1） ? ?1, 5B x x x? ? ? ?或，利用數(shù)軸得到滿足 AB?? 的 不等式組 135aa ???? ???，如圖三，所以實數(shù) a 的取值范圍是 ? ?12aa? ? ? . 圖 3 （ 2）由 A B B? 知 AB? ，利用數(shù) 軸得到滿 足 A B B? 的不等式，31a? ?? ，或 5a? ，所以實數(shù) a 的取值范圍是 ? ?4, 5a a a? ? ?或 . 圖 4 從上面 三 個實際的例題可以看出，合理、靈活、巧妙地運用數(shù)形結(jié)合 來解題，可以將復雜問題簡單化 ， 化難為易，有事半功倍之效 .所以，平時應該注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想 . 利用數(shù)形結(jié)合解決方程問題 數(shù)形集合思想在方程的題目中經(jīng)常用到，尤其是含有一次式、二次式 、對數(shù)式和指 數(shù)式 方程， 下面就是幾種常見的題型中用到了數(shù)形結(jié)合 . 數(shù)形結(jié)合在 含有一次 、二次 式的方程中的應用 下面 兩個例題將把方程進行變換再求解， 再 根 據(jù) 相對應圖形的性質(zhì)來解答 ，這樣 可以加深 我們對 基本概念的理解，加強對基本知識與基本技能的靈活運用 . 例 4[5] 當 01k??時，關(guān)于 x 的方程 kkxx ??? |1| 2 的解的個數(shù)是多少？ 吉首大學本科生畢業(yè)論文 5 xy 1 0 1|1| 2xy ??kkxy ?? 圖 5 函數(shù)圖像 分析 這道題 原方程中包含有絕對值運算符號 ，我們直接求解比較困難，所以，我們能想到求方程解的個數(shù)等價于就其相對應函數(shù)圖形的交點 . 解 由于 kkxx ??? |1| 2 則令 |1| 2xy ?? 和 kkxy ?? 如圖 5 示我們把函數(shù) |1| 2xy ?? 和 kkxy ?? 的圖像畫出來 其交點個數(shù)就是我們方程所以求得的解的個數(shù) 即 原方程解的個數(shù)是三個 例 5 當 m 取何值時，方程 )22(0s ins in 2 ?? ?????? xmxx 有唯一解？有兩解？無解？ 分析 用換元法，令 xt sin? ，再轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點的個數(shù)問題 . 41 1?2?1 21?2?my ? y t O o 圖 6 2y t t?? ? 吉首大學本科生畢業(yè)論文 6 解 原方程即 )22(s ins in 2 ?? ?????? xmxx 令 xt sin? . 則有 )11(2 ?????? tmtt ,再令 )11(2 ?????? ttty 及 my? . 則方程解的個數(shù)等于直線 my? 與拋物線 )11(2 ?????? ttty 的交點的個數(shù) 由圖 6 可知 當 41?m 或 02 ??? m 時，原方程有唯一解； 當 410 ??m 時，原方程有兩個不同的實數(shù)解； 當 41?m 或 2??m 時，原方程無解 . 數(shù)形結(jié)合在 含對數(shù) 、指數(shù) 的方程 的應用 由于對數(shù) 式 、指數(shù)式形式 比較 特殊，所以在解決一些含對數(shù)、指數(shù)方程
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