九年級(jí)相似三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及例題講解(已改無錯(cuò)字)
2023-05-15 13:59:06 本頁面
【正文】 相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及△EAF與△ECA解：設(shè)AB=a，則BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=， 在△EAF與△ECA中，∠AEF為公共角，且所以△EAF∽△ECA例5 分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行線性質(zhì)進(jìn)行證明：證明：過D點(diǎn)作DK∥AB，交BC于K，∵DK∥AB，∴DF：FE=BK：BE又∵AD=BE，∴DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE= BC：AC，∴DFAC=BCFE例6 證明：（1）∵∠BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，∴MA=MC，∠1=∠C，∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=900∠B，∴∠1=∠D，∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴，∴MA2=MDME，（2）∵△MAE∽△MDA，∴，∴評(píng)注：命題1 如圖，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=ADAC。命題2 如圖，如果AB2=ADAC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。例7 分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作？觀察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE：ED”的特征，作DG∥BA交CF于G，得△AEF∽△DEG。與結(jié)論相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證。證明：過D點(diǎn)作DG∥AB交FC于G則△AEF∽△DEG。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似） （1）∵D為BC的中點(diǎn)，且DG∥BF∴G為FC的中點(diǎn)則DG為△CBF的中位線， （2）將（2）代入（1）得：例8 分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對(duì)等角等方法來實(shí)現(xiàn)，本題要證的兩個(gè)角分別在兩個(gè)三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個(gè)角所在的三角形顯然不可能相似（一個(gè)在直角三角形中，另一個(gè)在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明：作FG⊥BD，垂足為G。設(shè)AB=AD=3k則BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=∵∠ADB=450，∠FGD=900∴∠DFG=450∴DG=FG=∴BG=∴又∠A=∠FGB=900∴△AEF∽△GBF ∴∠AEF=∠FBD例9 分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。要證明SQ∥AB，只需證明AR：AS=BR：DS。證明：在△ADS和△ARB中。 ∵∠DAR=∠RAB=∠DAB，∠DCP=∠PCB=∠ABC∴△ADS∽△ABR 但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，則，∴SQ∥AB，同理可證，RP∥BC例10分析：要證明AF∥CD，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進(jìn)行正確的選擇。其實(shí)要證明AF∥CD，只要證明即可，因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。證明：∵AB∥ED，BC∥FE∴，∴兩式相乘可得：例11 分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明FC=FG，首先要找出與FC、FG相關(guān)的比例線段，圖中與FC、FG相關(guān)的比例式較多，則應(yīng)選擇與FC、FG都有聯(lián)系的比作為過渡，最終必須得到（“？”代表相同的線段或相等的線段），便可完成。證明：∵ FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF 則有而FC∥DE ∴△AED∽△AFC則有 ∴又∵BE=DE（正方形的邊長相等）∴，即GF=CF。例12 證明：∵CO平分∠C，∠2=∠3，故Rt△CAE∽R(shí)t△CDO，∴又OF∥BC，∴又∵Rt△ABD∽R(shí)t△CAD，∴，即∴AE=BF。一、選擇題1．（2009年濱州）如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④．其中單獨(dú)能夠判定的個(gè)數(shù)為（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【關(guān)鍵詞】三角形相似的判定.【答案】C2.（2009年上海市)如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是（ ）A． B． C． D．【關(guān)鍵詞】平行線分線段成比例【答案】A3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為 (A)1：2 (B)1
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