高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1【配套備課資源】第3章章末檢測(已改無錯字)
2023-01-20 07:00:21 本頁面
【正文】 m||n|＝ 155 . 即二面角 A— BF— D的余弦值為 155 . 19． (1)證明 連結(jié) BD，因?yàn)?M， N分別是 PB， PD的中點(diǎn)， 所以 MN是 △ PBD的中位線， 所以 MN∥ BD. 又因?yàn)?MN?平面 ABCD， BD? 平面 ABCD， 所以 MN∥ 平面 ABCD. (2)解 方法一 連結(jié) AC交 BD于 O，以 O為原點(diǎn)， OC， OD所在直線為 x， y軸，建立空間直角坐標(biāo)系 O— xyz，如圖所示 ． 在菱形 ABCD中， ∠ BAD＝ 120176。， 得 AC＝ AB＝ 2 3， BD＝ 3AB＝ 6. 又因?yàn)?PA⊥ 平面 ABCD， 所以 PA⊥ △ PAC中， AC＝ 2 3， PA＝ 2 6， AQ⊥ PC， 得 QC＝ 2， PQ＝ 4. 由此知各點(diǎn)坐標(biāo)如下： A(－ 3， 0,0)， B(0，－ 3,0)， C( 3， 0,0)， D(0,3,0)， P(－ 3， 0,2 6)， M??? ???－ 32 ，－ 32， 6 ， N??? ???－ 32 ， 32， 6 ， Q??? ???33 ， 0， 2 63 . 設(shè) m＝ (x， y， z)為平面 AMN的法向量， 由 AM→ ＝ ??? ???32 ，－ 32， 6 ， AN→ ＝ ??? ???32 ， 32， 6 知 ????? 32 x－ 32y＋ 6z＝ 0，32 x＋32y＋ 6z＝ 0. 取 z＝－ 1， 得 m＝ (2 2， 0，－ 1)． 設(shè) n＝ (x， y， z)為平面 QMN的法向量， 由 QM→ ＝ ??? ???－ 5 36 ，－ 32， 63 ， QN→ ＝ ??? ???－ 5 36 ， 32， 63 知 ????? － 5 36 x－ 32y＋ 63 z＝ 0，－ 5 36 x＋ 32y＋ 63 z＝ 0. 取 z＝ 5，得 n＝ (2 2， 0,5)． 于是 cos〈 m， n〉＝ mn|m||n|＝ 3333 . 所以二面角 A－ MN－ Q的平面角的余弦值為 3333 . 方法二 如圖所示， 在菱形 ABCD中， ∠ BAD＝ 120176。， 得 AC＝ AB＝ BC＝ CD＝ DA， BD＝ 3AB. 又因?yàn)?PA⊥ 平面 ABCD， 所以 PA⊥ AB， PA⊥ AC， PA⊥ AD. 所以 PB＝ PC＝ PD. 所以 △ PBC≌△ PDC. 而 M， N分別是 PB， PD的中點(diǎn)， 所以 MQ＝ NQ，且 AM＝ 12PB＝ 12PD＝ AN. 取線段 MN的中點(diǎn) E，連結(jié) AE， EQ， 則 AE⊥ MN， QE⊥ MN， 所以 ∠ AEQ為二面角 A－ MN－ Q的
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