高中數(shù)學53不等式的證明531比較法知識導航學案蘇教版4-5!(已改無錯字)
2024-11-06 18 本頁面
【正文】 0)成立,證明_____________成立,根據(jù)以上兩步得*到當n≥n0且n∈N時命題P(n): 第一步證明當n=n0時命題成立,即P(n0)(n0)成立與第二步可得P(n0+1)成立。由P(n0+1)成立及第二步,可得P(n0+2)成立……依次類推,可得對于任意的自然數(shù)n(n≥n0),命題P(n),不一定是1,有可能是0,2,3等值,數(shù)學歸納法及其證明思路是什么? 剖析:歸納法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般結(jié)論的推理方法,(而不是全部),。第二步反映了無限遞推關(guān)系,即命題的正確性具有傳遞性,若只有第一步而沒有第二步,那么假設(shè)n=k成立,即P(k)成立就沒有根據(jù),缺少遞推的基礎(chǔ),也無法進行遞推,有了步驟一和步驟二使傳遞成為可能,由一、,即第二步必須用上假設(shè)n=k成立推證出n=k+1成立,在證明過程中,需根據(jù)命題的變化、特點,利用拼湊或放縮,【例1】用數(shù)學歸納法證明111111++L+=++L+.1180。23180。4(2n1)180。2nn+1n+2n+n分析:用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,關(guān)鍵是第二步,要注意當n=k+1時,等式兩邊的式子與n=k時等式兩邊的式子的聯(lián)系,增加了哪些項,減少了哪些項,:(1)當n=1時,左邊=111=,右邊=,180。222(2)假設(shè)當n=k時等式成立, 即111++L+ 1180。23180。4(2k1)180。2k=111++L+, k+1k+22k則當n=k+1時, 左邊=1111 ++L++1180。23180。4(2k1)180。2k(2k+1)(2k+2)=1111 ++L++k+1k+22k(2k+1)(2k+2)111111++L++()+ k+2k+32k2k+12k+2k+111111++L+++= k+2k+32k2k+12k+2==1111++L++(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+k(k+1)+(k+1)=右邊.∴當n=k+(1)(2)用數(shù)學歸納法證明恒等式時,一定注意等式兩邊的式子隨n怎樣變化,需要增加哪些項,且當n=k+1時,代入假設(shè)后要進行觀察, 22222212+34+…+(2n1)(2n)=(1+2+3+…+2n).22證明:(1)當n=1時,左邊=12=3,右邊=(1+21)=3, ∴左邊=右邊,(2)假設(shè)當n=k時,等式成立,即12+34+…+(2k1)(2k)=(1+2+…+2k)，22222222則當n=k+1時,左邊=12+34+…+(2k1)(2k)+(2k+1)［2(k+1)］=(1+2+…22+2k)+(2k+1)［2(k+1)］=(1+2+3+…+2k)+［(2k+1)+2(k+1)］［(2k+1)2(k+1)］ =(1+2+3+…+2k)(2k+1)2(k+1)=［1+2+3+…+(2k+1)+2(k+1)］=右邊.∴當n=k+1時,(1)(2),可知等式恒成立.【例2】設(shè)an=1180。2+2180。3+…+n(n+1)(n∈N).證明112n(n+1)2n(n+1)=1,(n+1)=k(k+1)則當n=k+1時,112k(k+1)+(k+1)(k+2)在所證明的不等式與自然數(shù)n有關(guān),而不易合并的情況下,111n.++…+n232121證明:(1)當n=1時,左邊=1,右邊=,∴(2)假設(shè)當n=k時,不等式成立,即1+++…+k.23212111111+k+k+L+k+1則當n=k+1時,左邊=1+++…+k232122+∈N,用數(shù)學歸納法證明1+k111k+k+k+L+k+1+222+1212∴當n=k+(1)(2),可知不等式恒成立.【例3】（2006高考江西卷,22）已知數(shù)列{an}滿足:a1==k1k+1+=.2223nan13*,且an=(n≥2,n∈N).22an1+n1(1)求數(shù)列{an}的通項公式。(2)求證:對一切正整數(shù)n,不等式a1a2…an1n11n1}為一個等比數(shù)列,其首項為1=,公比為,從而1=n，3ana13an3據(jù)此得an=n3n3n1(n≥1).①(2)證明:據(jù)①,得 a1a2…an=n!.111(1)(12)L(1n)3
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