【正文】 我們將其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的其他問題 ,就會(huì)顯得比較清楚 ,方法簡(jiǎn)單 ,結(jié)果容易理解 . 回目錄 練 習(xí) （ 1）將 10個(gè)學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給 7個(gè)不同的班級(jí)，每班至少分到一個(gè)名額，不同的分配方案共有 （ ）種。 69 84C ?（ 2）不定方程 的正整數(shù)解共有（ ）組 1 2 3 710x x x x? ? ? ? ?69 84C ?回目錄 練習(xí)題 5個(gè)盒中 ,每盒至少一 有多少裝法？ 2 .x+y+z+w=100求這個(gè)方程組的自然數(shù)解 的組數(shù) 3103C49C回目錄 小結(jié)： 把 n個(gè)相同元素分成 m份 ,每份至少 1個(gè)元素 ,問有多少種不同分法的問題可以采用 “ 隔板法 ” 得出共有 種 . 11mnC ??回目錄 正難則反總體淘汰策略 例 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三 個(gè)數(shù)，使其和為不小于 10的偶數(shù) ,不同的 取法有多少種？ 解：這問題中如果直接求不小于 10的偶數(shù)很 困難 ,可用總體淘汰法。 這十個(gè)數(shù)字中有 5 個(gè)偶數(shù) 5個(gè)奇數(shù) ,所取的三個(gè)數(shù)含有 3個(gè)偶數(shù)的取法有 ____,只含有 1個(gè)偶數(shù)的取法有 _____,和為偶數(shù)的取法共有 _________ 再淘汰和小于 10的偶數(shù)共 ___________ 符合條件的取法共有 ___________ 35C1255CC 9 013 015 017 024 026 035 125 123 134 1255CC35C+ 9 1255CC35C+ 有些排列組合問題 ,正面直接考慮比較復(fù)雜 ,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷 ,可以先求出它的反面 ,再從整體中淘汰 . 回目錄 例：用 0， 1， 2， 3， 4這五個(gè)數(shù)，組成沒有重復(fù) 數(shù)字的三位數(shù)，其中 1不在個(gè)位的數(shù)共有 _______種。 間接法 (總體淘汰法 ,正難則反） 對(duì)于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的減去，此時(shí)應(yīng)注意 既不能多減又不能少減。 35A 分析 ： 五個(gè)數(shù)組成三位數(shù)的全排列有 個(gè)， 0排在首位的 有 個(gè) ， 1排在末尾的有 ，減掉這兩種不合條件的排 法數(shù)，再加回百位為 0同時(shí)個(gè)位為 1的排列數(shù) （為什么？） 故共有 種。 24A24A35A13A392 132435 ??? AAA24A 24A13A種排法。各不能排某位，則有、個(gè)位，個(gè)不同元素排若22112???? ??mnmnmn AAAbamn例 我們班里有 43位同學(xué) ,從中任抽 5人 ,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種 ? 解 43人中任抽 5人的方法有 種 ,正副班長(zhǎng) ,團(tuán)支部書記都不在內(nèi)的抽法有 種 ,所以正副班長(zhǎng) ,團(tuán)支部書記至少有 1人在內(nèi)的抽法有 種 . 543C540C540543 CC ?結(jié)論 去雜法 :有些問題 ,正面直接考慮比較復(fù)雜 ,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷 ,可以先求出它的反面 ,再從整體中排除 . 分析 此題若是直接去考慮的話 ,就要將問題分成好幾種情況 ,這樣解題的話 ,容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況 .而如果從此問題相反的方面去考慮的話 ,不但容易理解 ,而且在計(jì)算中也是非常的簡(jiǎn)便 .這樣就可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程 . 回目錄 （ 1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有幾種不同方法？ 556677 2 AAA ?? （ 2）五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第二個(gè)位置，那么不同的站法有（ ） 782 334455 ??? AAA間接4 1 1 34 3 3 3 78A A A A?? 種直接 練 習(xí) 3 回目錄 （ 3） 用 間接法解例 1—“6個(gè)同學(xué)和 2個(gè)老師排成一排照相， 2個(gè)老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？” 6 5 5 4 26 5 5 4 2()2 ( 6 ! 2 5 ! 4 ! )1 0 0 8 (A A A A A? ? ? ?? ? ? ?? 種）回目錄 我們班里有 43位同學(xué) ,從中任抽 5人 ,正、 副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的 抽法有多少種 ? 練習(xí)題 回目錄 平均分組問題除法策略 例 12. 6本不同的書平均分成 3堆 ,每堆 2本共有 多少分法？ 解 : 分三步取書得 種方法 ,但這里出現(xiàn) 重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象 ,不妨記 6本書為 ABCDEF 若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 該分法記為 (AB,CD,EF),則 中還有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 種取法 ,而 這些分法僅是 (AB,CD,EF)一種分法 ,故共 有 種分法。 