【正文】 題中 探究動(dòng)點(diǎn)問題中的 常用的 分類討論 的數(shù)學(xué)思想 ． 例 5 如圖 155， AB 是⊙ O 的直徑，弦 BC＝ 2cm， ∠ ABC=60186。 (1)求⊙ O 的半徑． (2)若動(dòng)點(diǎn) E 以 2cm/s 的速度從點(diǎn) A 出發(fā)沿著 AB 方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) F 以 1cm/s的速度從點(diǎn) B 出發(fā)沿 BC 方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t(s) (0＜ t＜ 2)，連接 EF，當(dāng) t為何值時(shí)， △ BEF 為直角三角形． 【分析】 本題第 (2)題隨著點(diǎn) E 和點(diǎn) F 的運(yùn)動(dòng)，△ BEF 的 形狀發(fā)生改變，△ BEF 有如上圖的兩種可能，要對(duì) △ BEF 的形狀進(jìn)行分類討論 (1)∠ EFB=90o， (2) ∠ FEB=90o 【解】 (１ )∵ AB 是⊙ O 的直徑 ， ∴∠ ACB＝ 90?. ∵ BC＝ 2cm， ∠ ABC＝ 60 186。， ∴ AB＝ 4 cm，即 ⊙ O 的半徑 為 2cm.． (2)AE＝ 2t， BF＝ t， BE＝ 42t． 當(dāng) (1)∠ EFB＝ 90?時(shí) ， cos60186。=42BF tBE t? ?， t＝ 1． 當(dāng) (2)∠ FEB＝ 90?時(shí) ， cos60186。＝ 4 2 12BE tBF t???， t＝ 45 ． ∴ t＝ 1 或 45． 【說明】 動(dòng)點(diǎn)問題中隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)圖形的形狀會(huì)發(fā)生改變 ， 所以當(dāng)它圖形是直角三角形 ， 等腰三角形 ， 或三角形相似等問題常常要對(duì)它進(jìn)行分類討論 .近幾年中存在性問題中也常常體現(xiàn)分類討論的思想 . (二 )圖形運(yùn)動(dòng)型問題 (主要以幾何圖形、函數(shù)圖象的平移為主 ) (1)綜合題中探究幾何圖形的運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致重疊部分形狀的改變 例 6 如圖 1561，已知直線 28:133ly x??與直線 2 162:l y x? ? ? 相交于點(diǎn) C， l l2分別交 x 軸于 A、B 兩點(diǎn)．矩形 DEFG 的頂點(diǎn) D、 E 分別在直線 l l2上，頂點(diǎn) F、 G 都在 x 軸上，且點(diǎn) G 與點(diǎn) B 重合． (1)求△ ABC 的面積； (2)求矩形 DEFG 的邊 DE 與 EF 的長(zhǎng)； (3)若矩形 DEFG 從原點(diǎn)出發(fā)，沿 x 軸的反方 向以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為 t (0≤ t≤ 12)秒，矩形 DEFG 與△ ABC 重疊部分的面積為 S，求 S關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的 t 的取值范圍 ． 【分析】 本題是將矩形 DEFG 平移，導(dǎo)致與 ABC 重疊圖形的形狀發(fā)生改變 . 要求能分析出圖中哪幾個(gè)臨界點(diǎn)，對(duì)自變量進(jìn)行分段，用關(guān)于 t的函數(shù)來表示 . 【解】 (1)由 28033x??，得 4x?? ，∴ A 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (－ 4， 0)． 由 2 16 0x? ? ? ，得 ? ∴ B 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (8， 0). ∴ ? ?8 4 12 .AB ? ? ? ? A D B E O C F x yy 1ly 2l （ G）圖 1561 由 28332 16yxyx? ????? ?? ??，解得 5?????， ∴ C 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (5， 6). ∴ 11 1 2 6 3 6 .22S A B y cABC ? ? ? ? ? ? (2)∵點(diǎn) D 在 1l 上且 288 8 833D B Dx x y? ? ? ? ? ? ?