【正文】 無風(fēng)險(xiǎn)證券組合；其次，根據(jù)到期日的股票和期權(quán)價(jià)格得出組合的價(jià)值；再次，利用無風(fēng)險(xiǎn)組合的收益率只能是無風(fēng)險(xiǎn)收益率，得出構(gòu)造該組合的初始成本，于是得出該期權(quán)的價(jià)格。 2023/3/9 我們首先假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)證券組合里包含一個(gè) 股股票多頭頭寸和一單位看漲期權(quán)的空頭頭寸。 根據(jù)假設(shè)， 3個(gè)月后市場只會(huì)出現(xiàn)兩種可能結(jié)果：股票價(jià)格要么上升到 22元要么下降到 18元。如果股票價(jià)格上升到 22元，期權(quán)的價(jià)值為 1元，則組合的總價(jià)值為 ；如果股票價(jià)格下降到 18元，期權(quán)的價(jià)值為0， 則組合的總價(jià)值為 。因?yàn)榻M合為無風(fēng)險(xiǎn)證券組合，到期日的價(jià)值是確定的。這意味著 ? 1??18?22 1 18? ? ? ?0. 25??即 2023/3/9 因此， 成一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的證券組合。在期權(quán)到期日，組合的價(jià)值總是 =。根據(jù)無套利均衡原理， 由于當(dāng)前的股價(jià)已知為 20元，假設(shè)期權(quán)的價(jià)格為，則該組合當(dāng)前的價(jià)值為 22 0. 25 1??0. 1 0. e ?? ?0. 25 5cc? ? ? ?5 4. 39c??0. 61c ?2023/3/9 ? （二）一般結(jié)論 ? 設(shè)看漲期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)行價(jià)格為 S， 在期權(quán)到期日，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格要么上漲至現(xiàn)價(jià)的 u倍，要么下跌至現(xiàn)價(jià)的 d倍。這里 u d1， 如圖 。 uCd 再設(shè)當(dāng)前歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為 C、 執(zhí)行價(jià)格為 X，在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的上述兩種變化下，其價(jià)值分別為 、 。如圖 。 2023/3/9 S uS dS 圖 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng) C uCd圖 單期看漲期權(quán)的價(jià)值變動(dòng) 顯然 }0,max { XuSC u ?? }0,max { XdSC d ??2023/3/9 為確定唯一的未知量 C， 我們構(gòu)造如下的一個(gè)投資組合： （ a） 以價(jià)格 C賣出一份看漲期權(quán)； （ b） 買入 h份標(biāo)的資產(chǎn)。 其中 h為套期保值比率，其大小是要保證該投資組合成為一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的投資組合。也就是說，不管市場如何變化，該投資組合在到期日是的價(jià)值是確定的。 建立組合的初始成本是購買股票的成本 hS減去賣出期權(quán)收到的期權(quán)費(fèi)Ｃ，即 。而標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲時(shí)，該投資組合的最終價(jià)值為 ；當(dāng)價(jià)格下跌時(shí)，該投資組合的最終價(jià)值為 。 ChS ? uChuS ? dhdS2023/3/9 因?yàn)樵撏顿Y組合為無風(fēng)險(xiǎn)投資組合。從而有： duChdSChuS ???即 （ ） SduCCdSuSCCh dudu)( ?????? 如果期權(quán)的有效期限里的無風(fēng)險(xiǎn)利率為 r， 則以該組合的當(dāng)前價(jià)值 進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)投資到期權(quán)到期日的收益應(yīng)和該投資組合的最終價(jià)值相等，即有 ChS ? uChuSChSr ???? ))(1(2023/3/9 從而 rCurhSC u?????1)1(再將 h代入，得 （ ） rCppCC du????1)1(其中 （ ） dudrp???? 1 在市場無套利機(jī)會(huì)存在的前提下，一定有 d1+ru，從而 。另外，還可以看出， 只與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的上漲或下跌幅度有關(guān)，而與某一時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的大小無關(guān)。 10 ?? pp2023/3/9 例 接著例 （如圖 ），已知 u=，d=， r=， Tt=， Cu=1， Cd =0。由（ ）式，我們得出 0. 1 0. 25 ? ????由（ ）式，我們得出 0. 1 0. 25[ 0. 62 7 1 ( 1 0. 62 7 ) 0] 0. 