【正文】 c1+c2*exp(t)。 構(gòu)造矩陣 : E = [ones(size(t)) exp(–t)] E = 則可求得系數(shù) c1 及 c2 c = E\y c = 表明： y(t)=+*exp(t) 畫圖如下 : T = (0::)39。 Y = [ones(size(T)) exp(–T)]*c。 plot(T,Y,39。–39。,t,y,39。o39。) 轉(zhuǎn)置與行列式 若 A 是方陣 ,且是非奇異的 ,則 : d = det(A) X = inv(A) d = 1 X = 3 —3 1 —3 5 —2 1 —2 1 若 c 不是方陣 ,則用 pinv: X = pinv(C) X = — — 那么我們可以發(fā)現(xiàn)，下面３個命令具有同樣的功效（Ａ是ｍ *ｎ的矩陣，ｍ＞ｎ）： x = A\b x = pinv(A)*b x = inv(A’ *A)*A’ *b Cholesky 分解 MatLab 求解線性方程建立在以下三個分解之上 : Cholesky 分解 Guass(高斯 )分解 正交分解 Cholesky 分解 A=p*p39。 讓我們臨時把 A 變一變 : A = pascal(6) A = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252 A 是二項(xiàng)式系數(shù) ,每一項(xiàng)是其左方與上方系數(shù)之和 ,求其 Cholesky 分解系數(shù)有 : R = chol(A) R = 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 0 0 1 3 6 10 0 0 0 1 4 10 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 1 Ｒ認(rèn)識二項(xiàng)式系數(shù)． 這樣對于線性方程便可化簡： A*x = b R39。*R*x = b x = R\(R39。\b) 復(fù)雜度由 O(n^3)變?yōu)?O(n^2)。 LU分解 A = L U 其中 ,L 時下三角陣 ,U 是上三角陣 ,如 : [L,U] = lu(B) L = 0 0 0 U = 0 — 0 0 同樣： A*x = b 可以解為 x = U\(L\b) QR分解 正交陣有如下性質(zhì) : Q39。Q = I 正交陣的好處在于 ,她保持了原陣的長度 ,角度 ,并且在計算的過程中不會擴(kuò)大誤差 . RQ 分解如下 : A = Q R 或 A P = Q R 其中 ,Q 是正交陣 ,R 是上三角陣 . 矩陣的冪與指數(shù) 若 A 是方陣 ,p 是正數(shù) ,則 X = A^2 X = 3 6 10 6 14 25 10 25 46 若Ａ是方陣，且是非奇異的，則 X=A^(P)將 inv(A) P 次方 ,如 : Y = B^(–3) Y = — — — — 分?jǐn)?shù)詞冪將由Ａ的特征值決定． 若是對矩陣的每個元素進(jìn)行冪，用 .^,如 X = A.^2 A = 1 1 1 1 4 9 1 9 36 sqrtm(A)計算 A^(1/2)，但要更精確，而 sqrt(A)則 計算 A.^(1/2),是一個元素一個元素的算． dx/dt=Ax,可以表示為 x(t)=exp(tA)*x(0)。 下面來看看如何計算 :expm(A) A = 0 —6 —1 6 2 —16 —5 20 —10 x0 = 1 1 1 計算如下： X = []。 for t = 0:.01:1 X = [X expm(t*A)*x0]。 end 作圖有： plot3(X(1,:),X(2,:),X(3,:),39。–o39。) 特征值 Av=λ v 若 L 是特陣值矩陣 ,則特征向量是 V: AV=VL。 如下 : A = 0 —6 —1 6 2 —16 —5 20 —10 lambda = eig(A) lambda = — —+ — 由 exp(λ t)可以看出 exp(At)(見上小節(jié) ) 若用二參數(shù)調(diào)用函數(shù) eig(),則返回特征向量及特征值矩陣 : [V,D] = eig(A) V = — —+ —– — + – — – + D = — 0 0 0 —+ 0 0 0 —— 對于下面的矩陣： A = 6 12 19 —9 —20 —33 4 9 15 V = — — — — D = — 0 0 0 0 0 0 可以看出，有二特征值是一樣的，其 特征向量僅差一個符號，在 Symbolic Math Toolbox 中提供了 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的函數(shù) ,如下 : [X,J] = jordan(A) X = — — — — J = —1 0 0 0 1 1 0 0 1 常微分方程 常微分方程 (Odinary Differential EquationsODE) 類別 函數(shù) 描述 解常微 分方程 ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s ode23t ode23tb 常微分方程選項(xiàng) odeset odeset 常微分方程輸出選項(xiàng) odeplot odephas2 odephas3 odeprint 如何表述問題 多項(xiàng)式與插值 多項(xiàng)式 多項(xiàng)式的表達(dá) MatLab 中用按降冪排列的多項(xiàng)式系數(shù)組成的行向量表示多項(xiàng)式 ,如 : p(x)=x^32x5被表示為 : p = [1 0 –2 –5]。 多項(xiàng)式的根 r = roots(p) r = – + – – 根被儲存為 列向量 ． 若要由方程的根構(gòu)造多項(xiàng)式，則 p2 = poly(r) p2 = 1 –2 –5 多項(xiàng)式估計 可以用多項(xiàng)式估計出多項(xiàng)式在某一點(diǎn)的值： polyval(p,5) ans = 110 同樣也可以估計矩陣多項(xiàng)式的值 p(X) = X^3 – 2X – 5I, X = [2 4 5。 –1 0 3。 7 1 5]。 Y = polyvalm(p,X) Y = 377 179 439 111 81 136 490 253 639 卷積 多項(xiàng)式相乘是一個卷積的過程 ,conv() a = [1 2 3]。 b = [4 5 6]。 c = conv(a,b) c = 4 13 28 27 18 多項(xiàng)式相除是其逆過程，用 deconv(): [q,r] = deconv(c,a) q = 4 5 6 r = 0 0 0 0 0 多項(xiàng)式曲線逼近 polyfit(x,y,n)能用多項(xiàng)式逼近由 x,y向量提供的數(shù)據(jù) ,n 是其階數(shù) ,如 : x = [1 2 3 4 5]。 y = [ 128 ]。 p = polyfit(x,y,3) p = – – 將圖畫出 x2 = 1:.1:5。 y2 = polyval(p,x2)。 plot(x,y,’o’,x2,y2) grid on 分式多項(xiàng)式分解 residue()可將分式多項(xiàng)式分解如下 : 對于下式 分解為 : b = [–4 8]。 a = [1 6 8]。 [r,p,k] = residue(b,a) r = –12 8 p = –4 –2 k = [] 重載此函數(shù)可以完成分式多項(xiàng)式相加： [b2,a2] = residue(r,p,k) b2 = –4 8 a2 = 1 6 8 插值 插值是在已知的數(shù)據(jù)列中，估計別點(diǎn)的函數(shù)值． 一維插值 一維插值在 MatLab中有兩種方法 : @ 多項(xiàng)式插值 @ 建立在 FFT 上的插值 多項(xiàng)式插值 yi = interp1(x,y,xi,method) x 是坐標(biāo)向量 ,y 是數(shù)據(jù)向量 ,xi是待估計點(diǎn)向量 ,method是插值方法 , method 有四種 : 尋找最近數(shù)據(jù)點(diǎn) ,由其得出函數(shù)值 。 線性插值 (該函數(shù)的默認(rèn)方法 )。 樣條插值 ,數(shù)據(jù)點(diǎn)處光滑 左導(dǎo)等于