， ． ∴點(diǎn) D 坐標(biāo)為 (8， 8)， ∵點(diǎn) E 在 2l 上且 8 2 1 6 8 4E D E Ey y x x? ? ? ? ? ? ? ?， ． ． ∴ E 點(diǎn)坐標(biāo)為 (4， 8)∴ OE＝ 8－ 4＝ 4， EF＝ 8 (3)① 當(dāng) 0≤ t＜ 3 時(shí)，如圖 1562，矩形 DEFG 與 △ ABC 重疊部分為五邊形CHFGR (t＝ 0 時(shí)，為四邊形 CHFG)． 過 C 作 CM AB? 于 M ，則R t R tRGB C MB△ ∽ △ ． ∴ BG RGBM CM? ， 即 36t RG? ， ∴ 2RG t? ． R t R tAF H AMC△ ∽ △ ， ∴ ? ? ? ?1 1 23 6 2 8 82 2 3A B C B R G A F HS S S S t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?△ △ △ ． 即 24 1 6 4 43 3 3S t t? ? ? ? ． ② 當(dāng) 3≤ t＜ 8 時(shí)如圖 1563，矩形 DEFG 與 △ ABC 的重疊部分為梯形 HFGR. 由 ① 知， HF＝ ? ?283 t?. ∵ Rt△ AGR∽ Rt△ AMC， ∴ RC AGCM AM? ，即 1269RG t?? ， H H A D B E O R F x yy 1ly 2l M 圖 1564 G C A D B E O C F x yy 1ly 2l G 圖 1562 R M A D B E O C F x yy 1ly 2l G 圖 1563 R M ∴ ? ? ? ? ? ?1 1 2 28 1 2 42 2 3 3s H F R G F G t t??? ? ? ? ? ? ? ?????.即 S＝ 8 8033t??. ③ 當(dāng) 8≤ t≤ 12時(shí)，如圖 1564所示，矩形 DEFG與 △ ABC的重疊部分為△ AGR， 由 ② 知， ? ?21 2 , 1 23A G t R G t? ? ? ?， ∴ S= ? ? ? ?1 1 21 2 1 22 2 3A G R G t t? ? ?.即 ? ?21 123St??.∴ 21 144833S t t? ? ? . 【說明】 圖形的平移導(dǎo)致與其他圖形的重疊部分形狀發(fā)生改變，考查學(xué)生能運(yùn)用函數(shù)，數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想在解題中靈活運(yùn)用，也是對(duì)學(xué)生動(dòng)手操作、空間想象能力的考查． 【教學(xué)建議】 (1)對(duì)于想象能力不夠強(qiáng)的學(xué)生，為防止在分類討論時(shí)分類不完整，也可讓學(xué)生運(yùn)用透明的紙片或網(wǎng)格紙做實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)中仔細(xì)觀察．特別是遇到更復(fù)雜的重疊部分的情況 .如 09 年山西的第 26 題， 但 09 年長(zhǎng)春的第 26 題就考查學(xué)生的空間想象能力，無法動(dòng)手實(shí)驗(yàn) . (2)平時(shí)上課可借助多媒體幾何畫板演示圖形移動(dòng)過程中圖形的的形狀在改變而且重疊部分的面積也在變化的例題，讓學(xué)生積累這類題的感性認(rèn)識(shí)，積累解題經(jīng)驗(yàn)．本題還可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸拓展 :求重疊部分面積的最大值 .即求函數(shù)的最值問題，也是中考熱點(diǎn)之一 . (2)探究拋物線 的平移 例 7 已知二次函數(shù)的圖象以 A(－ 1， 4)為頂點(diǎn)，且過點(diǎn) B(2，－ 5)． ①求該函數(shù)的關(guān)系式； ②求該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)； ③將該函數(shù)圖象向右平移，當(dāng)圖象經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)， A， B 兩點(diǎn)隨圖象移 至點(diǎn) A′， B′， 求 △ OA′B′的面積． 【分析】 ③題利用第②小題求得的與 x 軸的交點(diǎn)求出將原函數(shù)向右平移的距離，即可求得 A′， B′的坐標(biāo)，進(jìn)而構(gòu)造求得△ OA′B′ 面積． 