61ce ??? ? ? ? ? ?2023/3/9 （三）風(fēng)險(xiǎn)中性概率 如果我們將（ ）式中的 p解釋為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升的概率，于是 1p就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下降的概率，則標(biāo)的資產(chǎn)在 T時(shí)刻的預(yù)期值由下式給出 ( ) ( 1 )TE S pu S p dS? ? ?( ) ( )TS p u d S dS? ? ?再將（ ）式中的 p代入上式，化簡得 ()() r T tTE S Se ???2023/3/9 （ ）式的 p就是的風(fēng)險(xiǎn)中性概率，而（ ）式可以表述為：在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，期權(quán)的價(jià)值就是其未來預(yù)期值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)，風(fēng)險(xiǎn)中性世界里的無套利均衡價(jià)格也是真實(shí)世界里的均衡價(jià)格。因而，上述的二叉樹定價(jià)法就等價(jià)于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法。 在二叉樹定價(jià)中也沒有用到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升和下降的概率。當(dāng)然，這并不意味期權(quán)定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升和下降的概率無關(guān)，事實(shí)上，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格未來上升和下降的概率已經(jīng)包含在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格中了。 2023/3/9 我們可以把一年分成 4個(gè) 3個(gè)月、或者 12個(gè) 1個(gè)月，或者 365天 …… 每一個(gè)時(shí)點(diǎn)上都對應(yīng)一個(gè)單步二叉樹，然后做和單步二叉樹定價(jià)法相同的工作：建立不同的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合或利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法求不同狀態(tài)下期權(quán)的收益，再從最終的結(jié)點(diǎn)一步一步逆推，最后計(jì)算出初始狀態(tài)下期權(quán)的價(jià)格。 二、多步二叉樹定價(jià)法 2023/3/9 我們先將二叉樹從單步推廣到兩步，然后再推廣到多步情形。 設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)價(jià)為 S， 每一期間均可能上漲至原來的 u倍，或下跌至原來的 d倍。這樣，在期權(quán)的有效期限內(nèi)，看漲期限的價(jià)值及其變動(dòng)如圖 ： （一）兩步二叉樹定價(jià)法 2023/3/9 S uS dS u2S udS d2S 圖 兩步二叉樹中的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與期權(quán)價(jià)格變動(dòng) C uCd 2dCud2uC2023/3/9 由圖很容易得到： }0,max{ 22 KSuC u ?? }0,ma x{ KudSC ud ?? }0,max{ 22 KSdC d ?? 我們將期權(quán)到期時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的三種可能價(jià)位與看漲期權(quán)的三種可能價(jià)值對應(yīng)起來，由前面同樣的方法，可以求出： ? ? truduu eCppCC ????? )1(2? ? trdudd eCppC ????? 2)1(2023/3/9 在求出 Cu和 Cd之后，我們可用相同的方法求出 C， 即 （ ） ? ? trdudu eCpCppCpc ??????? 222 22 )1()1(2這就是兩步二叉樹定價(jià)公式。 例 假設(shè)一只不分紅股票，其當(dāng)前的市場價(jià)格為 20元，在二叉樹中的任一步之間，股價(jià)要么上漲 10%要么下跌 10%。我們假設(shè)二叉樹中每一步的時(shí)間長度為3個(gè)月，市場的無風(fēng)險(xiǎn)利率為 10%?，F(xiàn)在我們對執(zhí)行價(jià)格為 21元的歐式看漲期權(quán)估值。 2023/3/9 圖 標(biāo)的股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格變動(dòng)示意圖 20 22 18 C 2023/3/9 由題設(shè)知， u=， d=， r=， 由（ ）式，我們得出 0. 25t??2 ? ?2 ?0. 1 0. 25 ? ????1 3p?? 將上述所有參數(shù)代入（ ）式，可得執(zhí)行價(jià)格為21元的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為 2 2 2 0. 1 0. 25[ 2 ]