市場風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)量及管理(已改無錯字)
2023-02-02 23:08:23 本頁面
【正文】 非線性 VaR(NonLinear ValueatRisk) 將（ 2）式重新整理為： 這里， 如果， 非線性 VaR 如果 是 分布的 分位數(shù)，這樣，更好的估計(jì)是： 在這種情況下，我們得到： VaR = 這告訴我們什么？（ 當(dāng)頭寸不服從正態(tài)分布時(shí)， VaR計(jì)算的一般方法 ） 第五節(jié) 非獨(dú)立同分布正態(tài)收益率下的 VaR計(jì)算 一、非正態(tài)分布的情況 在計(jì)算大型證券組合 VaR 時(shí)涉及大量的計(jì)算，應(yīng)用收益率的簡化假設(shè)，如 獨(dú)立同分布正態(tài)收益率假設(shè)，可以使風(fēng)險(xiǎn)管理者很快速計(jì)算所需要的風(fēng)險(xiǎn)值。使用這些 簡化假設(shè)時(shí)， 風(fēng)險(xiǎn)管理者要在 VaR的準(zhǔn)確性與快速估計(jì)方法之間尋求一種平衡。這一部分，我們將分析幾種不同的 VaR 計(jì)算方法，這些方法不依賴于 獨(dú)立同分布正態(tài)收益率的假設(shè) 。 實(shí)例 下圖是 USD/Euro匯率日收益率的歷史分布密度圖與在參數(shù)估計(jì)中假設(shè)的正態(tài)分布密度圖 。從圖中可以看出，歷史分布密度圖表現(xiàn)為胖尾細(xì)腰的特征，這就是說， USD/Euro匯率日收益率出現(xiàn)大值或小值的概率比具有相同期望收益率和方差的正態(tài)分布假設(shè)下出現(xiàn)大值或小值的概率大，亦即這些值比正態(tài)分布假設(shè)下作出的預(yù)測更容易發(fā)生。 說明 這對于基于正態(tài)分布收益率計(jì)算的 VaR 來說，不是一個(gè)好消息，因?yàn)?，厚尾意味?, 對應(yīng)于 99%概率的實(shí)際分界點(diǎn)要低于使用 基于正態(tài)分布收益率計(jì)算的 分界點(diǎn)。實(shí)際上（上圖） , 1% 處分界點(diǎn)的值對應(yīng)于 正態(tài)分布中 % 的值 (非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) ), 在實(shí)驗(yàn)（歷史）分布中對應(yīng)于 % 。 二、應(yīng)用歷史收益率密度計(jì)算 VaR 解決上述問題的一種方法是應(yīng)用收益率本身的歷史分布密度。如 中的例子，我們可以找到 % 的分位點(diǎn)，記為 則： 此值大于獨(dú)立同分布正態(tài)收益率假設(shè)下的 VaR(等于 $78,). 這種方法對估計(jì)大型證券組合的 VaR也是十分有效的 。 例子 一個(gè)公司在歐元上的投資額為 million dollars ，在日圓上的投資額為 million dollars 。為計(jì)算 99% 1 day VaR, 我們只需要計(jì)算 證券組合價(jià)值變動 的歷史分布中，左邊1%對應(yīng)的分位數(shù)即可。 也就是說，對于樣本中每一個(gè) t值，計(jì)算： 利用歷史收益，我們可以計(jì)算對應(yīng)于左邊 1% 概率的證券組合變化值為‘ 200,570’,這樣， VaR = $200,570。 同樣，此值比使用正態(tài)分布假設(shè)下，通過計(jì)算均值和標(biāo)準(zhǔn)差，進(jìn)而計(jì)算的 VaR 數(shù)值大（為 $177, ）。在此例中，我們得到的 VaR 數(shù)值比 正態(tài)分布假設(shè)下大 13% 。 處理非線性衍生證券的全值法 歷史分布密度方法也可以用來消除我們 題。 再考慮前面討論的組合保險(xiǎn)的例子。為了計(jì)算 VaR, 對樣本區(qū)間 [0,t]中的每一個(gè) ，令 為股票 S t 的日收益率，我們可以計(jì)算明天股票模擬價(jià)格的變化為： 給定明天股票模擬價(jià)格的分布 ，可以根據(jù) Black and Scholes formula計(jì)算 明天看跌期權(quán)的價(jià)格 ，最后，我們可以計(jì)算證券組合價(jià)值變化的分布。 實(shí)例 使用 SP500 ， 1997年日收益率數(shù)據(jù)，我們計(jì)算 99% one day VaR 為： VaR = $13,155, 這個(gè)數(shù)據(jù)比我們以前得到的 VaR小的多。但對這個(gè)數(shù)據(jù)的解釋要小心 。事實(shí)上， （ 1）我們僅僅有 252個(gè)日收益觀測數(shù)值 。這意味著 1% 最低百分位數(shù)是第 3個(gè)最負(fù)的收益率數(shù)值，因此，由于我們僅有2 低于該數(shù)值的觀測值 , 那么計(jì)算的 VaR數(shù)值并不可靠 ，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的術(shù)語，它不顯著，因?yàn)榇嬖诤艽蟮臉?biāo)準(zhǔn)差。 （ 2） 1997 對于美國股票市場是非常好的一年（盡管不如1996年），因此，計(jì)算的 VaR 反映的是市場沒有任何實(shí)質(zhì)性的不好收益率的情況。 