【解】 ①由頂點(diǎn) A(－ 1， 4)，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為 2( 1) 4 , ( 0)y a x a? ? ? ?．由圖象過點(diǎn)B(2，－ 5)，得－ 5＝ a(2＋ 1)2＋ 4，解得 a＝－ 1．∴二次函數(shù)關(guān)系式為 y＝－ (x＋ 1)2＋ 4． ②令 0?x ，得 y＝－ (0＋ 1)2＋ 4＝ 3，故圖象與 y 軸交點(diǎn)為 (０ ， 3)．令 y＝ 0，得 0＝－ (x＋ 1)2＋ 4，解得 1,3 21 ??? xx ．故圖象與 x 軸交點(diǎn)為 (－ 3， ０ )和 (1， ０ )． ③函數(shù)圖象向右平移 3 個(gè)單位后經(jīng)過原點(diǎn)．故 A′(2， 4)． B′(5，－ 5)．從而OABS ??△ 15?． 【說明】 本題拋物線平移的可通過一組對(duì)應(yīng)點(diǎn) (－ 3， ０ )向右平移一個(gè)單位到 (０ ， ０ ) 確定平移的距離為 3，從而得到其他點(diǎn) A(－ 1， 4)， B(2，－ 5)兩點(diǎn) 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A′(2， 4)，B′(5，－ 5)， 然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求 △ OA′B′面積 ．也可以平移坐標(biāo)軸，如把 x 軸上移 2個(gè)單位，把 y 軸左移 3 個(gè)單位，相當(dāng)于把拋物線下移 2 個(gè)單位，再右移 3 個(gè)單位． 平移是初中幾何圖形的四大變換之一， 也和函數(shù)圖象及坐標(biāo)軸緊密相關(guān)， 是中考的?？純?nèi)容．試題的出現(xiàn)形式也不拘一格，選擇、填空、作圖以及壓軸題都有平移的身影，但不管以什么形式出現(xiàn)，牢牢掌握平移的特征是解決此類問題的法寶． 【命題趨勢(shì)與復(fù)習(xí)建議】 1．命題趨勢(shì) 通過以上分析，運(yùn)動(dòng)型問題作為中考試卷中的“區(qū)分題”或“壓軸題”并非偶然或巧合．預(yù)測(cè) 2022 年中考運(yùn)動(dòng)型問題命題將突出以下幾個(gè)特點(diǎn)： (1)運(yùn)動(dòng)型問題的設(shè)置會(huì)注意知識(shí)面的覆蓋，考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí) 、 基本 技能 、 基本思想方法的“三基”要求，及邏輯思維能力 、 綜合運(yùn)算能力 、 空間想象能力和用所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)分析和解決問題的能力的 “四能” ． (2)此類試題具有動(dòng)靜結(jié)合，以靜制動(dòng)，從特殊到一般的特征，綜合性較 強(qiáng)，既可考查幾何知識(shí) (相似，等腰三角形及特殊的四邊形，圓 )的綜合運(yùn)用能力，又能聯(lián)系函數(shù)與方程等重點(diǎn)代數(shù)知識(shí)，處于知識(shí) 點(diǎn)的交匯處，預(yù)測(cè)運(yùn)動(dòng)型試題作為中考填空或倒數(shù)兩個(gè)壓軸題的可能性較大． (3)試題將進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)試題的基礎(chǔ)性 、 應(yīng)用性 、 開放性 、 探究性． 2．復(fù)習(xí)建議 (1)學(xué)習(xí)課標(biāo)，深研教材．重視核心內(nèi)容的教學(xué)，抓好基礎(chǔ)，發(fā)展能力，以期達(dá)到“以不變應(yīng)萬變”的效果． (2)加強(qiáng)近幾年試題研究．把握中考運(yùn)動(dòng)型問題的考查方式及試題特點(diǎn)，教學(xué)設(shè)計(jì)可設(shè)“運(yùn)動(dòng)型專題”，在解題教學(xué)中，要充分重視利用多媒體課件直觀演示或?qū)嵨锊僮?