高中數(shù)學(xué)53不等式的證明531比較法知識(shí)導(dǎo)航學(xué)案蘇教版4-5!(參考版)
2024-11-06 18:43本頁面
【正文】 n=2時(shí),2=2。②若x=0,則Pn=Qn。2k+3.∵(2k+2)(2k+1(2a+d)(a+3d)=∴(103d)(5+d)=28.∴3d+5d22=,得d=2或d=∵數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正, ∴d=2.∴a1=1.∴an=2n1.*(2)證明:∵n∈N, ∴只需證明(1+)(1+2)…(1+n)aaa1≥232n+①當(dāng)n=1時(shí),左邊=2,右邊=2, ∴不等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即(1+12311)(1+2)…(1+)≥2k+)(1+2)…(1+)(1+)aa1akak+1那么當(dāng)n=k+1時(shí),(1+≥2332k+1(1+1ak+1)=232k+2, (2)求證:不等式(1+112311*)(1+2)…(1+)…an=n!.111(1)(12)L(1n)3331313213n12為證a1a2an1n11n1}為一個(gè)等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1=,公比為,從而1=n，3ana13an3據(jù)此得an=na23+…+n(n+1)(n∈N).證明112n(n+1)2n(n+1)=1,(n+1)=k(k+1)則當(dāng)n=k+1時(shí),112k(k+1)+(k+1)(k+2)在所證明的不等式與自然數(shù)n有關(guān),而不易合并的情況下,111n.++…+n232121證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=,∴(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即1+++…+k.23212111111+k+k+L+k+1則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+++…+k232122+∈N,用數(shù)學(xué)歸納法證明1+k111k+k+k+L+k+1+222+1212∴當(dāng)n=k+(1)(2),可知不等式恒成立.【例3】（2006高考江西卷,22）已知數(shù)列{an}滿足:a1==k1k+1+=.2223nan13*,且an=(n≥2,n∈N).22an1+n1(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。2k(2k+1)(2k+2)=1111 ++L++k+1k+22k(2k+1)(2k+2)111111++L++()+ k+2k+32k2k+12k+2k+111111++L+++= k+2k+32k2k+12k+2==1111++L++(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+k(k+1)+(k+1)=右邊.∴當(dāng)n=k+(1)(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí),一定注意等式兩邊的式子隨n怎樣變化,需要增加哪些項(xiàng),且當(dāng)n=k+1時(shí),代入假設(shè)后要進(jìn)行觀察, 22222212+34+…+(2n1)(2n)=(1+2+3+…+2n).22證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12=3,右邊=(1+21)=3, ∴左邊=右邊,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即12+34+…+(2k1)(2k)=(1+2+…+2k)，22222222則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=12+34+…+(2k1)(2k)+(2k+1)［2(k+1)］=(1+2+…22+2k)+(2k+1)［2(k+1)］=(1+2+3+…+2k)+［(2k+1)+2(k+1)］［(2k+1)2(k+1)］ =(1+2+3+…+2k)(2k+1)2(k+1)=［1+2+3+…+(2k+1)+2(k+1)］=右邊.∴當(dāng)n=k+1時(shí),(1)(2),可知等式恒成立.【例2】設(shè)an=1180。23180。4(2k1)180。222(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立, 即111++L+ 1180。4(2n1)180。第二步反映了無限遞推關(guān)系,即命題的正確性具有傳遞性,若只有第一步而沒有第二步,那么假設(shè)n=k成立,即P(k)成立就沒有根據(jù),缺少遞推的基礎(chǔ),也無法進(jìn)行遞推,有了步驟一和步驟二使傳遞成為可能,由一、,即第二步必須用上假設(shè)n=k成立推證出n=k+1成立,在證明過程中,需根據(jù)命題的變化、特點(diǎn),利用拼湊或放縮,【例1】用數(shù)學(xué)歸納法證明111111++L+=++L+.1180。N*,n1)再用數(shù)學(xué)歸納法.(2n32n+1，有時(shí)使用函數(shù)的單調(diào)性就可以；放縮也是不可忽視的方法.第五篇： 數(shù)學(xué)歸納法與不等式自主整理數(shù)學(xué)歸納法證明命題P(n)的兩個(gè)步驟: 第一步:證明命題_____________成立,即證命題當(dāng)n取第一個(gè)
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