2226 4 2CCC2226 4 2CCC33A2226 4 2CCC33A平均分成的組 ,不管它們的順序如何 ,都是一種情況 ,所以分組后要一定要除以 (n為均分的組數(shù) )避免重復(fù)計(jì)數(shù)。 nnA回目錄 1 將 13個(gè)球隊(duì)分成 3組 ,一組 5個(gè)隊(duì) ,其它兩組 4 個(gè)隊(duì) , 有多少分法？ 3組 ,其中一組 4人 , 另兩組 3人 但正副班長(zhǎng)不能分在同一組 ,有多少種不同 的分組方法 （ 1540） 5 4 41 3 8 422C C CA，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入 4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排 2名，則不同的安排方案種數(shù)為 ______ 22 26422290ACC A ?回目錄 分清排列、組合、等分的算法區(qū)別 例 (1)今有 10件不同獎(jiǎng)品 ,從中選 6件分給甲一件 ,乙二件和丙三件 ,有多少種分法 ? (2) 今有 10件不同獎(jiǎng)品 , 從中選 6件分給三人 ,其中 1人一件 1人二件 1人三件 , 有多少種分法 ? (3) 今有 10件不同獎(jiǎng)品 , 從中選 6件分成三份 ,每份 2件 , 有多少種分法 ? 解：（ 1） 1 2 310 9 7 12600C C C? ? ? （ 2） 1 2 3 310 9 7 3 75600C C C A? ? ? ?(3) 336 2 2 211 0 6 4 2( ) 3 1 5 0AC C C C? ? ? ? )/(332628210 ACC回目錄 練習(xí) (1)今有 10件不同獎(jiǎng)品 ,從中選 6件分成三份 , 二份各 1件 ,另一份 4件 , 有多少種分法 ? (2) 今有 10件不同獎(jiǎng)品 ,從中選 6件分給甲乙丙三人 ,每人二件有多少種分法 ? 解 : (1) (2) 6 4 1 1110 6 2 12 3150C C C C? ? ? ?6 2 2 210 6 4 2 18900C C C C? ? ? ?)( 2628210 CCC回目錄 小結(jié)： 排列與組合的區(qū)別在于元素是否有序 。 m等分的組合問題是非等分情況的 。而元素相同時(shí)又要另行考慮 . 回目錄 構(gòu)造模型策略 例 . 馬路上有編號(hào)為 1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路燈 ,現(xiàn)要關(guān)掉其中的 3盞 ,但不能關(guān) 掉相鄰的 2盞或 3盞 ,也不能關(guān)掉兩端的 2 盞 ,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？ 解：把此問題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在 6盞 亮燈的 5個(gè)空隙中插入 3個(gè)不亮的燈 有 ________ 種 35C一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為 非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì) 模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決 回目錄 練習(xí)題 某排共有 10個(gè)座位，若 4人就坐，每人左右 兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？ 120 回目錄 八 .排列組合混合問題先選后排策略 例 .有 5個(gè)不同的小球 ,裝入 4個(gè)不同的盒內(nèi) , 每盒至少裝一個(gè)球 ,共有多少不同的裝 法 . 解 :第一步從 5個(gè)球中選出 2個(gè)組成復(fù)合元共 有 __種方法 .再把 5個(gè)元素 (包含一個(gè)復(fù)合 元素 )裝入 4個(gè)不同的盒內(nèi)有 _____種方法 . 25C44A根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有 _____ 25C44A解決排列組合混合問題 ,先選后排是最基本 的指導(dǎo)思想 .此法與 相鄰元素捆綁策略相似 嗎 ? 回目錄 練習(xí)題 一個(gè)班有 6名戰(zhàn)士 ,其中正副班長(zhǎng)各 1人 現(xiàn)從中選 4人完成四種不同的任務(wù) ,每人 完成一種任務(wù) ,且正副班長(zhǎng)有且只有 1人 參加 ,則不同的選法有 ________ 種 192 回目錄 3 名醫(yī)生和 6 名護(hù)士被分配到 3 所學(xué)校為學(xué)生體檢 ,每校分配 1 名醫(yī)生和 2 名護(hù)士 ,不同的分配方法共有多少種 ? 先選后排問題的處理方法 解法一：先組隊(duì)后分校（先分堆后分配） 5 4 0332426 ?? PCC回目錄 解法二：依次確定到第一、第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)生和護(hù)士 . 5 4 01)()( 24122613 ??? CCCC回目錄 為支援西部開發(fā) ,有 3名教師去銀川市三所學(xué)校任教 ,每校分配 1人 ,不同的分配方法共有 _______種 (用數(shù)字作答 ). 練習(xí) 改為 4名教師？ 改為 5名教師？ 回目錄 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù) ,甲需 2人承擔(dān) ,乙、丙各需 1人承擔(dān) .從 10人中選派 4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù) ,不同的選法共有多少種 ? 回目錄 四名同學(xué)分配到三個(gè)辦公室去搞衛(wèi)生 ,每個(gè)辦公室至少去一名學(xué)生 ,不同的分配方法有多少種 ? 回目錄 有甲、乙、丙三項(xiàng)工程，甲需要 2 人承擔(dān)，乙、丙各需 1 人承擔(dān)，從 10 人中選派 4 人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的承擔(dān)方法共有 ___________