，從中發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，增強(qiáng)感性認(rèn)識(shí)，并適時(shí)適度進(jìn)行一題多解、一題多變的訓(xùn)練，達(dá)到舉一反三，融會(huì)貫通，克服畏難情緒， 激發(fā)學(xué)生的探究熱情． (3)注重解題后的反思，使學(xué)生在反思中明確解這類試題時(shí)，不論是點(diǎn)動(dòng)，線動(dòng)還是形動(dòng)，關(guān)鍵是抓住“靜”的瞬間，“以靜制動(dòng)”是良策，有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想方法是解題關(guān)鍵． (4)平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐多思考設(shè)計(jì)一些新穎的動(dòng)態(tài)場(chǎng)景， (如幾何畫板的運(yùn)用 )讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)，操作，觀察，和分析，歸納來發(fā)現(xiàn)規(guī)律等．提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和空間想象能力．讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能，結(jié)合數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想來提高分析問題，解決問題的能力決非朝夕就能實(shí)現(xiàn)的，需要師生在平時(shí)的教學(xué)中日積月累的． 【 返回目錄 】 專題二 探究性問題 【試題特點(diǎn)】 在近幾年全國(guó)各地的中考試卷中，常常能看到許多值得回味的探究性問題．所謂探究性問題，是指問題的條件或結(jié)論尚不明確，需通過探究去補(bǔ)充條件或完善結(jié)論的一類問題．這類問題能很好地實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)品質(zhì)的考查，這和新課程的理念相符，因此探究性問題也就很自然地成為近幾年新課程中考的熱點(diǎn)問題． 探究性問題的“探究性”是與傳統(tǒng)問題的“明確性”相對(duì)而言的．一般情況下，傳統(tǒng)問題條件完備，結(jié)論明確，只需計(jì)算結(jié)果或?qū)Y(jié)論加以論證．而探究性問題則是通過 對(duì)問題的剖析，選擇并建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，經(jīng)過觀察、試驗(yàn)、分析、比較、類比、歸納、猜測(cè)、推斷等探究性活動(dòng)來探索解題思路． 【試題分類賞析】 探究性問題按探究方向可分為條件探究題、結(jié)論探究題、規(guī)律類探究題、開放性探究題、存在性探究題、動(dòng)手操作類探究題等． 1。 條件探究題 條件探究題一般采用分析法進(jìn)行逆推． 例 1 如圖 161，在 四邊形 ABCD 中 ， 已知 AB 與CD 不平行 ， ABD ACD? ?? ，請(qǐng)你添加一個(gè)條件： ， 使得加上這個(gè)條件后能夠推出 AD∥ BC且 AB=CD. 【分析】 四邊形的知識(shí)往往轉(zhuǎn)化為三角形的知識(shí)來解決 .本題要得到 AB=CD， 只需兩個(gè)三角形全等， 即 ABD? ≌ ACD? 或 ABC? ≌ DCB? .若需 ABD? ≌ ACD? ，因已有 ABD ACD? ?? 和公共邊 AD，故只需添另一對(duì)角相等 . 若需 ABC? ≌ DCB? 分析類似 . 【解】 DAC ADB? ?? ， BAD CDA? ?? ， DBC ACB? ?? ， ABC DCB? ?? ，OB OC? ， OA OD? ； (任選其一 ) 【說明】本題型的特征是缺少確定的條件，必須添加必要的條件，才能是結(jié)論成立，而這個(gè)條件往往不止一個(gè) .這類題求解時(shí)首先要從結(jié)論入手，執(zhí)果索因，逆向思維，探索結(jié)論成立的條件． 2． 結(jié)論探究題 結(jié)論探究題一般運(yùn)用綜合法推導(dǎo)． 例 2 如圖 162，在 ABC? 中， AB=2BC，點(diǎn) D、點(diǎn) E 分別為 AB、 AC 的中點(diǎn)，連結(jié) DE，將 △ ADE 繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn) 180?得到 △ 四邊形 BCFD 的形狀，并說明理由 ． 【分析】 由三角形中位線定理可知 12DE BC=， DE∥B C D A O 圖 161 圖 162 ADE? 旋轉(zhuǎn) 180? 可得 DE=EF，故 DF=BC,得平行四邊形