對于這些問題，使用大樣本數(shù)據(jù)，可以部分地得到解決 。 問題：如何判斷 VaR計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性？如何計(jì)算準(zhǔn)確的VaR結(jié)果。這涉及到資金利用和風(fēng)險(xiǎn)管理的問題。 三、可變方差的正態(tài)分布收益率 我們可以假定正態(tài)分布的參數(shù)是變化的，進(jìn)而放松獨(dú)立同分布假設(shè)，而同時(shí)保持“正態(tài)收益率”的靈活性。 假設(shè) USD/EU外匯收益率 M t 服從 正態(tài)分布，即： 這里， 隨時(shí)間變化。 在實(shí)際中，的確有許多證據(jù)證明，這些參數(shù)是隨時(shí)間變化的。 如果我們?nèi)》讲罟烙?jì)量的均值，如： 如下圖，我們可以看到， 方差的估計(jì)量隨時(shí)間大幅變動。 下面我們討論幾個(gè)模型，這些模型中，收益率仍然服從正態(tài)分布， ValueatRisk的計(jì)算，象前面有關(guān)章節(jié)一樣， 可以直接計(jì)算，唯一需要注意的是將下標(biāo) t 加入到均值與方差。 簡單移動平均法 考慮收益率方差變化的最簡易方法是應(yīng)用最新的數(shù)據(jù)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差，例如不是利用象我們在 3年的收益率數(shù)據(jù)而是應(yīng)用最近若干天的數(shù)據(jù)，如 90天的數(shù)據(jù)（前面部分） 。 在這種情況下，要在估計(jì)的精度與使用時(shí)間之間的尋求平衡。使用距現(xiàn)在較長時(shí)間的數(shù)據(jù)可能與明天收益率標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)無關(guān)，然而使用較少的數(shù)據(jù)，卻可能降低估計(jì)的精度。 類似地，兩個(gè)資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)也是隨時(shí)間而變化的。如考慮歐元與日圓收益率之間的相關(guān)系數(shù)的移動平均值： 同樣，它是隨時(shí)間而變化的。 風(fēng)險(xiǎn)測度（ RiskMetrics） : 指數(shù)加權(quán)法 上述移動平均法預(yù)測將來的易變性存在的一個(gè)問題是，對所有的觀測值給予相同的權(quán)重，既是看似與預(yù)測明天易變性無關(guān)的 1個(gè)月前的數(shù)據(jù)也給予同樣的權(quán)重。 RiskMetrics (. Man) 提出了一種給予各觀測值不同權(quán)重的方法，最近的觀測值給予更大的權(quán)。特別是，他們提出了下列的平均數(shù)： 這里， t0 為 樣本的第一期，對于日數(shù)據(jù)，取 對于月數(shù)據(jù)，取 當(dāng)樣本數(shù)量為無窮大時(shí)，上述公式變?yōu)椋? 因此，明天收益率方差的預(yù)測值為今天收益率方差的預(yù)測值與今天實(shí)際收益率平方的簡單加權(quán)平均。 RiskMetrics估計(jì)的方差值為 比以前我們所使用的%的歷史數(shù)據(jù)大。 類似地， RiskMetrics 可以使用同樣的程序計(jì)算相關(guān)系數(shù)。事實(shí)上，從協(xié)方差的計(jì)算開始，協(xié)方差的估計(jì)為： 同樣，利用遞歸的方法 ： 根據(jù) RiskMetrics，現(xiàn)在的估計(jì)值為： ● Exercise: Compute the 99% 1day VaR for the previous examples under the current RiskMetrics estimates. Comment on your results. 標(biāo)準(zhǔn)差的預(yù)測方法及預(yù)測的精確度問題 。 GARCH Models 方法 簡單而論，一般的自回歸條件異方差模型，包括了RiskMetrics 方法，只要假定方差參數(shù)的一個(gè)特殊過程即可。最常用的模型是 GARCH (1,1)，模型為： ARCH模型家族非常龐大，你可以參考 Bollerslev, Chou and Kroner的文章 :“ARCH Modeling in Finance” in the Journal of Econometrics (1992)，這里有這些模型的詳細(xì)內(nèi)容和參數(shù)估計(jì)方法。 問題：能否用 ARCH模型直接預(yù)測 VaR? 它與我們計(jì)算的VaR哪個(gè)更準(zhǔn)確？ 四、正態(tài)分布的混合（ Mixture of Normals） (應(yīng)用！ ) 計(jì)算 VaR 另一個(gè)常用的方法是假定每一個(gè)階段，收益率都以某種概率服從一種正態(tài)分布或服從不同參數(shù)的另一個(gè)正態(tài)分布，這種情況下，收益率的分布稱為 正態(tài)分布的混合 “ mixture of normals”。 不幸的是，這種分布沒有好的性質(zhì)，因此計(jì)算
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